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第7讲 利用必要条件求参数问题
知识与方法
在恒成立问题中,当直接讨论求解很麻烦时,经常利用特殊的函数值恒成立,解得参数的范围,使参数范围缩小,从而减少讨论量,使解题变得简洁.
有一类恒成立问题常常有某一参数为整数的条件,求该参数的最值.解决这一类问题亦可以通过必要探路法,合理赋值寻找必要条件,由必要条件可以求出参数的大致范围,进而确定参数的整数最值,之后再证明这一最值是正确的.这种做法相比隐零点的做法过程更简捷,但需要对常见的函数不等式比较熟悉,处理起来比较灵活.
典型例题
【例1】设函数
(1)若,求函数的最大值;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
【分析】(1)由单调性可得的最大值;(2)恒成立问题,作差后构造函数,再对分类讨论;若的讨论种数很多,常见的方法是特殊值求必要条件,如令,则,解得,从而使讨论种数变少.
【解析】(1),则.
所以当时,在上递增,
当时,在上递减,
从而函数的最大值为.
(2)方法一 设,则,
①若,由于,不符合题意.
②若,因为,设,
则.
对于方程,其判别式,
(i)若,则,所以,推出即递增.
因为,则当时,递减,
当时,递增,
从而成立.
(ii)若,方程有两根,
因为,则,
当时,有,推出即递减,
于是在上递减,
从而在上得到,不符合题意,舍去.
(iii)若,因为,
而是当的表达式,
根据刚才当的解题过程可知,,
所以成立.
综上,的取值范围是.
方法二 若,令,则,不符合题意.
故只需考虑的情况.
由已知,,可转化为.
设,则.
设,则.
设,则.
易知即在上递增,在上递减,
从而.
①当时,,于是递减,即递减,
由于,所以当时,,函数递增,
当时,,函数递减,
所以成立.
②当时,
因为,
则在区间内存在,使得,
由于在上递增,
所以当时,,则即递增,
因为,所以当时,递减,
于是在上,,与题意不符.
综上,的取值范围是.
【点睛】第(2)小题中,先用特殊值否定,再根据端点值讨论时的单调性.
【例2】函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2)证明:当时,;
(3)确定的所有可能取值,使得在区间内恒成立.
【分析】作差构造函数,利用,对与分类讨论.
【解析】(1)的定义域为,
当时,在上单调递减;
当时,令,得,
所以在上单调递减,在上单调递增.
(2),令,则,
当时,在上单调递增,
所以.
(3)令，
则,
要使在上恒成立,必须，即,
否则,存在,当时,,则,矛盾.
当时,由(2)得,,
则,
所以在上单调递增,,
综上所述,.
【点睛】分类讨论是恒成立求参数的常见方法,此类【例】隐含,常见的是对(1)的正负分类讨论.
【例3】已知,函数的导函数为.
(1)求函数在处的切线方程;
(2)若函数存在极值,求的取值范围;
(3)若当时,恒成立,求的最大值.
【分析】对参数分类讨论,恒成立问题,隐含,对的正负分类讨论.
【解析】(1),
因为,故所求切线方程为.
(2),
(1)当时,不存在极值;
(2)当时,在上递增,且,
若时,,
若,取,当时,,所以,
则当时,,当时,,
所以是的极小值点,
综上所述,.
(3),
要使当时,恒成立,必需,即,
否则,存在,当时,,矛盾.
当时,在上递增,
故在上递增,,
综上所述,的最大值为.
【点睛】分类讨论是恒成立求参数的常见方法,此类【例】隐含,常见的是对的正负分类讨论.
【例4】已知函数
(1)对于任意恒成立,求的取值范围;
(2)对于任意,求的取值范围.
【分析】(1)作差构造函数,,则隐含,所以对与分类讨论是常见的方法;(2)指对数同时出现时可将式子变形成同构式处理.
【解析】(1)令,
则.
要使恒成立,必需,即,
否则,存在,当时,,则,矛盾.
当时,,所以在上递增,所以,
综上所述,.
(2)当时,
,
令,则式,(注,同构)
因为,所以在上递增,
所以式,所以.
因为,当且仅当时取等号,所以.
【点睛】第(1)小题的高观点下看问题为函数的泰勒展开式,当时,,(2)指对数多项式同时出现时,构造同构式是处理此类问题的常见方法.
【例5】已知.
(1)求证:;
(2)已知是正整数,求使得恒成立的的最大值.
【分析】参数是整数的求值,常常可以用特殊值法探路,再证某个整数就是最值.
【解析】记,
则
,
所以在上为增函数,所以,
所以.
(2)方法一 记,
则，
①当时,因为,所以,
所以当时,,
所以为增函数,
所以,所以为增函数,故,
所以成立.
②当时,则当时有,而,
故当时,,
所以为减函数,
所以,所以为减函数,故,
即当时有成立,所以不符合.
所以,所以正整数的最大值为2.
方法二(利用条件中的为正整数,可优化解法)
因为在时恒成立,
故令得,
所以.
又因为为正整数,故,
所以当时,记,
则,
因为,所以,
所以当时,,
所以为增函数,
所以,
所以为增函数,故,
即成立,
所以正整数的最大值为2.
方法三(利用条件中的为正整数,可优化解法)
因为在时恒成立,
故令得,
所以.
又因为为正整数,故,
所以当时,记,
则,
所以为增函数,故,
即成立，
所以正整数的最大值为2.
【点睛】整数问题常常取特殊值求必要条件,再取整数值验证使问题简单化:
【例6】已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若,求的取值范围.
【分析】先取特殊值求必要条件,再证明,遇到指对数函数同时出现的式子,常常会利用与进行放缩处理.也可以配凑同构函数来处理.
【解析】(1)当时,,
切点为,斜率为,故切线方程为.
令得,令,
故三角形面积.
(2)方法一 由题意可得,所以,
记,则,
故为增函数,所以,
下面证明当时有.
利用结论,则,取对数得,
又因为,所以成立,
所以.
方法二(同构) 由题意可得,
则，
所以,即.
记,则,因为,
由,得在上递减,在上递增,且当时,
当时,,
(1)当时,成立,所以;
(2)当时,由在上递增,得到,
综合得在时恒成立,
所以,则在时恒成立,
而,所以在上递增,在上递减,故,所以.
【点睛】取特殊值求必要条件,是解决导函数比较复杂的【例】的常用方法.
【例7】已知函数,其中.若在上恒成立,当取得最大值时,求的最小值.
【分析】记恒成立,得到与的关系式,代入转变成单变量,求解的最小值.
【解析】记.
因为,所以,
则,所以.
①当时,因为,
存在使得当时,,得到为减函数,
所以,所以为减函数,故,不符合;
②当时,
下面只需证当,且时能成立即可.
在上恒成立.
等价于.
因为,
记为的导数,,
记为的导数,,所以当时,在上恒成立.
所以当,且时,在上恒成立.
所以,当且仅当时取等号.
【点睛】分析题意,将问题转变成函数值正负的关系,发现隐含条件区间端点的函数值与导数值都有,常常要对的正负分类讨论得到参数关系.
【例8】设函数.
(1)若为的极值点,求实数的值;
(2)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立.
注:为自然对数的底数.
【分析】(1)已知极值点求参数要注意检验;(2)取特殊值求必要条件,由于导函数比较复杂,所以此题应用隐零点求解(注:此题也可以用分离变量来处理).
【解析】(1)求导得.
因为是的极值点,所以,
解得或,经检验,符合题意,
所以或.
(2)①当时,对于任意的实数,有恒成立;
②当时,由题意有,且,解得,
由(1)知,
令,则,
且.
又在上单调递增,所以函数在上有唯一零点,
记此零点为,则.
从而,当时,;当时,.当时,.
即在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
所以要使在上恒成立,
只要成立.
由,知③,
将③式代入①式得.
又,注意到函数在上单调递增,
故.
再由③式以及函数在上单调递增,可得.
由(2)式解得,.
所以.
综上,的取值范围是.
【点睛】取特殊值求必要条件使得的范围变小,是恒成立问题的常见处理方法.对导函数很难求零点的问题,常常需要隐零点处理.
【例9】已知函数为的导数.
(1)求证:在区间上存在唯一零点;
(2)当时,,求实数的取值范围.
【分析】(1)直接求导即可;(2)这其实是一个恒成立问题,可以先取特殊值得出的取值范围,再给出严格证明.第二种方法是用图象法来处理.设,题设条件等价于函数的图象恒在函数图象的上方(原点为唯一公共点).函数的图象不难画,关键是画出的图象,才能直观地求出的取值范围.由于这是一个含有参变量的问题,因此第三种方法是用分离参变量来解题.
【解析】(1)设,则.
当时,;当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
又,故在上存在唯一零点.
所以在上存在唯一零点.
(2)方法一 由题设知,由,可得.
由(1)知在上只有一个零点,设为.
当时,;当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
又,所以当时,.
又当时,,故.
因此,实数的取值范围是.
方法二 当时,恒成立,等价于当时,函数的图象恒在函数图象的上方(原点为唯一公共点).
由(1)知,在上只有一个零点,设为.
当时,;当时,.
所以在上单调递增,在上单调递减,是的极大值点.
又,画出的大致图象,并在同一坐标系中画出函数的图象,如图.
由图可知,要使函数的图象恒在函数图象的上方(原点为唯一公共点),则直线的斜率.
因此,实数的取值范围是.
方法三 依题意可知,当时,不等式中的等号成立,故此时.
当时,由,有,
分离参变量,可得.
令,问题转化为:当时,求的最小值.
．
令，
则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
又，，，
所以存在，使得当时，，当时，．
故存在，使得当时，，当时，．
由此可知，在上单调递增，在上单调递减．
由洛必达法则知，
则．
而，因此，所以．
综上，实数的取值范围是．
【点睛】 遇到恒成立求参数问题，常见的做法是分离参数与分类讨论．
【例10】 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值．
【分析】 先由特殊值法求必要条件得，再变换主元，证明满足题意．
【解析】 若，则，不合题意，所以．
由，得，则．
下面证明当时，原不等式恒成立．
当时，，
令，，
则，则，
，
所以在上递增，当时，，当时，，
所以，得证．
【点睛】 证明过程中，先用指数不等式，再用均值不等式得到，然后结合0，得到的单调性，最终得证．第7讲 利用必要条件求参数问题
知识与方法
在恒成立问题中,当直接讨论求解很麻烦时,经常利用特殊的函数值恒成立,解得参数的范围,使参数范围缩小,从而减少讨论量,使解题变得简洁.
有一类恒成立问题常常有某一参数为整数的条件,求该参数的最值.解决这一类问题亦可以通过必要探路法,合理赋值寻找必要条件,由必要条件可以求出参数的大致范围,进而确定参数的整数最值,之后再证明这一最值是正确的.这种做法相比隐零点的做法过程更简捷,但需要对常见的函数不等式比较熟悉,处理起来比较灵活.
典型例题
【例1】设函数
若,求函数的最大值;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
【例2】函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2)证明:当时,;
(3)确定的所有可能取值,使得在区间内恒成立.
【例3】已知,函数的导函数为.
(1)求函数在处的切线方程;
(2)若函数存在极值,求的取值范围;
(3)若当时,恒成立,求的最大值.
【例4】已知函数
(1)对于任意恒成立,求的取值范围;
(2)对于任意,求的取值范围.
【例5】已知.
(1)求证:;
(2)已知是正整数,求使得恒成立的的最大值.
【例6】已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若,求的取值范围.
【例7】已知函数,其中.若在上恒成立,当取得最大值时,求的最小值.
【例8】设函数.
(1)若为的极值点,求实数的值;
(2)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立.
注:为自然对数的底数.
【例9】已知函数为的导数.
(1)求证:在区间上存在唯一零点;
(2)当时,,求实数的取值范围.
【例10】 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值．

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