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第5讲 变换主元求解多变量问题
知识与方法
导数中的多元参数问题，若按常规思路确定主元，可能导致问题复杂化，此时，若能针对例的结构特征，改变思考的角度，选择某参变量为主元，亦即把参变量与主变量对换，反客为主，往往可使问题化难为易．
典型例题
【例1】 设函数．
(1)讨论的导函数的零点个数；
(2)证明：当时，．
【分析】(1)要研究导数的零点个数，其实质就是研究导数的单调性等，可以根据二阶导数确定导函数的单调性，通过取点结合零点存在定理确定导函数零点个数；(2)要证明双变量不等式，可以分别采用以(或)为主元，将指数不等式转化为对数不等式，结合放缩予以解决．
【解析】(1)
当时，，此时没有零点；
当时，单调递增．又，
此时有唯一零点．
(2)方法一：(以为主元) 当时，．
令，则，
当时，；当时，，
所以，得证．
方法二：(以为主元) 当时，单调递增，，
取，则．
所以，且当时，，当时，，由得，即，
所以．
方法三：本小题也可利用不等式进行放缩，具体如下：
当时，，
而，得证．
【点睛】采用不同的主元，难易程度也不同，要适当选择；利用数恒等式结合指对数不等式则很轻巧，不可忽视，但也不可强求．
【例2】 已知，设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，求证：当时，．
【分析】(1)求导后转化为整式方程的实根问题；(2)利用主元法分而治之，各个击破，此题先设为主元．
【解析】(1)，记．
当时，在上单调递增；
当时，，令得，所以的增区间为，减区间为和；
当时，若，即在上单调递增；
若，即，令得，所以的增区间为，减区间为．
(2)当时，令，则，所以在上递增，
当时，，
令，则，所以在上递减，所以，得证．
【点睛】不同的主元顺序，难易程度不同，要合理安排．
【例3】 设，对任意实数，记．
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：①当时，对任意正实数成立；
②有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
【分析】(1)若以为主元，可先找到满足题意的，再以反例否定其余；(2)若以为主元，可转化为单变量不等式，直接处理．
【解析】(1)，
由，得，因为当时，，
当时，，当时，，
故所求函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
(2)①方法一：令，则，
当时，由，得，当时，，
所以在内的最小值是，
故当时，对任意正实数成立．
方法二：(为主元) 对任意固定的，令，
则，由，得．
当时，；当时，，
所以当时，取得最大值．
因此当时，对任意正实数成立．
②方法一：(利用第①小题的结论)．
由①得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性．
当时，，由①得，，再取，得，
所以，
即当时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
方法二：为主元) 对任意，
因为关于的最大值是，
所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是，
即，
又因为，不等式成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
【点睛】第2小题中，合理选择主元，可使解题过程更加简明．
【例4】 已知，设函数．
(1)若不存在极值，求的取值范围；
(2)若，求证：．
【分析】原函数有无极值可以根据导函数有无变号零点来确定；可以考虑利用主元法先处理，再处理，考虑到不等式中既有指数，又有三角函数，需要用到指数不等式放缩和三角函数的有界性．
【解析】(1)的定义域为，，；
①当，即时，在上递增，，
所以，
且当时，，当时，，所以是的极小值点，不合题意；
②当时，，当时，，
所以．
当，即时，在上递增，没有极值点，满足题意；
当，即时，，
所以，
且当时，，当时，，
所以是的极小值点，不合题意；
综上所述，．
(2)令，则，
则，只需证．
令，则，
因为，所以，
所以在上递增，
当时，，所以，
当时，，得证．
【点睛】(1)根据二阶导数进行分类，在每一类里确定导函数有无变号零点，进而得出原函数有无极值；(2)指对数与三角函数的混合题，要注意指对数不等式和三角函数的有界性．
【例5】已知函数．
(1)设是的极值点，求的值，并讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
【解析】(1),
由是的极值点得,所以,于是,定义域为,
函数在上单调递增,且,因此当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
(2)记为减函数,所以.
记,下面证明.
因为,所以为增函数,
而,
当时,,
故在上有唯一的根,
当时,;当时,,从而当时,有最小值,,
而,
故,
综上,成立.
【例6】 设函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，证明：．
【解析】(1)当时,
则,
所以在上递减,在上递增,
所以,
所以在上递增.
(2)令,则,
所以在上递减,
所以,
只需证当时,,
由(1)知,当时,,即.
因为,
所以,
所以,
所以,得证.
【例7】已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)设，证明：．
【解析】(1),
所以当时,为增函数,当时,为减函数,
故当时有最大值.
(2)(主元法)
记,
所以,
因为,所以,即,
所以在上为增函数.因为,所以,
即,
下面证明不等式右边.
记则
当时,,所以在上为减函数,
因为,所以,
即,
所以
【例8】已知函数，其中，
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：对任意的都有．
【解析】(1)当时,,所以
.
因为,所以,故为减函数.
(2)要证,只需证,
先证当时有成立,因为,故为增函数,所以,故当时有.记,
而
，
,
故恒成立,所以,证毕.第5讲 变换主元求解多变量问题
知识与方法
导数中的多元参数问题，若按常规思路确定主元，可能导致问题复杂化，此时，若能针对例的结构特征，改变思考的角度，选择某参变量为主元，亦即把参变量与主变量对换，反客为主，往往可使问题化难为易．
典型例题
设函数．
(1)讨论的导函数的零点个数；
(2)证明：当时，．
已知，设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，求证：当时，．
设，对任意实数，记．
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：①当时，对任意正实数成立；
②有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
【例4】 已知，设函数．
(1)若不存在极值，求的取值范围；
(2)若，求证：．
【例5】已知函数．
(1)设是的极值点，求的值，并讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
【例6】 设函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，证明：．
【例7】已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)设，证明：．
【例8】已知函数，其中，
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：对任意的都有．

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