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第二十七章 相似
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
27.2 相似三角形
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对
应边的比叫做 .
相等
成比例
相似比
A
B
C
A′
B′
C′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”,△ABC与
相似记作“△ABC∽ ”.
2. 如图，△ABC 和 相似需要满足什么条件？
讲授新知
贰
如图①，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A、B、C、D、E、F,(1) 度量 ，你有什么发现？
讲授新知
A
B
C
D
E
F
m
n
a
b
c
图①
知识点1：平行线分线段成比例（基本事实）
讲授新知
(2) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线
b 的交点分别为 B、E. 你在问题 (1) 中发现的结
论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
A
B
C
D
E
F
m
n
a
b
c
图②
(3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，
用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若a∥b∥ c ，则
归纳：
A
B
C
D
E
F
b
c
a
讲授新知
范例应用
例1：如图，已知a∥b∥c，下列比例式中错误的是 ( )
A. B.
C. D.
A
A
C
E
B
D
F
b
a
c
讲授新课
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
A
B
C
D
E
F
b
c
m
n
a
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
知识点2：平行线分线段成比例定理的推论
讲授新课
A
B
C
b
c
m
D
E
F
n
a
直线 n 向左平移到 A 与D重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
B
A(D)
C
E
F
讲授新课
A
B
C
b
c
m
D
E
F
n
a
直线 n 向左平移到 E与B重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
B(E)
A
C
D
F
( )
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
【归纳总结】
讲授新课
范例应用
例2：如图，DE∥BC， ，则 ；
FG∥BC， ，则 .
A
B
C
E
D
F
G
讲授新课
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1:△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2:分别度量△ADE与△ABC的边长，它们
的边长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
知识点3:相似三角形的引理
问题3:你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
D
E
通过度量，我发现△ADE∽△ABC，且只DE∥BC，这个结论恒成立.
，而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？
B
C
A
D
E
可以将 DE 平移到BC 边上去
要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？
思考：
讲授新课
，需要证明的是
由前面的结论可得
证明：在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A.
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点 E作 EF∥AB，交 BC 于点 F.
C
A
B
D
E
F
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
∴ DE=BF
∴△ADE∽△ABC.
∵ DE∥BC，EF∥AB，
讲授新课
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
讲授新课
“A ”型
“X ”型
范例应用
例3、如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4
范例应用
例4. 如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE∶EA=2∶3，EF=4，求CD的长．
解：CD的长为10.
EF//AB, ,EF=4,则AB=CD=10
点拨
·
当堂训练
叁
当堂训练
1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.
3
C
D
A
B
E
F
O
相似具有传递性
4︰3
2. 若 △ABC 与 相似，一组对应边的长为AB =3 cm， A′B′=4 cm，那么 与 △ABC 的相似比是_____.
当堂训练
3. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm，AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴CD∥AB，
设菱形的边长为 x cm，则CD = AD = x cm，
DF = (4－x) cm，
∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm.
4.如图，AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的中点，CM交AB于点P, DN ∥CP.
（1）若AB=6cm，求AP的长；
（2）若PM=1cm,求PC的长.
解：(1)∵AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的,
∴DB=DC,AM=MD.
∵DN ∥CP,
又∵AB=6cm，∴AP=2cm.
当堂训练
当堂训练
（2）若PM=1cm,求PC的长.
∵DN ∥CP,
又∵PM=1cm，
∴PC=2ND=4PM=4cm.
解：由（1）知AP=PN=NB,
课堂小结
肆
课堂小结
两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边延长线），所得的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
平行线分线段成比例
1.基本事实
2.推论
3.相似三角形判定的引理
课后作业
基础题：1.课后习题 练习册 。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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第二十七章 相似
27.2.1 相似三角形的判定
27.2.1.1 平行线分线段成比例的基本事实
教学目标
1. 理解相似三角形的概念.
2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明.
3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
教学重、难点
重点:理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明.
难点:掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
学习过程
一.课堂导入
相似多边形的对应角 ，对应边 ，对应边的比叫做 .
如图，△ABC 和△A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ .
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”,△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.
二、揭示问题规律
知识点1：平行线分线段成比例（基本事实）
如图①，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A、B、C、D、E、F,(1) 度量 ，你有什么发现？
图①
将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线b 的交点分别为 B、E. 你在问题 (1) 中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
图②
(3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
【归纳】一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
符号语言：
知识点2：平行线分线段成比例定理的推论
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例
直线 n 向左平移到 A 与D重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
直线 n 向左平移到 E与B重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
【归纳总结】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 .
知识点3:相似三角形的引理
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1:△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2:分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
问题3:你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我发现△ADE∽△ABC，且只 ，这个结论恒成立.
思考：要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？
由前面的结论可得，需要证明的是 ，而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
定理： ，所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言：如下图所示，∵ .
“A ”型 “X ”型
三、学习检测
例1：如图，已知a∥b∥c，下列比例式中错误的是 ( )
A. B.
D.
例2：如图，DE∥BC， ，则 ；FG∥BC， ，则 .
例3、如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_ _
例4、如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE∶EA=2∶3，EF=4，求CD的长．
四、尝试应用
1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有 对相似三角形.
2. 若 △ABC 与 △A′B′C′相似，一组对应边的长为AB =3 cm， A′B′=4 cm，那么 与 △ABC 的相似比是 .
3. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm，AF = 4 cm，求菱形的边长.
4.如图，AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的中点，CM交AB于点P, DN ∥CP.
五、自主总结
平行线分线段成比例的基本事实：
相似三角形的判定方法：
六、达标测试
一、填空题
1.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
第1题图 第2题图
2.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（　　）
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
3.如图，在 ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为（　　）
A． B．8 C．10 D．16
第3题图 第4题图
4.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH：HE等于（　　）
A．1：1 B．2：1 C．1：2 D．3：2
5. 如图，在 ABCD中，E为AD的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF为（　　）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
第5题图 第6题图
二、填空题
6.如图，已知AB∥DE，AE与DB交于C，AC=3，BD=3，CD=2，则CE= .
7.如图，已知在平行四边形ABCD中，EF∥AD，DE：EB=2：3，EF=6，那么BC的长为 .
8.如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD=2，则OC= ．
第7题图 第8题图
三、解答题
9. 如图，已知在△ABC中，D是BC上一点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，GD∥AC交BE于G．
（1）求证：GE=FE；
（2）若BD= BC，CF=12，求AF的长．
10.如图，直线DE交AC、AB于D、F，交CB的延长线于E，且BE：BC=2：3，AD=CD，求AF：BF的值.
11.己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当时，求证：四边形BEFG是平行四边形.
参考答案
1.D 2.B 3.C 4.B 5.B
6.6 7.10 8.4
9.（1）证明：∵GD∥AC，E为AD的中点，∴点E也是GF的中点，即GE=FE；
（2）解：∵GD∥AC，BD=BC，∴BD：BC=GD：CF=1：3．∵CF=12，∴GD=4．∵GD∥AC，∴△DGE≌△AFE．∴AF=GD=4．
10.解：过点D作DG∥AB交BC于点G，∵AD=CD，∴DG= AB，BG=GC，∵BE：BC=2：3，∴BE：BG=2：1.5=4：3，∴，∴=4：14，∴AF：BF=10：4=5：2.
11.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF,∴BE=DF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG,
∴,又∵BE=DF，,∴,∴GF∥BC （平行线分线段成比例）,∴∠DGF=∠DBC,∵BC=CD,∴∠BDC=∠DBC=∠DGF,∴GF=DF=BE,∵GF∥BC，GF=BE,∴四边形BEFG是平行四边形.
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
D
E
F
m
n
a
b
c
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B
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A
B
C
b
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F
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a
m
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
D
E
A
D
E
C
B
B
C
A
D
E
A
E
D
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C
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F
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