资源简介

5.3.1函数的单调性常见题型总结
一、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2．函数值的变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较陡峭；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较平缓．
3．判断函数y＝f(x)的单调性的步骤
第1步：确定函数的定义域．
第2步：求出导数f′(x)的零点．
第3步：用f′(x)的零点将函数的定义域分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
二、常用结论
1．“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对 x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零．
三、题型归纳
1、不含参函数的单调性
例1当x>0时，f(x)＝x＋的单调递减区间是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　 B．(0，2)
C．(，＋∞) D．(0，)
方法归纳：确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
注意点
(1)当f′(x)＝0无解时，可根据f′(x)的结构特征确定f′(x)的符号．
(2)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
跟踪训练
1、函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(0，1)　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)，(1，＋∞)
2、下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex
C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
3、函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
4、函数f(x)＝3＋xln x的单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.
5、函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.∪
6、函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
7、函数f(x)＝ln x－x2的单调递增区间为________.
已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的递增区间是________.
8、函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是___(－∞，0)_____；单调递减区间是________．
9、已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________．
10、函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
2、含参函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性.
方法归纳：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
（3）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
跟踪训练
1、函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(　　)
A． B．
C． D．(－∞，a)
2、已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是(　　)
A.a>－ B.0C.a>或－
3、讨论函数f(x)＝x3－aln x(a∈R)的单调性．
4、讨论函数f(x)＝－x＋aln x的单调性.
5、已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a>0)．试讨论f(x)的单调性．
3、根据函数的单调性求参数
例3 已知g(x)＝2x＋ln x－.
(1)若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.
方法归纳：根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
跟踪训练
1、若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.[－1，1] B.
C. D.
2、若f(x)＝x2－aln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
3、已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则a的取值范围是________.
4、若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是___　_____.
5、函数f(x)＝－ln x在其定义域内的一个子区间[k－1，k＋1]内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
6、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．
7、已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在(1，2)上为单调函数，求实数a的取值范围．
4、利用函数单调性比较大小
例4已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　)
A.f＞f(1)＞f B.f(1)＞f＞f
C.f＞f(1)＞f D.f＞f＞f(1)
跟踪训练
1、已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则(　　)
A．f＞f B．f＞f
C．f＞f D．f＞f
2、定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有(　　)
A．f>f B．f>f
C．f>f D．f>f
3、已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　)
A.b＜c＜a B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
4、已知正数α，β满足eα＋>eβ＋，则(　　)
A．2α－β＋1<2 B．ln α＋αC．＋> D．＋>＋
5、 已知a，b∈(0，3)，且4ln a＝aln 4，4ln b＝bln 2，c＝log0.30.06，则(　　)
A.c＜b＜a B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
6、(多选)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是(　　)
A.ln 2＞ B.ln 3＜
C.ln π＞ D.＜
7、(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)＜0恒成立
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
C.f＞
D.f＜
8、已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________.
5、利用函数单调性解不等式
例5 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.
跟踪训练
1、若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为(　　)
A.(－∞，－2) B.(－2，2)
C.(－∞，2) D.(－2，＋∞)
2、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　　)
A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)
C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)
3、函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋f(x)＞0，则不等式＜的解集为(　　)
A．{x|x＞－2 020}
B．{x|x＜－2 020}
C．{x|－2 023＜x＜0}
D．{x|－2 023＜x＜－2 020}
4、已知函数f(x)＝x3－4x＋2ex－2e－x，其中e为自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1] B.
C. D.
5、f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为_______．
6、设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为________.5.3.1函数的单调性常见题型总结（答案）
一、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2．函数值的变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较陡峭；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较平缓．
3．判断函数y＝f(x)的单调性的步骤
第1步：确定函数的定义域．
第2步：求出导数f′(x)的零点．
第3步：用f′(x)的零点将函数的定义域分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
二、常用结论
1．“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对 x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零．
三、题型归纳
1、不含参函数的单调性
例1当x>0时，f(x)＝x＋的单调递减区间是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　 B．(0，2)
C．(，＋∞) D．(0，)
解：令f′(x)＝1－＝<0，则－20，所以x∈(0，2)，故选B．
方法归纳：确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
注意点
(1)当f′(x)＝0无解时，可根据f′(x)的结构特征确定f′(x)的符号．
(2)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
跟踪训练
1、函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为(　A　)
A．(0，1)　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)，(1，＋∞)
2、下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　B　)
A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex
C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
3、函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　D　)
4、函数f(x)＝3＋xln x的单调递减区间是(　B　)
A. B.
C. D.
5、函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　C　)
A. B.
C. D.∪
6、函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　D　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
7、函数f(x)＝ln x－x2的单调递增区间为________.
已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的递增区间是____和____.
8、函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是___(－∞，0)_____；单调递减区间是___(0，1)_____．
9、已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为__∪[2，＋∞)______．
10、函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
解　(1)f′(x)＝(2x＋a)e－x－(x2＋ax＋b)·e－x＝[－x2＋(2－a)x＋a－b]e－x，
∴f′(0)＝a－b，又f(0)＝b，
∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－b＝(a－b)x，
即(a－b)x－y＋b＝0，
∴解得
(2)∵f(x)＝(x2＋x－5)e－x，x∈R，
∴f′(x)＝(－x2＋x＋6)e－x
＝－(x＋2)(x－3)e－x，
当x＜－2或x＞3时，f′(x)＜0；
当－2＜x＜3时，f′(x)＞0，
故f(x)的单调递增区间是(－2，3)，
单调递减区间是(－∞，－2)，(3，＋∞).
2、含参函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性.
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋
＝＝.
①当01，
∴x∈(0，1)和时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；
②当a＝1时，＝1，
∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>1时，0<<1，
∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减.
综上，当0当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减.
方法归纳：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
（3）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
跟踪训练
1、函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(　A　)
A． B．
C． D．(－∞，a)
2、已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是(　D　)
A.a>－ B.0C.a>或－
3、讨论函数f(x)＝x3－aln x(a∈R)的单调性．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝3x2－＝(x>0)，
①若a≤0时，f′(x)>0，此时函数在(0，＋∞)上单调递增；
②若a>0时，令f′(x)>0，可得x>，f′(x)<0，可得0所以函数在上单调递减，在上单调递增．
4、讨论函数f(x)＝－x＋aln x的单调性.
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝－.
设y＝x2－ax＋1，其图象过定点(0，1)，开口向上，对称轴为x＝，
①当≤0，即a≤0时，f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当＞0，即a＞0时，
令x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4，
(ⅰ)当Δ≤0，即0＜a≤2时，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
故a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
(ⅱ)当Δ＞0，即a＞2时，令f′(x)＝0，得
x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在，
上单调递减，
在上单调递增.
5、已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a>0)．试讨论f(x)的单调性．
解：由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当0令f′(x)>0，得x<0或x>，
令f′(x)<0，得0②当a＝1时，f′(x)≥0在R上恒成立；
③当a>1时，令f′(x)>0，得x>0或x<，
令f′(x)<0，得综上所述，当0当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>1时，f(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
3、根据函数的单调性求参数
例3 已知g(x)＝2x＋ln x－.
(1)若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.
解　(1)g(x)＝2x＋ln x－(x>0)，
g′(x)＝2＋＋(x>0).
∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，
∴g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，
即2＋＋≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，
∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].
在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，
所以a≥－3.
∴实数a的取值范围是[－3，＋∞).
(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，
则g′(x)＞0在[1，2]上有解，
即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，
∴a＞(－2x2－x)min，
又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10.
方法归纳：根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
跟踪训练
1、若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　C　)
A.[－1，1] B.
C. D.
2、若f(x)＝x2－aln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　D　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
3、已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则a的取值范围是____∪(0，＋∞)____.
4、若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是___　(－∞，2ln 2－2)_____.
5、函数f(x)＝－ln x在其定义域内的一个子区间[k－1，k＋1]内不是单调函数，则实数k的取值范围是___(1，2)_____．
6、已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．
解:(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解．
即a＞－有解，
设G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可．
而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1.
所以a＞－1，因为a≠0，
所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)由题意得，
当x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以当x＝4时，G(x)max＝－，
所以a≥－，因为a≠0，
所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．
7、已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在(1，2)上为单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝1－＝.
当a≤0时，显然f′(x)>0(x≠0)，这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；
当a>0时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，
解得x＝±，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞， －) － (－， 0) (0，) (， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f(x) ?↗ ?↘ ↘? ?↗
所以f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函数，
在(－，0)和(0，)上是减函数．
(2)因为函数f(x)在(1，2)上为单调函数，
若f(x)在(1，2)上为单调递增函数，
则f′(x)≥0在x∈(1，2)时恒成立，
所以x2－a≥0，
即a≤x2在x∈(1，2)时恒成立，
所以a≤1.
若f(x)在(1，2)上为单调递减函数，
则f′(x)≤0在x∈(1，2)时恒成立，
所以x2－a≤0，即a≥x2在x∈(1，2)时恒成立，
所以a≥4.
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，1]∪[4，＋∞)．
4、利用函数单调性比较大小
例4已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　)
A.f＞f(1)＞f B.f(1)＞f＞f
C.f＞f(1)＞f D.f＞f＞f(1)
解：因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f.
又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x＞0，所以函数f(x)在上是增函数，所以f＜f(1)＜f，即f＞f(1)＞f，故选A.
跟踪训练
1、已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则(　C　)
A．f＞f B．f＞f
C．f＞f D．f＞f
2、定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有(　D　)
A．f>f B．f>f
C．f>f D．f>f
3、已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　C　)
A.b＜c＜a B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
4、已知正数α，β满足eα＋>eβ＋，则(　C　)
A．2α－β＋1<2 B．ln α＋αC．＋> D．＋>＋
5、 已知a，b∈(0，3)，且4ln a＝aln 4，4ln b＝bln 2，c＝log0.30.06，则(　C　)
A.c＜b＜a B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
6、(多选)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是(　ACD　)
A.ln 2＞ B.ln 3＜
C.ln π＞ D.＜
7、(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　BD　)
A.f(x)＜0恒成立
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
C.f＞
D.f＜
8、已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是____c＜a＜b____.
5、利用函数单调性解不等式
例5 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.
解　因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，
所以f(1)＝－f(－1)＝0.
当x≠0时，令g(x)＝，
则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.
则当x＞0时，g′(x)＝′
＝＜0，
故g(x)在(0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增.
所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0，得＞0，所以f(x)＞0；
在(－∞，0)上，当x＜－1时，由g(x)＜g(－1)＝0，得＜0，所以f(x)＞0.
综上知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).
跟踪训练
1、若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为(　D　)
A.(－∞，－2) B.(－2，2)
C.(－∞，2) D.(－2，＋∞)
2、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　A　)
A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)
C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)
3、函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋f(x)＞0，则不等式＜的解集为(　D　)
A．{x|x＞－2 020}
B．{x|x＜－2 020}
C．{x|－2 023＜x＜0}
D．{x|－2 023＜x＜－2 020}
4、已知函数f(x)＝x3－4x＋2ex－2e－x，其中e为自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是(　D　)
A.(－∞，－1] B.
C. D.
5、f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为__(－∞，－4)∪(0，4)_____．
6、设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为__(－∞，－3)∪(0，3)______.

展开更多......

收起↑