资源简介

第8讲 整体代换研究函数隐零点
知识与方法
导数中隐零点问题是近年来高考中的常见题型，很多函数求导后出现超越方程，无法求解，或者方程中含有参数，这给解题带来困难，需要不同的思路和方法加以解决．隐零点问题的处理方法通常包括以下几种：直接观察、虚设零点结合零点代换、分类讨论、拆分或构造函数、巧妙放缩、参变转换等等．
典型例题
【例1】已知恒成立，求实数的取值范围．
【例2】已知函数．
（1）设是的极值点，求实数的值，并讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
【例3】已知函数，当时，，求整数的最大值．
【例4】设函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上的最大值．
【例5】 已知函数，其中．
（1）若对一切，恒成立，求的取值集合；
（2）在函数的图象上取两点，，记直线的斜率为，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【例6】 已知，函数．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）记，（其中为在上的两个零点，证明：．第8讲 整体代换研究函数隐零点
知识与方法
导数中隐零点问题是近年来高考中的常见题型，很多函数求导后出现超越方程，无法求解，或者方程中含有参数，这给解题带来困难，需要不同的思路和方法加以解决．隐零点问题的处理方法通常包括以下几种：直接观察、虚设零点结合零点代换、分类讨论、拆分或构造函数、巧妙放缩、参变转换等等．
典型例题
【例1】已知恒成立，求实数的取值范围．
【分析】 此题为不等式恒成立问题，只需要分离参数，转化为求解函数的最小值即可．
【解析】 由题意得恒成立，
令，则，可发现是个超越方程，观察得
当时，．
当时，；当时，，
所以，所以．
【点睛】 不含参数的超越方程的根，往往通过观察即可获得，并进一步获取函数的单调性及最值．
【例2】已知函数．
（1）设是的极值点，求实数的值，并讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
【分析】 （1）函数的极值与单调性问题，（2）因为导函数求解很不方便，故采用隐零点（虚设零点）的方法求解．
【解析】 （1），由得（经检验，符合），
所以，，
所以．
因为在上单调递增，且，
所以当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为，，
所以为增函数，而，
当时，，故在上有唯一的根，
当时，，当时，，
所以当时，有最小值，
因为，所以，
当时取等号，故．
【点睛】 本题是一个典型的函数最值问题的求解，通过二阶导数分析一阶导数的符号，进而获得原函数的单调性和最值，从而获得不等式的证明．亦可用切线不等式进行放缩获得最值：且取等条件不成立．
【例3】已知函数，当时，，求整数的最大值．
【分析】 分离参数，最大整数问题往往可以通过零点存在定理估算所在范围，再加以严格的证明，从虚设零点入手．
【解析】 当时，，
令，则．
令，则，所以在上递增．
又，，
所以，，，且当时，，当时，，
所以，
所以整数的最大值为2．
【点睛】 虚设零点，注意指数代换以及零点存在定理的应用．此题也可直接放缩，详细如下：
由知，只需确定，
当时，，成立；
当时，，则，
所以整数的最大值为2．
【例4】设函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上的最大值．
【分析】 利用求导求解函数的单调区间，通过二次求导研究一阶导数，回归到原函数的最值．
【解析】 （1）当时，，，
由解得，，
所以的单调增区间为和，单调减区间为．
（2）因为，所以．
由解得，，
易证，当且仅当时取等号．
因为，所以，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，．
令，则．
令，则，所以在上单调递减．
因为，，
所以存在，，，，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，
．
注：，
若令，，则无需隐零点，具体如下：
，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又，，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以，即．
【点睛】 利用二阶导数研究原函数的规律时，必须弄明白目标和方向，原则是二阶导数的符号反映一阶导数的单调性，进而得出一阶导数的符号规律，再获得原函数的单调性和最值，当零点不能直接看出或解出时，虚设零点是一种常规操作．
【例5】 已知函数，其中．
（1）若对一切，恒成立，求的取值集合；
（2）在函数的图象上取两点，，记直线的斜率为，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】 （1）讨论求解函数最值问题，（2）构造，利用函数单调性，结合零点存在定理，此题的难点是取点的过程．
【解析】 （1）方法一 若，则对一切，，这与题设矛盾，又，故．
而，令，得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取最小值．
于是对一切，恒成立，当且仅当 ①．
令，则，．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
故当时，取最大值．因此，当且仅当即时，①式成立．
综上所述，的取值集合为．
方法二（如果发现，则可以方便求解）
因为恒成立，所以为的最小值，
所以，解得，故，
检验当时，成立，所以的取值集合为．
（2）由题意知，．
令，
则，．
令，则，．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
故当，，即．
从而，．
又，，所以，．
因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，
所以存在使，，单调递增，
故这样的是唯一的，且．
故当且仅当时，．
综上所述，存在使成立，且的取值范围为．
【点睛】 本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立等问题，以及分类讨论、函数与方程，转化与化归等数学思想方法．第（1）问利用导函数法求出的最小值，对一切，恒成立转化为，从而得出的取值集合；第（2）问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断．
【例6】 已知，函数．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）记，（其中为在上的两个零点，证明：．
【分析】 （1）不等式恒成立的典型问题，（2）零点的深入探究问题，利用函数单调性证明自变量的大小关系，以及化多元为一元证明函数不等式．
【解析】 （1）当时，，，不符合题意；
当时，，符合题意，
当时，，易得当时，，为减函数，当时，，为增函数，
所以，解得，
综上可得．
（2）由（1）知必有，且，所以．
因为，
所以．
又因为，
所以，所以，因此，
所以要证，只要证，
只需证，只要证
设，，只要证即可．
设，数，
所以在上是增函数，
所以，所以，
综上，．
【点睛】 隐零点的两种证明思路是利用已有函数单调性，化为参数表示（或隐零点表示）．本题左右两端的证明分别应用了以上两种不同的思路，题目不难，但是思路很经典！

展开更多......

收起↑