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第9讲 极值点偏移
知识与方法
1．极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点．如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．故单峰函数定义域内任意不同的实数，满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏．
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏．
2．极值点偏移问题的常见题型
（1）若函数存在两个零点，且，求证：（为函数的极值点）．
（2）若函数中存在，且满足，求证：（为函数的极值点）．
（3）若函数存在两个零点，且，令，求证：．
（4）若函数中存在，且满足，令，求证：．
3．极值点问题的常用解法——构造差函数
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：．
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增．
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式．
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到当时，．
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论．
接上述情况，由于当时，且，，故．又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证．
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证．
此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故．
典型例题
【例1】已知函数，若存在正实数，，使得，求证：．
【例2】 已知函数，．如果函数有两个极值点，，求证：．（参考数据：，，，为自然对数的底数）
【例3】已知函数，若有两个不同的极值点，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：；
（3）证明：．
【例4】已知函数，．
（1）若为整数，且在上恒成立，求的最大值；
（2）若函数的两个极值点分别为，，且，证明：．
【例5】已知，．若有两个零点，，且，求证：（为自然对数的底数）．
【例6】已知函数有两个不同的零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）记的极值点为，求证；
（i）；
（ii）．
【例7】设函数，其中．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，
①证明：恰有两个零点；
②设为的极值点，为的零点，且，证明：．
【例8】已知，函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知函数存在极值点，求证：．第9讲 极值点偏移
知识与方法
1．极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点．如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．故单峰函数定义域内任意不同的实数，满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏．
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏．
2．极值点偏移问题的常见题型
（1）若函数存在两个零点，且，求证：（为函数的极值点）．
（2）若函数中存在，且满足，求证：（为函数的极值点）．
（3）若函数存在两个零点，且，令，求证：．
（4）若函数中存在，且满足，令，求证：．
3．极值点问题的常用解法——构造差函数
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：．
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增．
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式．
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到当时，．
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论．
接上述情况，由于当时，且，，故．又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证．
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证．
此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故．
典型例题
【例1】已知函数，若存在正实数，，使得，求证：．
【分析】 构造对称函数来处理自变量的大小关系．
【解析】 方法一（利用函数最值放缩，解不等式）
，
所以．
因为函数的最小值为，
所以，所以，解得．
方法二（构造函数证明）
不妨设，易知函数在上递增，且．
若，均大于等于1，或，则成立；
若，均小于1，则．
故设，，
则，
则在上为增函数，故，
也即．
又，
所以，所以，得．
【点睛】 极值点偏移问题一般通过构造不等式或构造函数求解变量关系．
【例2】 已知函数，．如果函数有两个极值点，，求证：．（参考数据：，，，为自然对数的底数）
【分析】 利用对数均值不等式来处理极值点大小问题．
【解析】 ，，
由可得
所以，
即，
而由对数均值不等式及基本不等式可得，
，
所以，函数在上为增函数，而，
所以，即，即．
【点睛】 对于对数函数的导数问题，可以考虑借助对数均值不等式实现简化
【例3】已知函数，若有两个不同的极值点，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：；
（3）证明：．
【分析】 利用导函数有两个零点，借助导函数的单调性来处理参数范围及估计零点的范围．
【解析】 （1），，
由题意，有两个不等实根，，且．
当时，，单调递减，不合题意；
当时，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
由题意，得，
当时，，，，
当时，，，，
即有两个不同的极值点，，且．
故的取值范围是．
（2）由（1）得．
（3）因为，所以，
所以．
【点睛】 利用函数单调性，适当取点再借助零点存在定理即可估计零点的范围．
【例4】已知函数，．
（1）若为整数，且在上恒成立，求的最大值；
（2）若函数的两个极值点分别为，，且，证明：．
【分析】 （1）要求的最大值，考虑到为整数，所以可以考虑分离参数或者用特殊值找的大致范围；（2）要研究极值点的大小关系，其本质就是研究导数的零点问题．
【解析】 （1）方法一 ，令，
当时，，当时，．
又当时，，
所以．
又因为恒成立，
故整数的最大值为．
方法二 令得，所以．
当时，．
又因为，
所以，
故当时不等式成立，所以整数的最大值为．
（2），
由，得，令，
则．
当时，，当时，，所以，
所以，且．
又，，
所以，所以，即．
【点睛】 当恒成立求参数最值问题中的参数是整数时，常常可以取特殊值求出必要条件，再证某个数就是最值．
【例5】已知，．若有两个零点，，且，求证：（为自然对数的底数）．
【解析】方法一 欲证,需证.
若有两个零点,
于是
由(1)(2)得.
由(2)-(1)得,所以.
于是,
又,设,则.
因此.
要证,即证.
即当时,有.
设函数,则
所以为上的增函数.
注意到,因此,.于是,当时,有.
所以,有成立,.
方法二欲证,需证.
若有两个零点,
所以是方程的两个不同实根.
显然,否则,函数为单调函数,不符合题意.
由得,
即只需证明.
即只需证明.
设,
则,故在上单调递增,
即,故.
由于,
故在上单调递增,在上单调递减.
设,令,
则，
又因为在上单调递减,
故有,即.原命题得证.
【例6】已知函数有两个不同的零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）记的极值点为，求证；
（i）；
（ii）．
【解析】(1)由得,
因为函数有两个不同的零点,
所以在上不单调,所以.
令得,
故在上单调递增,
令得,
故在上单调递减,
则的极大值为,
所以,所以.
因为当时,当时,所以的取值范围是.
(2)(i)因为是函数的零点,所以,即
要证,
只要证,
即只要证.
由(1)知,只要证,
整理后即证.
令,即证,
因为,
又因为,所以,
故在上递增,
易知,则,
所以成立.
(ii)方法一要证,
只需证,
因为,
所以,
所以,
令，
则,且,
下面先证明,
这只要证明.
设,
所以只要证明.设，
则,
所以递增.
则成立,
于是得到.
因此只要证明,构造函数.
则
故在上递减,在上递增,
则，
即成立.
方法二应用对数均值不等式,放缩后再证明,
由得
所以,
所以,
所以,
所以要证明,
只要证,
即证.
记,
当时,为增函数,当时,为减函数,所以,所以,
所以原命题得证,即.
【例7】设函数，其中．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，
①证明：恰有两个零点；
②设为的极值点，为的零点，且，证明：．
【解析】(1)的定义域为
因为,所以,
故在上单调递增.
(2)因为,
所以在上单调递减,
(1),
所以,即,且当时,,当时,,
易证,当时,.
因为
所以在上有唯一零点,是的零点,
即恰有两个零点.
(2),
,
所以,
所以,所以,即.
【例8】已知，函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知函数存在极值点，求证：．
【解析】(1),记,
当,即时,恒成立,当且仅当时取等号,在上是增函数;
当时,令,得,,
故在和上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当时,有两个极值点,且是方程的两个不等实根,所以,
不妨设,
所以,
所以,
欲证,
只需证,
易证,当时,,
所以,得证.

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