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第6讲 构造函数解决不等式问题
知识与方法
(1)待解的函数不等式在整理后结构上有明显的特点，但直接求导非常繁琐，因此可以构造函数来解题，其中常常与已知条件和所求问题产生联系；
(2)同构变形，利用不等式的结构特点构造函数，使得不等式变成，从而利用的单调性得到与的关系．
典型例题
根据已知条件，结合求导法则，构造函数
【例1】已知是定义在上的偶函数，且恒成立，则不等式的解集为______．
【例2】已知函数满足，则不等式的解集为______．
【例3】设函数满足，则当时，( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【例4】已知是定义在上的可导函数，满足，则( )
A． B．
C．为减函数 D．为增函数
【例5】 已知且，函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
【例6】设，若存在正实数，使得不等式，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【例7】已知函数,若恒成立,则的取值范围为
( )
A. B. C. D.
【例8】若,证明:.
【例9】已知函数
当时,若实数满足,且恒成立,求的取值范围；
(2)若函数有一个极小值点,求证:.
【例10】已知函数.
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上的两个不同点,如果曲线上存在点,使得:(1);(2)曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”,试问:函数是否存在“中值相依切线”,说明理由;
(3)当时,关于的不等式恒成立,求实数的最大值.
【例11】设偶函数是定义在上的可导函数，且当时，，则不等式的解集为______．
【例12】设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为______．
【例13-1】设函数是定义在上的可导函数，且，，则( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【例13-2】设函数是定义在上的连续可导函数，且，则函数( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【例14-1】设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为________．
【例15】 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，如果对任意、，都有，求的取值范围．
【例16-1】设实数,若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
【例16-2】若,则实数的取值范围为_____.
【例16-3】对任意的恒成立,求实数的取值范围.
【例17】若恒成立,则实数的取值范围为_____.
【例18】若对任意,有恒成立,则实数的最小值为_____.
【例19】已知函数有两个不同的零点,求证:.
【例20】已知函数,
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.第6讲 构造函数解决不等式问题
知识与方法
(1)待解的函数不等式在整理后结构上有明显的特点，但直接求导非常繁琐，因此可以构造函数来解题，其中常常与已知条件和所求问题产生联系；
(2)同构变形，利用不等式的结构特点构造函数，使得不等式变成，从而利用的单调性得到与的关系．
典型例题
根据已知条件，结合求导法则，构造函数
【例1】 已知是定义在上的偶函数，且恒成立，则不等式的解集为______．
【分析】根据目标与题设条件，结合乘法的求导法则，构造函数解决问题．
【解析】令，则是偶函数，
所以，则当时，，
所以，所以解集为．
【点睛】熟知求导法则，善于观察结构特征．
【例2】已知函数满足，则不等式的解集为______．
【分析】根据目标与题设条件，结合除法的求导法则，构造函数．
【解析】令，则，
所以，所以，
所以，所以解集为．
【点睛】熟知求导法则，善于观察结构特征．
【例3】 设函数满足，则当时，( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【分析】根据目标与题设条件，结合除法的求导法则及的导数，构造函数．
【解析】．
令，则，
则当时，，当时，，
所以，所以当时，，选D．
【点睛】若令，则，难以得到，无以为继．由已知解出，再根据结构特征构造函数，可以有效地解决问题．
【例4】 已知是定义在上的可导函数，满足，则( )
A． B．
C．为减函数 D．为增函数
【分析】根据题设条件，结合多个函数乘积的求导法则及的导数特性，构造函数．
【解析】令，则，
则，
所以在上是增函数，
所以当时，，当时，，
又，所以，选A．
【点睛】必须在熟知求导法则和常见函数的导数特征的基础上，善于观察已知条件的结构特征，才能构造合适的函数，有时需多次尝试．
【例5】 已知且，函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
【分析】(1)利用导函数的正负即可得到函数的单调性；
(2)利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负、零点和极值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围．
【解析】(1)当时，，则，
令得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，上单调递减，
(2)，
设函数，则，令，得，所以在内，单调递增，在上单调递减，所以．
又，当时，，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是，这即是，所以的取值范围是．
【点睛】(1)本题的导数易出错，是一个失分点；(2)，同构是解题要点．
【例6】设，若存在正实数，使得不等式，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【分析】将题设条件化为两边同形,构造函数,然后应用函数性质解题.
【解析】.
令,则,显然在上单调递增,
所以,即,选A.
【点睛】不等式两边需要添加适当的项,才能构建同形,要注意对数恒等式的应用.因此,需要掌握一些常见的函数类型.同构后,通常应用函数的单调性.
【例7】已知函数,若恒成立,则的取值范围为
( )
A. B. C. D.
【分析】两边化同形,构造单调函数解题.
【解析】
①
令 , 则 单调递增,
①式.
因为,仅当时取等号,所以,即,选B.
【点睛】构造不等式两边同形有相当难度,需要掌握对数恒等式和对数运算法则.
【例8】若,证明:.
【分析】本题考查函数不等式,若直接求导解决,导函数较复杂,相对困难.通过观察、移项,发现不等号两边式子具有相似性,故构造函数.
【解析】要证明,
即证明.
构造函数,
求导得.
当时,单调递增;当时,单调递减.
从而,因此在上单调递减.
当时,则有,
即有.
【点睛】直接求导复杂的函数式,常常需要变形,此题是利用的特点变形得到.
【例9】已知函数
当时,若实数满足,且恒成立,求的取值范围；
(2)若函数有一个极小值点,求证:.
【分析】(1)两边化同形,构造单调函数;(2)将不等式转化为函数值大于0.
【解析】(1),
因为,
所以.
令,则上式.
因为,所以,
所以在上单调递增,所以.
(2)当时,没有极值点,不合题意,故,
故当时,,当时,,
所以是的极小值点,即.
因为,
所以.
令,则,
当时,,当时,,
所以,得证.
【点睛】第(2)小题中,考虑对数函数的求导特点,使对数函数单独出现,是解题要领.
【例10】已知函数.
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上的两个不同点,如果曲线上存在点,使得:(1);(2)曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”,试问:函数是否存在“中值相依切线”,说明理由;
(3)当时,关于的不等式恒成立,求实数的最大值.
【分析】第(1)、(2)小题是有关切线的问题;第(3)小题不能分离,可采用必要性探路或同构函数求解.
【解析】(1)注意到导函数可因式分解.
令可得或,这里,
则的单调递增区间为和.
(2)假设存在“中值相依切线”,,
由题设条件,有,即,这与对数均值不等式矛盾!
所以不存在“中值相依切线”.
(3)转化为同构式.
当时,,即在上恒成立,
当时显然恒成立,只需考虑,
即恒成立,即恒成立,
令,则,并且,
而在上单调递增,则,则恒成立.
令,则单调递减,
则,则.
综上所述,的最大值是.
【点睛】第(2)小题也可以运用比值换元化为单变量求解;或利用对数平均不等式,但应事先证明;第(3)小题最后也可利用对数不等式直接放缩.
【例11】设偶函数是定义在上的可导函数，且当时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】令,则是偶函数,当时,,
原不等式,
所以.
【例12】设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】令,
则,
原不等式,所以.
【例13-1】设函数是定义在上的可导函数，且，，则( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【答案】D
【解析】,
则,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以
故单调递增,选D.
【例13-2】设函数是定义在上的连续可导函数，且，则函数( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】,
则,
所以在上单调递增.
又,
故存在唯一实数,使,且当时,,当时,
故有极小值,无极大值,选B.
【例14-1】设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】令,
则.
所以,
所以,
所以,
所以.
【例14-2】已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为________．
【解析】令,则,则,
所以,所以.
【例15】 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，如果对任意、，都有，求的取值范围．
【解析】的定义域为,则.
(1)当时,恒成立,在上单调递增;
当时,恒成立,在上单调递减;
当时,令,得,
因此当时,单调递增,当时,单调递减.
(2)不妨设,由(1)知,在上单调递减,
所以.
令,则,所以在上单调递减,
所以恒成立,
所以.
因为,
所以.
【例16-1】设实数,若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
【解析】,
令,则,
所以在上单调递增,
则,所以.
【例16-2】若,则实数的取值范围为_____.
【解析】
令,则,
所以在上单调递增,
则,所以.
【例16-3】对任意的恒成立,求实数的取值范围.
【解析】显然.令,则,所以在上单调递增,则恒成立,即恒成立.
因为,当且仅当时取等号,所以,
综上所述,.
【例17】若恒成立,则实数的取值范围为_____.
【解析】
令,则单调递增,
则(1)式,
所以.
因为,当且仅当时取等号,所以,
所以,所以.
【例18】若对任意,有恒成立,则实数的最小值为_____.
【解析】
令,
则单调递增,
则(1)式,所以.
因为,当且仅当时取等号,
所以,
故的最小值为.
【例19】已知函数有两个不同的零点,求证:.
【解析】的定义域为
所以在上单调递减,在上单调递增,不妨设,
则.
由于,
故可比较与.
令,则,
所以在上单调递减,
所以,
所以.
因为在上单调递增,
所以,得证.
【例20】已知函数,
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,,,
则,
所以在点处的切线方程为.
(2).
只需考虑的情形,令,则,
所以在上单调递增,
所以.
因为,当且仅当时取等号,所以,
所以.

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