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第4讲 恒成立问题
知识与方法
函数导数中有很多恒成立、存在成立或有解的参数范围的求解问题，此类问题通常有一定难度，它几乎涉及了高中数学的全部四种思想方法，即转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，而常用的具体解题思路通常有以下几种．
(1)首选分离参数，变为不含参数的定函数最值的求解．这是一种最基本的处理方式，分离参数后，处理不含参数的函数，将问题转化为函数的最值或值域求解．不过需要注意的是，现在很多问题往往增加了难度，参变分离后的函数往往比较复杂，单调性及最值难以求解，或出现型、型，必须要用洛必达法则求解，而很多省份考试中不得使用．另外还有些【例 】无法分离参数，但是无论如何，分离参数是一种常见的首选方法．
(2)不分离参数，直接处理，或移项构造新函数(若能因式分解约掉一部分则最好)，进行求导，分析函数的单调性和最值，这其中可能涉及隐零点、分类讨论、二次求导，将与其他函数结合，单独处理，可以减少计算量．
(3)必要性探路．很多复杂问题直接求解比较困难，可以考虑先取区间内某一个或某几个特殊值，代人原式，求出参数的初步范围，得到原式成立的一个必要条件，接下来有两种可能情况：(1)若该范围就是最终的答案，则再证明充分性即可；(2)若该范围还不是最终的结果，则在该范围的基础上再作分类讨论研究，可以大大节省讨论量，节省思维分析和计算的时间．
(4)同构处理，构造函数．最常见的是通过对数恒等式等方法对原式进行恒等变形，变为相同结构的表达式，常用的等式有，，将不等式两边变为相同的结构进行处理，结合函数单调性再研究．
(5)半分离参数，结合函数的凹凸性，将问题变为动直线与定曲线的关系，利用数形结合进行研究，这里通常要涉及函数的凹凸性和拐点等知识，将解题变得更加严密．
典型例题
【例1】已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求实数的取值范围．
【分析 】(1)利用二阶导数确定导函数的单调性，进而求函数的单调区间；(2)变量分离求参数范围．
【解析 】(1)当时，，令，由于，故单调递增，注意到，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
(2)由得，，其中，
①当时，不等式为，显然成立，符合题意；
②当时，分离参数可得，
记，
所以，
令，则，
令，则，
故单调递增，，故函数单调递增，，
由可得恒成立，
当时，单调递增；当时，单调递减；
因此，
综上，的取值范围是．
【点睛 】(1)需要观察得出导函数的零点；(2)分离变量与分类讨论是恒成立求参数范围的常见方法，两种都要学会．
【例2】已知函数，若，求实数的取值范围．
【分析 】本题无法分离参数求解，但是恰恰可以利用必要探路、隐零点代换、同构处理以及不等式和放缩法加以处理．
【解析 】方法一(构造同构式)
由得，即，
即．
令，显然在上为增函数，
则有，则恒成立．
即恒成立，也即，
设，而，
易得在上为增函数，在上为减函数，
所以，因此，
所以．
方法二(利用指数、对数不等式放缩法)
由题意，即，
而，
上式当即时取得等号．
因此，所以．
方法三(利用指数、对数不等式)
由得，
而，因此只要证明，也即证明，
又，当时，恒成立；
当时，，不符合题意，
所以的取值范围是．
方法四(隐零点代换结合放缩法)
由题设可知均为正数，且在上单调递增，
(1)当时，，
所以存在，使得，且当时，，单调递减，
所以当时，，不符合题意，所以无解．
(2)当时，由于，所以，
令，则，当时，单调递减；
当时，单调递增，所以，也即．
综上所述，的取值范围是．
方法五(必要性探路，隐零点代换)
由题意对一切恒成立，则必有，即，所以．
(1)当时，，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，符合题意．
(2)当时，由于在上单调递增，
又，，
所以存在，使，即，且当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由，得，
则．
设，则，
所以在上单调递减，
所以，所以，
综上所述，的取值范围是．
【点睛 】这道题难度不大，是一道非常好的【例 】，完美地展现了求解参数范围的不同方法，可以作为参数范围问题的典型例题进行研究．
【例3】已知，且恒成立，则的最大值为________．
A、 B、 C、 D、
【分析】解决恒成立问题，首先分析讨论函数的最值，进一步求解多参数函数最值问题，多元化一元是常用的一种处理方法．另外，因为是选择题，左边是指数函数，右边是一次函数，故可采用数形结合，利用的切线来求得的关系，进而求解的最大值．
方法一设，则，
若，则，则在上为增函数，当时，，矛盾，舍去．故必有，易知当时，为减函数，
当时，为增函数，所以，
即，所以，
设，则，
当时，为增函数，当时，为减函数，
故的最大值为，即的最大值为．
方法二看作动直线恒在定曲线的下方，
由于恒成立，故而为下凸函数，画出两者图象，
显然必有时直线才可恒在下方，且斜率固定时，直线与相切时，可使得达到最大，此时才可以取到最大值，也即此时成为的切线．
设上在点．处的切线方程为，
即，
因此，，，则．
设，则，
当时，为增函数；当时，，为减函数，
故的最大值为，所以的最大值为．
【点睛 】本题有两个考查点：一是含参数的极值最值问题的求解，此处直接求解时应注意分类讨论，二是多元函数最值的求解，多元换一元的应用是一种常见处理．而方法二中则采用了半分离思想，研究动直线与定曲线的位置关系，利用了切线的性质，注意此处要结合函数的凹凸性进行分析和求解．
【例4】已知恒成立，则的取值范围是_______，的取值范围是_______．
【分析 】本题为恒成立问题且为填空题，结构特点是一个对数函数与一个一次函数，故可采用半分离思路，看作动直线与定曲线位置关系，结合截距和取特殊值进行分析．
【解析 】此题的常规解法在第30题中已经有过体现，不再重复．下面利用动直线与定曲线的研究思想快速解决．
将不等式化为，即直线恒在曲线上方，令得，所以只需求出直线的横截距范围即可，而曲线与轴交点的横坐标为，所以，即．
对于可看作直线在时的纵坐标，由于直线恒在上方，所以，所以．
【点睛】本题主要考查多参数函数问题，采用半分离思想，研究动直线与定曲线的位置关系，利用了切线的性质，注意此处要结合函数的凹口性进行分析和求解，此处还应该注意结合目标函数的特征，转化为直线的函数值或横截距进行分析．
【例5】 设是函数的一个极值点．
(1)求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；
(2)设，若存在，使得成立，求的取值范围．
【分析】(1)利用极值点与导函数零点的关系，求出参数之间的关系，在求导函数零点时一定要注意方程的重根问题；(2)将“存在使得”转变成“”，相当于求与的最值．
【解析】(1)，
由，得，即，
所以
令，得或，
由于是极值点，所以，那么．
当时，，
在区间上，为减函数；
在区间上，为增函数；
在区间上，为减函数．
当时，，
在区间上，为减函数；
在区间上，为增函数；
在区间上，为减函数．
(2)由(1)知，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
那么在区间上的值域是，
而，
那么在区间上的值域是．
又在区间上是增函数，且它在区间上的值域是，
由于，
所以由题意得当且仅当且，解得．故的取值范围是．
【点睛】任意性和存在性问题在最后基本上均与函数最值产生联系，此类题目的关键是建立解题目标．
【例6】 已知函数(为常数)的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值及函数的极值；
(2)求证：当时，；
(3)求证：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有．
【分析】(1)利用导数与切线的关系即可求解；(2)作差构造即可证明；
(3)有三种解法：一是分离参变法，，令(是正常数)，，利用数形结合可证明的存在性；二是分类讨论思想，当时，，若，则，若取，显然结论成立，故重点证明当时结论成立即可；三是高阶思想，当时，，则，这样变形比较容易得到．
【解析】由得，由，得．
所以．令，得．
当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，取得极小值，且极小值为；无极大值．
(2)令，则．由(1)得，故在上单调递增，又，因此当时，，即．
(3)方法一：令是常数)，，则，于是．
当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得极小值；当时，取得极大值．
又，因此的值域是，如图①．
(i)当时，直线与有一个交点，设交点的横坐标为．
令，当时，恒有．
(ii)当时，直线与有两个交点，如图②．
两个交点的横坐标分别为，令，当时，恒有．
(iii)当时，直线与有三个交点，如图③．
三个交点的横坐标分别为．
令，当时，恒有．
综上所述，结论成立．
方法二：(i)若，则，又由(2)知，当时，，
所以当时，．取，当时，恒有．
(ii)若，令，要使不等式成立，只要成立．
而要使成立，则只要，即只要成立．
令，则，
所以当时，在上单调递增．
取，所以在上单调递增．
又，
易知，所以．
即存在，当时，恒有．
综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．
方法三：对任意给定的正数，取，由(2)知，当时，，
所以．
取，当时，，
因此对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．
【点睛】在求解存在性问题时，不易直接求解，所以采用放缩法取合适的，当2时，，即可得的范围．
【例7】已知函数满足．
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)若，求的最大值．
【分析】(1)利用赋值法先求出函数解析式，进而得到函数的单调区间；(2)恒成立问题，构造函数，利用得到的关系式，将变成单变量，再求最值．
【解析】(1)因为，所以，令得，又令得，故．
所以，
当时，；当时，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上，，单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)由得恒成立，记，
①当时，，所以在上单调递增，且，，因此恒成立，不符合；
(注：此处也可以当时，有产生矛盾)
②当时，由得；由得，
所以，
所以，其中．
令，记，则，
由得，由得，
所以当时，，
所以的最大值为．
综合可得的最大值为．
【点睛】 多元最值问题中化多变量为单变量是常见处理方法．
【例8】 设函数．
(1)若为的极值点，求实数；
(2)求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立．
【分析】 (1)利用可导函数极值点的导数为零求参数，(2)利用分离参数．
【解析】 (1)，
因为是的极值点，所以，
解得或(经检验，符合题意)，
所以或．
(2)①当时，对于任意的实数，恒有成立；
②当时，由题意得，
所以在时恒成立，记，当，
因为，
所以为增函数，故．
记，则，当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，
故，所以．
【点睛】 相比于分类讨类的方法，分离和后，解题过程更简洁明确，但需要具备求相应最值的能力．
【例9】 已知函数．
(1)若在上的最大值和最小值分别记为，求；
(2)设，若对一切恒成立，求的取值范围．
【分析】(1)含绝对值函数的分段讨论；(2)函数的极值最值问题，将变成，恒成立问题转变成求函数最值问题，求出参数之间的关系式．
【解析】(1)因为所以由于，
①当时，有，故在上时增函数，
因此，所以，
②当时，若在上是增函数，
若在上是减函数，
所以，
所以
③当时，有，故在上是减函数，
因此，故．
综上，
(2)对恒成立，即对恒成立，
结合(1)，令，则
①当时，在上是增函数，则，，矛盾!无解；
②当时，在上满足
从而，且，易知．
又令，则，所以在上是增函数，故，所以；
③当时，在上满足
所以；
(4)当时，在上满足
所以．综上所述，．
【点睛】我们还可以求解诸如的范围，这是之前的方法所不能比拟的．这样处理使得问题变得更加明朗，更加能抓住问题的本质．第4讲 恒成立问题
知识与方法
函数导数中有很多恒成立、存在成立或有解的参数范围的求解问题，此类问题通常有一定难度，它几乎涉及了高中数学的全部四种思想方法，即转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，而常用的具体解题思路通常有以下几种．
(1)首选分离参数，变为不含参数的定函数最值的求解．这是一种最基本的处理方式，分离参数后，处理不含参数的函数，将问题转化为函数的最值或值域求解．不过需要注意的是，现在很多问题往往增加了难度，参变分离后的函数往往比较复杂，单调性及最值难以求解，或出现型、型，必须要用洛必达法则求解，而很多省份考试中不得使用．另外还有些【例 】无法分离参数，但是无论如何，分离参数是一种常见的首选方法．
(2)不分离参数，直接处理，或移项构造新函数(若能因式分解约掉一部分则最好)，进行求导，分析函数的单调性和最值，这其中可能涉及隐零点、分类讨论、二次求导，将与其他函数结合，单独处理，可以减少计算量．
(3)必要性探路．很多复杂问题直接求解比较困难，可以考虑先取区间内某一个或某几个特殊值，代人原式，求出参数的初步范围，得到原式成立的一个必要条件，接下来有两种可能情况：(1)若该范围就是最终的答案，则再证明充分性即可；(2)若该范围还不是最终的结果，则在该范围的基础上再作分类讨论研究，可以大大节省讨论量，节省思维分析和计算的时间．
(4)同构处理，构造函数．最常见的是通过对数恒等式等方法对原式进行恒等变形，变为相同结构的表达式，常用的等式有，，将不等式两边变为相同的结构进行处理，结合函数单调性再研究．
(5)半分离参数，结合函数的凹凸性，将问题变为动直线与定曲线的关系，利用数形结合进行研究，这里通常要涉及函数的凹凸性和拐点等知识，将解题变得更加严密．
典型例题
【例1】已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求实数的取值范围．
【例2】已知函数，若，求实数的取值范围．
【例3】已知，且恒成立，则的最大值为________．
A、 B、 C、 D、
【例4】已知恒成立，则的取值范围是_______，的取值范围是_______．
【例5】 设是函数的一个极值点．
(1)求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；
(2)设，若存在，使得成立，求的取值范围．
【例6】 已知函数(为常数)的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值及函数的极值；
(2)求证：当时，；
(3)求证：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有．
【例7】已知函数满足．
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)若，求的最大值．
【例8】 设函数．
(1)若为的极值点，求实数；
(2)求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立．
【例9】 已知函数．
(1)若在上的最大值和最小值分别记为，求；
(2)设，若对一切恒成立，求的取值范围．

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