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第2讲 函数的极值、最值和零点问题
知识与方法
1.极值
一般地,设函数的定义域为,取,如果对于附近的任意不同于的(是指存在区间,使得且都有:
(1),则称为函数的一个极大值点,且在处取得极大值;
(2),则称为函数的一个极小值点,且在处取得极小值.
极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.
一般地,如果是的极值点,且在处可导,则必有.若存在,则“”是“是的极值点”的必要不充分条件.
2.最值
闭区间上的连续函数一定有最值;最值一般在极值与端点函数值中取得.
3.零点
连续函数,若存在,使得,则存在,使得,在具体函数中,寻找常常与极值点有联系.
4.*当在处可导,若,则是的极小值点;若,则是的极大值点.
典型例题
【例1】已知函数,若函数的最大值为,求函数的表达式.
【例2】若函数在其定义域内的一个子集上存在极值,求实数的取值范围.
【例3】已知函数的图象与直线有2个不同的交点，求实数
的取值范围.
【例4】设已知函数.
(1)当时,证明:当时,;
(2)当时,证明:函数有唯一零点.
【例5】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明:当时,;
(3)如果,且,证明:.
【例6】已知函数.
（1）证明:当时,;
（2）设函数在上有极小值,求的取值范围.
【例7】已知函数有两个极值点.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:;
(3)若,求的最大值.
【例8】已知函数,其中,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)证明:.
【例9】已知函数.若函数有两个零,且.
(1)求的取值范围;
(2)证明:随着的减小而增大;
(3)证明:随着的减小而增大.第2讲 函数的极值、最值和零点问题
知识与方法
1.极值
一般地,设函数的定义域为,取,如果对于附近的任意不同于的(是指存在区间,使得且都有:
(1),则称为函数的一个极大值点,且在处取得极大值;
(2),则称为函数的一个极小值点,且在处取得极小值.
极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.
一般地,如果是的极值点,且在处可导,则必有.若存在,则“”是“是的极值点”的必要不充分条件.
2.最值
闭区间上的连续函数一定有最值;最值一般在极值与端点函数值中取得.
3.零点
连续函数,若存在,使得,则存在,使得,在具体函数中,寻找常常与极值点有联系.
4.*当在处可导,若,则是的极小值点;若,则是的极大值点.
典型例题
【例1】已知函数,若函数的最大值为,求函数的表达式.
【分析】 利用函数的单调性求出,进而得到的表达式.
【解析】 ,
①当时,函数在上为减函数,所以,解得;
②当时,函数在上为增函数,在上为减函数,故,解得(不符合,舍去)；
③当时,函数在上为增函数,,解得(不符合,舍去);
所以,即.
【点睛】 分类讨论求出函数最值,是此类问题的常见解法.
【例2】若函数在其定义域内的一个子集上存在极值,求实数的取值范围.
【分析】 求出极值点位于区间即可,一定要注意定义域.
【解析】 对求导得.
当时,单调递减;当时,单调递增.
故为的极小值点.
若在定义域内的一个子集上存在极值,
则有,解得.
【点睛】 必要条件为在上有解.
【例3】已知函数的图象与直线有2个不同的交点，求实数
的取值范围.
【分析】 本题考查三次函数图象特点,利用函数单调性得到函数图象进行分析.
【解析】 对求导得.
当时,单调递增;当时单调递减;当时,单调递增,其中.
若的图象与直线有2个不同的交点,则有或,解得或.
【点睛】 本题中并不含参数,因此图象是固定的,通过数形结合不难知道:若函数的图象与直线有2个不同的交点,则必与函数极值产生联系.
【例4】设已知函数.
(1)当时,证明:当时,;
(2)当时,证明:函数有唯一零点.
【分析】 (1)构造函数来处理不等式问题,(2)先利用第(1)小题的结论,易得当时,恒成立,所以只需考虑在时的零点问题.
【解析】 (1)即证等价于,
记,则.
因为,所以,所以,则为增函数,
故成立,所以.
(2)当时,因为,由(1)知,所以函数在时没有零点.
下面考虑当时的零点情况.
记.
记,则,令,
因为,所以递增,即递增,
因为且,
故在上存在唯一零点,
所以在上递减,在上递减.
由,
所以在上有唯一零点,记为,
则当时,,当时,,
所以在上为增函数,在上为减函数.
因为,所以在无零点.
又因为,当时,,
所以当时,
,（或当时,)所以在上有唯一零点,
综上可知,函数有唯一零点.
【点睛】 利用函数单调性与极值是处理函数零点的常见方法.
【例5】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明:当时,;
(3)如果,且,证明:.
【分析】 单调区间问题和不等式问题可利用构造函数法解决,第(3)小题可利用第(2)小题的对称函数,再利用函数的单调性,求得的关系.
【解析】 (1)因为,
所以的增区间为,减区间为,
当时,有极大值.
(2)由题意可知,
令,即,
于是,
当时,,从而,又,所以,
从而函数在上是增函数.
又,所以当时,有,即当时,.
（3）不妨设,则由题意借助的单调性可得,
由(2)可知,,
因为,所以,
从而.
因为,所以.
又由可知函数在区间上是增函数,
所以,即.
【点睛】 构造对称函数,利用函数单调性可以解决函数值相等的两变量的大小问题.
【例6】已知函数.
（1）证明:当时,;
（2）设函数在上有极小值,求的取值范围.
【分析】 (1)因为函数式很复杂,难以处理,直接求导不可行,所以需要进行不等式放缩,常见函数不等式有,当且仅当时取等号;,当且仅当时取等号.
【解析】 (1)当时,,
易证,当且仅当时取等号;,当且仅当时取等号,因为,所以,当且仅当时取等号,,当且仅当时取等号,所以,得证.
(2)(注:分离变量),令,则,所以,
①当时,没有极值,不合题意;
②当时,,当时,,所以是的极小值,满足题意;
③当时,;令,则,所以在上递增,则,要使有极小值,必需,即,综上,.
【点睛】 利用基本指、对数不等式进行放缩,需要掌握一些变形技巧;若令,,则会纠缠不清.
【例7】
已知函数有两个极值点.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:;
(3)若,求的最大值.
【分析】 (1)利用导函数有两个不同零点来求参数范围;
(2)利用得到与的关系,然后得到的单变量【解析】式;
(3)可用比值换元将变成单变量问题.
【解析】 (1)函数的定义域为,
因为有两个解,
所以方程有两个不同的正根,
由,且,可得的取值范围是.
(2)由(1)知,不妨设时,在和上递增,在上递减,因为,所以,
因为,所以,
故只要证.
设,则,函数在上递增,在上递减,故,则得证.
(3)根据韦达定理,,
令,
因为,所以令,设,其中,
则,
所以函数在区间上单调递减,当时,,
则的最大值是.
【点睛】 利用根表示系数,进而转变为单变量问题;比值换元是处理双变量问题的常见方法之一.
【例8】已知函数,其中,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)证明:.
【分析】 (1)直接利用导函数即可;(2)作差构造函数,求导后发现导函数有一个零点不好求,所以虚设零点再估计的范围求解.
【解析】 (1)对已知函数求导,得.
由题意知,
解得.
(2)由(1)知.
令,
则.
再令,易知单调递减.
又
所以,使得,即有.
当时,单调递增;当时,单调递减,
从而,所以.
【点睛】 本题第2问实质上是通过隐零点来讨论函数的单调性,之后通过整体代换求得函数的最大值.另外,本题也可以利用代数式的恒等变形,再利用指数不等式来求解,简要过程为.
【例9】已知函数.若函数有两个零,且.
(1)求的取值范围;
(2)证明:随着的减小而增大;
(3)证明:随着的减小而增大.
【分析】 (1)常规处理即可;(2)无法将和表示成关于的函数,这是难点,此题是直接利用函数的单调性,确定与的变化关系,(3)此题用到了比值换元,记,然后与第(2)小题建立联系.
【解析】 (1)由,可得.
下面分两种情况讨论.
①当时,在上恒成立,可得在上单调递增,不合题意.
②当时,由,得.
当变化时,的变化情况如下表:
0
这时,的单调递增区间是;单调递减区间是.
因为函数有两个零点,
所以,解得,所以.
因为,所以在上存在唯一零点.
因为当时易得,
所以当时,
有,
所以在上存在唯一零点,
所以的取值范围是.
(2)由,得.
设,由知在上单调递增,在上单调递减.
并且当时,;当时,.
由已知满足，．
由，及的单调性，可得，．
对于任意的，设，，其中；，其中．
因为在上单调递增，
故由，即，可得；类似可得．
又由，，得，
所以随着的减小而增大．
(3)由，，可得，．
故．
设，则，且，解得，．
所以．①
令，则．
令，则．
当时，．
因此，在上单调递增，
故对于任意的，，
由此可得，故在上单调递增．
因此，由(1)式可得随着的增大而增大．
而由(2)可知，随着的减小而增大，所以随着的减小而增大．
回炉 比值换元可以将双变量转化为单变量．

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