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第二十七章 相似
27.3 位似
第2课时 位似变换与坐标
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
问题：将图（1）的图形如何变换得到图（2）？
（1）
（2）
y
y
O
O
x
x
在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称)。 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
讲授新知
贰
讲授新知
知识点1 平面直角坐标系中的位似变换
合作探究
1.如图，在平面直角坐标系中，有两点 A（6，3），B（6，0）．以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化.
（ ， ），B'（ ， ）；
2
1
2
0
－ 2
－ 1
－ 2
0
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
A"（ ， ），B"（ ， ）．
A"( ， )，
C" ( ， ).
讲授新知
2. △AOC 三个顶点坐标分别为 A (4，4)，O (0，0)，C (5，0)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
A'
C'
A"
C"
o
-8
8
2
4
4
6
-2
-4
-4
x
y
A
2
8
10
C
-2
-6
-8
-10
-6
6
如图，把 △AOC 放大后 A，O，C 的对应点为A' ( ， )，
C' ( ， )；
8
8
10
0
－8
－8
－10
0
讲授新知
问题1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
问题2. 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
问题3. 如何在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，画一个图形的位似图形？
2.当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 ；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的 ．
即原图形上点的坐标为(x,y),
则对应的位似图形上的点的坐标为
讲授新知
【归纳总结】
1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作 ．
两个
比为k
比为－k
(kx,ky)或(-kx,-ky)。
3.当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍．
范例应用
例1、如图,在平面直角坐标系中,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0),O(0,0).以原点O为位似中心,画出一个三角形使它与△ABO的相似比为3:2.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
A
B
∴A (-3,6),B (-3,0),O(0,0).
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律,分别取点
,O(0,0).
范例应用
例2、如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的1/2后得到线段CD,则端点D的坐标为( )
A.(2，2) B.(2，1)
C.(3，2) D.(3，1)
D
x
y
A
B
C
D
原图形上点的坐标为(x,y),则对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）,k=1/2,所以D（3，1）。
点拨
·
例3、△ABC三个顶点A(3,6),B(6,2),C(2,-1),以原点为位似中心，得到的位似图形△A B C 三个顶点分别为A (1,2),B (2， )，
,则△A B C 与△ABC的位似比是 .
1 : 3
范例应用
原图形上点的坐标为(x,y),则对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）,A 、B 、C 的坐标由A、B、C的横纵坐标除以3,所以k= 。
点拨
·
讲授新知
知识点2 平面直角坐标系中的图形变换
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
讲授新知
将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．（每个小方格的长度为1个单位长度）
(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；
(2) 关于 x 轴对称；
(3) 在点C的左侧，以 C点 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍；
(4) 以 C 为中心，将△ABC 顺时针旋转180°．
x
y
A
B
C
O
当堂训练
叁
当堂训练
1.如图所示,将△ABC的三边分别扩大为原来的2倍得△A1B1C1
(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是(　　)
　A.(-3,-3)　　B.(-3,-4) C.(-4,-4)　　D.(-4,-3)
D
P
当堂训练
2.如图,点A的坐标为(3,4),点O的坐标为(0,0),点B的坐标为(4,0).
(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位长度后得△A1O1B1,
则点 A1 的坐标为 ,△A1O1B1的面积为 ；
(2)将△AOB绕原点旋转180 后得△A2O2B2,
则点A2的坐标为 ；
(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A3O3B3,则点A3的坐标为 ；
4
x
y
A
B
4
3
(2,4)
8
(-3,-4)
(3,-4)
O
(4)以O为位似中心,按比X例尺1:2将△AOB放大后得△A4O4B4,
若点在x轴负半轴上,则点A4的坐标为 △A4O4B4的面积为 .
(-6,-8)
32
当堂训练
4
x
y
A
B
4
3
O
解：A(3，4),k=2,且 在第三象限,
则 (-6，-8) .
当堂训练
3.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A B C ,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B 的横坐标是a,求点B的横坐标．
A
x
y
O
C
A
B
B
1
解：作BE x轴于点E，BF y轴于F点，
E
F
则ΔBEC~ B FC,
∵相似比为1：2，
∴2EC=CF，
即x-1=a+1
当堂训练
4、在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.
画法一：如右图所示，
解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O(0,0), A'(4,0),B'(2,4)
C(-2,-2),用线段顺次连接O,A',B',C'.
x
y
O
2
4
-2
-4
2
4
-2
A
C
B
A'
C'
B'
当堂训练
画法二：如右图所示
解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O(0,0), A''(-4,0),
B'' (-2,-4),C(2,-2),用线段顺次连接O,A'',B'',C''.
x
y
O
2
4
-2
-4
2
4
-2
-4
A
C
B
A'
C''
B'
A''
B''
C''
课堂小结
肆
课堂小结
平面直角坐标系中的图形变换
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
平面直角坐标系中的位似图形的画法
坐标变化规律
课后作业
基础题：1.课后习题第5、6题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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27.3 位似
第2课时 位似变换与坐标导学案
学习目标
1、能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小;了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的异同.
2、在具体活动操作中，培养学生的动手操作能力，进一步增强用位似变换来解决实际问题的能力.
3. 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，进一步培养学生综合运用知识的能力，体验成功的喜悦，树立良好的数学自信心.
重点：用图形的坐标变化来表示图形的位似变换，能综合运用平移、轴对称、旋转和位似进行图案设计.
难点：体会用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律.
一.创设情境
活动1 教师活动：提出问题：
（问题：将图（1）的图形如何变换得到图（2）？
活动: 学生小组讨论，共同交流,回答结果．
【归纳】 ______________________________________________
提问：那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
二、揭示问题规律
1.如图，在平面直角坐标系中，有两点 A（6，3），B（6，0）．以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化.
2. △AOC 三个顶点坐标分别为 A (4，4)，O (0，0)，C (5，0)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
问题1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
问题2. 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
问题3. 如何在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，画一个图形的位似图形？
归纳：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作 ．
原图形上点的坐标为(x,y),则对应的位似图形上的点的坐标为
3、至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
试一试：将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．（每个小方格的长度为1个单位长度）
(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；
(2) 关于 x 轴对称；
(3) 在点C的左侧，以 C点 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍；
(4) 以 C 为中心，将△ABC 顺时针旋转180°．
（2） （3） （4）
三、学习检测
如图,在平面直角坐标系中,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0),O(0,0).以原点O为位似中心,画出一个三角形使它与△ABO的相似比为3:2.
例2、如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4),B(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的1/2后得到线段CD,则端点D的坐标为( )
A.(2，2) B.(2，1)
C.(3，2) D.(3，1)
例3、△ABC三个顶点A(3,6),B(6,2),C(2,-1),以原点为位似中心，得到的位似图形△A B C 三个顶点分别为A (1,2),B (2， )，,则△A B C 与△ABC的位似比是 .
四、尝试应用
1.如图所示,将△ABC的三边分别扩大为原来的2倍得△A1B1C1(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是(　)
　A.(-3,-3)　　B.(-3,-4) C.(-4,-4)　　D.(-4,-3)
2.如图,点A的坐标为(3,4),点O的坐标为(0,0),点B的坐标为(4,0).
(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位长度后得△,则点 A1 的坐标为 ,△的面积为 ；
(2)将△AOB绕原点旋转180 后得△,则点的坐标为 ；
(3)将△AOB沿x轴翻折后得△,则点的坐标为 ；
(4)以O为位似中心,按比X例尺1:2将△AOB放大后得△,若点B_4在x轴负半轴上,则点A4的坐标为 ,△A4O4B4的面积为 .
如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A B C ,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B 的横坐标是a,求点B的横坐标．
4、在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.
画法一 画法二
五、小结
1.谈谈你这节课学习的收获.
六、达标训练
一、选择题
1.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（　　）
A．原图形的外部 B．原图形的内部
C．原图形的边上 D．任意位置
2.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（　　）
A．平移 B．旋转 C．对称 D．位似
第2题图 第3题图
3.如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　）
A．（，n） B．（m，n）
C．（m，） D．（，）
4.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（　　）
A．（-2，3） B．（2，-3）
C．（3，-2）或（-2，3） D．（-2，3）或（2，-3）
第4题图 第5题图
二、填空题
5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为______________.
6.如图，方格纸中都是边长为1个单位长度的正方形，已知△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为（－1，－1），（－3，0），（－2，2）．若△ABC的面积是，则将△ABC以原点O为位似中心放大得△A′B′C′，则S△A′B′C′＝_______.
三、解答题
7.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．
8.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=．
9.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．
按下列要求画图：以O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
（1）顶点A1的坐标为________，B1的坐标为______，C1的坐标为__________；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．
参考答案
1.D 2.A 3.D 4.D 5. （3，4）或（0，4） 6.10
7.解：如图所示：△A′B′C′即为所求.
8.解：（1）如图所示：
A1（1，-3），B1（4，-2），C1（2，-1）；（2）根据A（1，3）、B（4，2）、C（2，1），以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，则A2（-2，-6），B2（-8，-4），C2（-4，-2）；在坐标系中找出各点，画出图形即可，
结果如图所示．
9.解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，A1（-2，0）B1（-6，0）C1（-4，-2）；
（2）如图，把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向下平移1个单位，使B2C2与DE重合，或者：把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向上平移3个单位，使A2C2与EF重合，都可以拼成一个平行四边形.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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