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第1讲 导数的几何意义和函数的单调性
知识与方法
1.关于切线的求解,在某点处的切线与过某点的切线的差别,从而掌握求解切线问题的一般性方法.
若已知曲线过点,求曲线过点的切线,则需分点是切点和不是切点两种情况求解.
(1)当点是切点时可分以下几步完成:
第一步,求导数;
第二步,求切线斜率;
第三步,写出过点的切线方程.
(2)当点不是切点时可分以下几步完成:
第一步,设出切点坐标;
第二步,写出过点的切线方程;
第三步,将坐标代入切线方程,求出;
第四步,将的值代入方程,可得过点的切线方程.
2.研究函数单调性时,务必注意函数定义域的限制.
在定义域中利用或即可得到单调区间.
3.*二阶导数.
如果函数的导数在处可导,则称的导数为函数在点处的二阶导数,记为.
典型例题
【例1】已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【分析】 此题是求切线问题,我们一般需要求得切线上一个点与切线斜率,下面我们只需要求得与即可.
【解析】 因为,
令,则,
解得,得切点坐标为,
在原式两边对求导,则,
令,得,解得,
所以切线方程为,
故选A.
【点睛】 求解切线的关键是求得切点与斜率即切点处的导数值.
【例2】已知关于的函数在区间上单调递减，求的取值范围.
【分析】 函数在区间上单调递减,可得在区间上恒成立,从而可求得的取值范围.
【解析】 令,求导得.
由题意知在上恒成立,只需即
解得或.
【点睛】 三次函数求导可得二次函数.若二次项系数为正的二次函数在区间上小于等于零,只需区间端点满足同时成立即可.
【例3】已知函数.
(1)若的减区间为,求的值;
(2)若在区间上为减函数,在区间上为增函数,求实数的取值范围;
(3)若在区间上有增区间,求的取值范围.
【分析】 本题利用导数与单调区间的关系直接求解.
【解析】 (1)因为,
由的解集为,得的两根为1,4,所以即.
(2)由题意得当时恒成立,
当时恒成立,即解得
(3)先求反面,在区间上无增区间,即在时恒成立,故解得,所以当时在区间上有增区间,即.
【点睛】 利用可导的在任何区间上都是非常数函数,一般由求得增区间,由求得减区间.
【例4】已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)讨论的单调性,并求的极大值.
【分析】 (1)利用切点切线的特点求出求导.
【解析】 (1).
由已知得,故,从而.
(2)由(1)知,,
则.
令,得或,
从而当时,;当时,.
故在和上单调递增,在上单调递减.
当时,函数取得极大值,极大值为.
【点睛】 要求函数的单调性,先求函数的导数,根据导数的正负判定增减性.
【例5】已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当曲线的切线的斜率为负数时,求在轴上截距的取值范围.
【分析】 (1)利用导函数易得单调区间;(2)求出切线即可.
【解析】 (1)的定义域为,
当时,;当时,.
所以的增区间为,减区间为.
(2)设切点为,则的方程为.
所以在轴上的截距为,
由得,
因为在上递增;在上递减,
所以的取值范围是,
综上可得在轴上截距的取值范围.
【点睛】 设切点再求得截距关于的解析式,再求解是常见方法
【例6】已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:.
【分析】 三条切线的问题,在三次曲线上的本质是存在三个不同的切点的问题,从而可转变成方程有三个不同根的问题,利用函数的最值加以证明.
【解析】 (1)因为,所以在点处的切线方程为,即.
(2)如果切线过点,则存在,使.
由题意,关于的方程有三个相异的实数根.
记,则.
因为,所以的增区间为和,减区间为.
当时,;当时,,
所以当时,有极大值,
当时,有极小值,
因为有三个不同实数根,所以
即.
【点睛】 函数的切线条数本质上是切点的个数问题.
【例7】已知函数
(1)当时,求曲线在点(e,处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若有两个零点,求的取值范围.
【分析】 (1)求导,利用切线公式写出切线方程;
(2)研究导函数的符号,求出函数单调性;
(3)分离参数,数形结合,利用函数单调性画出函数草图,从而分析零点.
【解析】 (1)当时,,则曲线在点处的切线方程为,即
(2),
①当时,显然在上单调递增;
②当时,令,则,易知恒成立.
设方程的两根分别为,则,所以,故.
由得,由得,其中,所以函数在上单调递增,在上单调递减.
(3)函数有两个零点,等价于方程有两解.
令,则.
由,得,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减,当时,,当时,,当时,,作出函数的大致图象如图,结合函数值的变化趋势猜想:当时符合题意.
下面给出证明.
当时,,方程至多一解,不符合题意;
当时,方程至多一解,不符合题意;
当时,,所以,因为,所以,因为,所以.
所以方程在与上各有一个实根,
所以若有两个零点,的取值范围是.
【点睛】 研究函数单调性时,务必注意函数定义域的限制！利用导数研究函数零点或方程根的方法:(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法,借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数的取值范围.(2)数形结合法求解零点,对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数形结合确定其中参数的取值范围.（3）构造函数法研究函数零点:(1)根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解.(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.
【例8】已知函数f
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:若,则对于任意,有.
【分析】含参单调区间问题,可以通过求导,然后对根的情况进行分类讨论加以解决.不等式的证明可以利用不等式的特殊结构特点,构造函数予以证明.第（2）小题将与1的大小关系变形成与的大小关系,然后构造函数加以解决.
【解析】(1)的定义域为,
,
①若,即,则,故在上单调递增;
②若,而,故,则当时,;
当时,.
故在上单调递减,在和上单调递增;
③若,即,同理可得在上单调递减,在和上单调递增.
(2)考虑函数,
则.
由于,故,即在上单调递增,
从而当时,有,即,
故；
当时,有.
【点睛】双变量问题常见的求解方法是分离变量,或改变主元,此题分离变量后,发现,可以构造函数来处理问题.第1讲 导数的几何意义和函数的单调性
知识与方法
1.关于切线的求解,在某点处的切线与过某点的切线的差别,从而掌握求解切线问题的一般性方法.
若已知曲线过点,求曲线过点的切线,则需分点是切点和不是切点两种情况求解.
(1)当点是切点时可分以下几步完成:
第一步,求导数;
第二步,求切线斜率;
第三步,写出过点的切线方程.
(2)当点不是切点时可分以下几步完成:
第一步,设出切点坐标;
第二步,写出过点的切线方程;
第三步,将坐标代入切线方程,求出;
第四步,将的值代入方程,可得过点的切线方程.
2.研究函数单调性时,务必注意函数定义域的限制.
在定义域中利用或即可得到单调区间.
3.*二阶导数.
如果函数的导数在处可导,则称的导数为函数在点处的二阶导数,记为.
典型例题
【例1】已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【例2】已知关于的函数在区间上单调递减，求的取值范围.
【例3】已知函数.
(1)若的减区间为,求的值;
(2)若在区间上为减函数,在区间上为增函数,求实数的取值范围;
(3)若在区间上有增区间,求的取值范围.
【例4】已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)讨论的单调性,并求的极大值.
【例5】已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当曲线的切线的斜率为负数时,求在轴上截距的取值范围.
【例6】已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:.
【例7】已知函数
(1)当时,求曲线在点(e,处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若有两个零点,求的取值范围.
【例8】已知函数f
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:若,则对于任意,有.
强化训练
1.设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A.4 B. C.2 D.
2.已知在上为增函数,且在上也为增函数,求实数的值.
3.已知函数,其中.
(1)求函数的单调区间;
(2)若在区间上均为增函数,求的取值范围.
4.已知是函数的一个极值点.
(1)求实数的值;
(2)求过点的曲线的切线方程.
5.已知,求函数的单调区间.
6.若过点可以作曲线的两条切线,则
A. B. C. D.
7.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.
8.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设,求证：对任意.

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