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第3讲 不等式证明
知识与方法
构造函数，利用导数研究函数单调性或最值，从而证明不等式．
(1)证明(其是为常数)，常见的方法是求出的最小值与比大小；
(2)证明，常用的方法是设，然后求出的最小值与0比大小；
(3)需要变形，因式分解或放缩变形，如证明，也有可能找到一个，使得成立；
(4)转化为对数形式后得到另一些常用不等式，如：当时，，，，等．
典型例题
【例1】证明：，当且仅当时，等号成立．
【分析 】作差后构造函数，求导后求最小值即可．
【解析 】令，则，
当时，；当时，，
所以，即，当且仅当时，等号成立．
【点睛 】(1)此不等式为基本的指数不等式，用途广泛；
(2)将通过适当变形，可以得到一些常用不等式，如：
，，，
，等．
【例2】证明：当时，，当且仅当时，等号成立．
【分析 】作差后构造函数，，利用单调性证明．
【解析 】令，，则，记，则，
所以在上单调递增，可得，
所以在上单调递增，可得，
所以当时，，当且仅当时，等号成立．
【点睛 】(1)此不等式在高观点视觉下与的泰勒展开有关，需条件；
(2)显然，当时，；
(3)于是当时，；当时，．
【例3】证明：当时，．
【分析 】令(比例换元)，则原不等式可化为，构造函数后利用单调性即可．
【解析 】令，则原不等式可化为①．
令，，，则①式，
则，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，，得证．
【点睛 】(1)此不等式即对数平均不等式，用途广泛，使用前需证明；
(2)结合均值不等式，有；
(3)此不等式的指数形式为当时，；
(4)通过适当赋值，可得一些常见不等式，如，，
，，，等．
【例 4】证明不等式：．
【分析 】作差后可构造函数利用求导来证明．
【解析 】令，则，
，，
记，则，
所以当时，，当时，，
所以，得证．
【点睛 】本题函数形式复杂，其导数并不复杂，但正负难判，因此用了两次导数．
【例 5】当时，求证．
【分析 】作差后可构造函数，利用求导来证明．
【解析 】令，则，
所以在上单调递减，所以，即．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，即．
综上所述，当时，．
【点睛 】在高等数学背景下，此不等式与的泰勒展开有关．
【例6】设，，证明
【分析 】双变量问题，可用主元法．
【解析 】令，
则，
所以当时，；当时，，
所以，得证．
【点睛 】令，原不等式可化为，其实是函数的凹凸性．
【例7】已知，且，求证：．
【分析 】取对数后化同形，构造函数证明不等式．
【解析 】因为，
所以．
令，只需证在上恒成立．
则，得证．
【点睛 】两边化同形，构造函数，利用单调性证明不等式是常用方法．
【例8】设函数，为常数)，曲线与直线在点相切．
(1)求的值；
(2)证明：当时，．
【分析 】已知切点和切线方程可求原函数解析 式，通过构造函数求最值加以证明．因为原函数中有对数函数、根式函数和一次函数，要证不等式，运用作差法的思想只要证明，可构造函数利用求导来证明．考虑到和其导数中都会出现，可利用均值不等式进行放缩，达到降低计算量的目的．
【解析 】(1)由的图象过点，代人得．
由题意曲线在点处的切线斜率为，又，所以，解得．
(2)方法一由均值不等式，当时，，故．
记，
则．
令，则当时，，所以在上是减函数．
又由得，所以，所以在上是减函数，
又由得，所以当时，．
方法二由(1)知．
设，则，
故在上单调递减．
所以当时，，即．又当时，有，
故当时，．
记，
则
，
因此在上单调递减．
又，所以，即．
所以．
方法三令，由得，
则
所以．
【点睛 】(1)第(2)小题若直接作差求导，则非常麻烦，在证明过程中利用不等式放缩可以降低计算量；
(2)方法一为原解法，应用均值不等式对导函数进行放缩，本质是直线为曲线在处的七线，仍不明朗，需对分子进行处理；方法二应用了均值不等式和对数不等式进行放缩，但感觉反而变麻烦了；
(3)方法三中，换元的作用是去掉根式，再利用时进行放大，运用因式分解即可证明，非常简洁，远胜方法一和方法二．
【例9】已知函数．
(1)若当时，，求的最小值；
(2)设数列的通项，证明：．
【分析 】1、恒成立问题；2、导数与数列不等式结合，利用第(1)小题结论，构造一个不等式关系，
是常见的变形，进而只需得到与之间的一些关系再利用数列求和即可．
【解析 】(1)由已知，得．
(1)当时，因为，所以，所以为减函数，成立；
(2)当时，，所以当时，，所以在上为增函数，，不符合．综上可得，的最小值为．
(2)令，由(1)知当时，，即．
取，则，即，
于是
，得证．
【点睛 】导数与数列不等式结合时，要想一想【例 】中隐含的条件与结论，通过变形得到我们需要的关系式．
【例10】设函数，，其中．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数存在极值点，且，其中，求证：；
(3)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．
【分析 】(1)利用函数值相等进行恒等变形，分解因式得到；(2)分类讨论求函数最值．
【解析 】(1)，
①当时，有恒成立，所以的单调递增区间为；
②当时，令，解得，或，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)由(1)可知，且，由题意得，
所以
因为，且，
所以，
即，
所以，得证．
(3)设在区间上的最大值为，表示两数的最大值．下面分三种情况讨论．
①当时，，由(1)知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，
所以
，
所以．
②当时，，
由①和②知，，
所以在区间上的取值范围为，
所以
．
③当时，，
由(1)和(2)知，，所以在区间上的取值范围为，
所以
综上所述，当时，在区间上的最大值不小于．
【点睛 】分类讨论是处理含参数函数最值的常规方法．第3讲 不等式证明
知识与方法
构造函数，利用导数研究函数单调性或最值，从而证明不等式．
(1)证明(其是为常数)，常见的方法是求出的最小值与比大小；
(2)证明，常用的方法是设，然后求出的最小值与0比大小；
(3)需要变形，因式分解或放缩变形，如证明，也有可能找到一个，使得成立；
(4)转化为对数形式后得到另一些常用不等式，如：当时，，，，等．
典型例题
【例1】证明：，当且仅当时，等号成立．
【例2】证明：当时，，当且仅当时，等号成立．
【例3】证明：当时，．
【例 4】证明不等式：．
【例 5】当时，求证．
【例6】设，，证明
【例7】已知，且，求证：．
【例8】设函数，为常数)，曲线与直线在点相切．
(1)求的值；
(2)证明：当时，．
【例9】已知函数．
(1)若当时，，求的最小值；
(2)设数列的通项，证明：．
【例10】设函数，，其中．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数存在极值点，且，其中，求证：；
(3)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．

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