2023届高考数学二轮复习导数专讲 第04讲 恒成立问题(含解析)

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2023届高考数学二轮复习导数专讲 第04讲 恒成立问题(含解析)

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第4讲 恒成立问题
知识与方法
函数导数中有很多恒成立、存在成立或有解的参数范围的求解问题,此类问题通常有一定难度,它几乎涉及了高中数学的全部四种思想方法,即转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想,而常用的具体解题思路通常有以下几种.
(1)首选分离参数,变为不含参数的定函数最值的求解.这是一种最基本的处理方式,分离参数后,处理不含参数的函数,将问题转化为函数的最值或值域求解.不过需要注意的是,现在很多问题往往增加了难度,参变分离后的函数往往比较复杂,单调性及最值难以求解,或出现型、型,必须要用洛必达法则求解,而很多省份考试中不得使用.另外还有些【例 】无法分离参数,但是无论如何,分离参数是一种常见的首选方法.
(2)不分离参数,直接处理,或移项构造新函数(若能因式分解约掉一部分则最好),进行求导,分析函数的单调性和最值,这其中可能涉及隐零点、分类讨论、二次求导,将与其他函数结合,单独处理,可以减少计算量.
(3)必要性探路.很多复杂问题直接求解比较困难,可以考虑先取区间内某一个或某几个特殊值,代人原式,求出参数的初步范围,得到原式成立的一个必要条件,接下来有两种可能情况:(1)若该范围就是最终的答案,则再证明充分性即可;(2)若该范围还不是最终的结果,则在该范围的基础上再作分类讨论研究,可以大大节省讨论量,节省思维分析和计算的时间.
(4)同构处理,构造函数.最常见的是通过对数恒等式等方法对原式进行恒等变形,变为相同结构的表达式,常用的等式有,,将不等式两边变为相同的结构进行处理,结合函数单调性再研究.
(5)半分离参数,结合函数的凹凸性,将问题变为动直线与定曲线的关系,利用数形结合进行研究,这里通常要涉及函数的凹凸性和拐点等知识,将解题变得更加严密.
典型例题
【例1】已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,,求实数的取值范围.
【分析 】(1)利用二阶导数确定导函数的单调性,进而求函数的单调区间;(2)变量分离求参数范围.
【解析 】(1)当时,,令,由于,故单调递增,注意到,
当时,单调递减;
当时,单调递增.
(2)由得,,其中,
①当时,不等式为,显然成立,符合题意;
②当时,分离参数可得,
记,
所以,
令,则,
令,则,
故单调递增,,故函数单调递增,,
由可得恒成立,
当时,单调递增;当时,单调递减;
因此,
综上,的取值范围是.
【点睛 】(1)需要观察得出导函数的零点;(2)分离变量与分类讨论是恒成立求参数范围的常见方法,两种都要学会.
【例2】已知函数,若,求实数的取值范围.
【分析 】本题无法分离参数求解,但是恰恰可以利用必要探路、隐零点代换、同构处理以及不等式和放缩法加以处理.
【解析 】方法一(构造同构式)
由得,即,
即.
令,显然在上为增函数,
则有,则恒成立.
即恒成立,也即,
设,而,
易得在上为增函数,在上为减函数,
所以,因此,
所以.
方法二(利用指数、对数不等式放缩法)
由题意,即,
而,
上式当即时取得等号.
因此,所以.
方法三(利用指数、对数不等式)
由得,
而,因此只要证明,也即证明,
又,当时,恒成立;
当时,,不符合题意,
所以的取值范围是.
方法四(隐零点代换结合放缩法)
由题设可知均为正数,且在上单调递增,
(1)当时,,
所以存在,使得,且当时,,单调递减,
所以当时,,不符合题意,所以无解.
(2)当时,由于,所以,
令,则,当时,单调递减;
当时,单调递增,所以,也即.
综上所述,的取值范围是.
方法五(必要性探路,隐零点代换)
由题意对一切恒成立,则必有,即,所以.
(1)当时,,则,
当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以,符合题意.
(2)当时,由于在上单调递增,
又,,
所以存在,使,即,且当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以.
由,得,
则.
设,则,
所以在上单调递减,
所以,所以,
综上所述,的取值范围是.
【点睛 】这道题难度不大,是一道非常好的【例 】,完美地展现了求解参数范围的不同方法,可以作为参数范围问题的典型例题进行研究.
【例3】已知,且恒成立,则的最大值为________.
A、 B、 C、 D、
【分析】解决恒成立问题,首先分析讨论函数的最值,进一步求解多参数函数最值问题,多元化一元是常用的一种处理方法.另外,因为是选择题,左边是指数函数,右边是一次函数,故可采用数形结合,利用的切线来求得的关系,进而求解的最大值.
方法一设,则,
若,则,则在上为增函数,当时,,矛盾,舍去.故必有,易知当时,为减函数,
当时,为增函数,所以,
即,所以,
设,则,
当时,为增函数,当时,为减函数,
故的最大值为,即的最大值为.
方法二看作动直线恒在定曲线的下方,
由于恒成立,故而为下凸函数,画出两者图象,
显然必有时直线才可恒在下方,且斜率固定时,直线与相切时,可使得达到最大,此时才可以取到最大值,也即此时成为的切线.
设上在点.处的切线方程为,
即,
因此,,,则.
设,则,
当时,为增函数;当时,,为减函数,
故的最大值为,所以的最大值为.
【点睛 】本题有两个考查点:一是含参数的极值最值问题的求解,此处直接求解时应注意分类讨论,二是多元函数最值的求解,多元换一元的应用是一种常见处理.而方法二中则采用了半分离思想,研究动直线与定曲线的位置关系,利用了切线的性质,注意此处要结合函数的凹凸性进行分析和求解.
【例4】已知恒成立,则的取值范围是_______,的取值范围是_______.
【分析 】本题为恒成立问题且为填空题,结构特点是一个对数函数与一个一次函数,故可采用半分离思路,看作动直线与定曲线位置关系,结合截距和取特殊值进行分析.
【解析 】此题的常规解法在第30题中已经有过体现,不再重复.下面利用动直线与定曲线的研究思想快速解决.
将不等式化为,即直线恒在曲线上方,令得,所以只需求出直线的横截距范围即可,而曲线与轴交点的横坐标为,所以,即.
对于可看作直线在时的纵坐标,由于直线恒在上方,所以,所以.
【点睛】本题主要考查多参数函数问题,采用半分离思想,研究动直线与定曲线的位置关系,利用了切线的性质,注意此处要结合函数的凹口性进行分析和求解,此处还应该注意结合目标函数的特征,转化为直线的函数值或横截距进行分析.
【例5】 设是函数的一个极值点.
(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(2)设,若存在,使得成立,求的取值范围.
【分析】(1)利用极值点与导函数零点的关系,求出参数之间的关系,在求导函数零点时一定要注意方程的重根问题;(2)将“存在使得”转变成“”,相当于求与的最值.
【解析】(1),
由,得,即,
所以
令,得或,
由于是极值点,所以,那么.
当时,,
在区间上,为减函数;
在区间上,为增函数;
在区间上,为减函数.
当时,,
在区间上,为减函数;
在区间上,为增函数;
在区间上,为减函数.
(2)由(1)知,当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,
那么在区间上的值域是,
而,
那么在区间上的值域是.
又在区间上是增函数,且它在区间上的值域是,
由于,
所以由题意得当且仅当且,解得.故的取值范围是.
【点睛】任意性和存在性问题在最后基本上均与函数最值产生联系,此类题目的关键是建立解题目标.
【例6】 已知函数(为常数)的图象与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值;
(2)求证:当时,;
(3)求证:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有.
【分析】(1)利用导数与切线的关系即可求解;(2)作差构造即可证明;
(3)有三种解法:一是分离参变法,,令(是正常数),,利用数形结合可证明的存在性;二是分类讨论思想,当时,,若,则,若取,显然结论成立,故重点证明当时结论成立即可;三是高阶思想,当时,,则,这样变形比较容易得到.
【解析】由得,由,得.
所以.令,得.
当时,单调递减;当时,单调递增;所以当时,取得极小值,且极小值为;无极大值.
(2)令,则.由(1)得,故在上单调递增,又,因此当时,,即.
(3)方法一:令是常数),,则,于是.
当时,单调递减;当时,单调递增;当时,单调递减.
所以当时,取得极小值;当时,取得极大值.
又,因此的值域是,如图①.
(i)当时,直线与有一个交点,设交点的横坐标为.
令,当时,恒有.
(ii)当时,直线与有两个交点,如图②.
两个交点的横坐标分别为,令,当时,恒有.
(iii)当时,直线与有三个交点,如图③.
三个交点的横坐标分别为.
令,当时,恒有.
综上所述,结论成立.
方法二:(i)若,则,又由(2)知,当时,,
所以当时,.取,当时,恒有.
(ii)若,令,要使不等式成立,只要成立.
而要使成立,则只要,即只要成立.
令,则,
所以当时,在上单调递增.
取,所以在上单调递增.
又,
易知,所以.
即存在,当时,恒有.
综上,对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.
方法三:对任意给定的正数,取,由(2)知,当时,,
所以.
取,当时,,
因此对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.
【点睛】在求解存在性问题时,不易直接求解,所以采用放缩法取合适的,当2时,,即可得的范围.
【例7】已知函数满足.
(1)求函数的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值.
【分析】(1)利用赋值法先求出函数解析式,进而得到函数的单调区间;(2)恒成立问题,构造函数,利用得到的关系式,将变成单变量,再求最值.
【解析】(1)因为,所以,令得,又令得,故.
所以,
当时,;当时,,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
综上,,单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由得恒成立,记,
①当时,,所以在上单调递增,且,,因此恒成立,不符合;
(注:此处也可以当时,有产生矛盾)
②当时,由得;由得,
所以,
所以,其中.
令,记,则,
由得,由得,
所以当时,,
所以的最大值为.
综合可得的最大值为.
【点睛】 多元最值问题中化多变量为单变量是常见处理方法.
【例8】 设函数.
(1)若为的极值点,求实数;
(2)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立.
【分析】 (1)利用可导函数极值点的导数为零求参数,(2)利用分离参数.
【解析】 (1),
因为是的极值点,所以,
解得或(经检验,符合题意),
所以或.
(2)①当时,对于任意的实数,恒有成立;
②当时,由题意得,
所以在时恒成立,记,当,
因为,
所以为增函数,故.
记,则,当时,,当时,,所以在上为减函数,在上为增函数,
故,所以.
【点睛】 相比于分类讨类的方法,分离和后,解题过程更简洁明确,但需要具备求相应最值的能力.
【例9】 已知函数.
(1)若在上的最大值和最小值分别记为,求;
(2)设,若对一切恒成立,求的取值范围.
【分析】(1)含绝对值函数的分段讨论;(2)函数的极值最值问题,将变成,恒成立问题转变成求函数最值问题,求出参数之间的关系式.
【解析】(1)因为所以由于,
①当时,有,故在上时增函数,
因此,所以,
②当时,若在上是增函数,
若在上是减函数,
所以,
所以
③当时,有,故在上是减函数,
因此,故.
综上,
(2)对恒成立,即对恒成立,
结合(1),令,则
①当时,在上是增函数,则,,矛盾!无解;
②当时,在上满足
从而,且,易知.
又令,则,所以在上是增函数,故,所以;
③当时,在上满足
所以;
(4)当时,在上满足
所以.综上所述,.
【点睛】我们还可以求解诸如的范围,这是之前的方法所不能比拟的.这样处理使得问题变得更加明朗,更加能抓住问题的本质.第4讲 恒成立问题
知识与方法
函数导数中有很多恒成立、存在成立或有解的参数范围的求解问题,此类问题通常有一定难度,它几乎涉及了高中数学的全部四种思想方法,即转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想,而常用的具体解题思路通常有以下几种.
(1)首选分离参数,变为不含参数的定函数最值的求解.这是一种最基本的处理方式,分离参数后,处理不含参数的函数,将问题转化为函数的最值或值域求解.不过需要注意的是,现在很多问题往往增加了难度,参变分离后的函数往往比较复杂,单调性及最值难以求解,或出现型、型,必须要用洛必达法则求解,而很多省份考试中不得使用.另外还有些【例 】无法分离参数,但是无论如何,分离参数是一种常见的首选方法.
(2)不分离参数,直接处理,或移项构造新函数(若能因式分解约掉一部分则最好),进行求导,分析函数的单调性和最值,这其中可能涉及隐零点、分类讨论、二次求导,将与其他函数结合,单独处理,可以减少计算量.
(3)必要性探路.很多复杂问题直接求解比较困难,可以考虑先取区间内某一个或某几个特殊值,代人原式,求出参数的初步范围,得到原式成立的一个必要条件,接下来有两种可能情况:(1)若该范围就是最终的答案,则再证明充分性即可;(2)若该范围还不是最终的结果,则在该范围的基础上再作分类讨论研究,可以大大节省讨论量,节省思维分析和计算的时间.
(4)同构处理,构造函数.最常见的是通过对数恒等式等方法对原式进行恒等变形,变为相同结构的表达式,常用的等式有,,将不等式两边变为相同的结构进行处理,结合函数单调性再研究.
(5)半分离参数,结合函数的凹凸性,将问题变为动直线与定曲线的关系,利用数形结合进行研究,这里通常要涉及函数的凹凸性和拐点等知识,将解题变得更加严密.
典型例题
【例1】已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,,求实数的取值范围.
【例2】已知函数,若,求实数的取值范围.
【例3】已知,且恒成立,则的最大值为________.
A、 B、 C、 D、
【例4】已知恒成立,则的取值范围是_______,的取值范围是_______.
【例5】 设是函数的一个极值点.
(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(2)设,若存在,使得成立,求的取值范围.
【例6】 已知函数(为常数)的图象与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值;
(2)求证:当时,;
(3)求证:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有.
【例7】已知函数满足.
(1)求函数的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值.
【例8】 设函数.
(1)若为的极值点,求实数;
(2)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立.
【例9】 已知函数.
(1)若在上的最大值和最小值分别记为,求;
(2)设,若对一切恒成立,求的取值范围.

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