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第12讲 高观点下函数综合
知识与方法
在导数中存在众多的综合问题,比如泰勒展开式、隐零点、两边夹逼、函数凹凸性、对数平均值不等式、基本不等式、极值点偏移、不等式放缩、三角函数中的导数、参数半分离、动直线与定曲线位置关系等等诸多问题,都需要相应的处理方法.
典型例题
1.隐零点代换
【例1】设函数有两个极值点,且.
(1)求的取值范围,并讨论的单调性;
(2)证明.
2.两边夹问题
【例2】设函数,其中.
(1)求的单调区间；
(2)若存在极值点,且,其中,求证;
（3）设,函数,求证在区间上的最大值不小于.
3.函数凸凹性的背景
【例3】已知函数在区间内各有一个极值点.
(1)求的最大值;
(2)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进人另一侧),求函数的表达式.
4.对数均值不等式、指数均值不等式、基本不等式
【例4】已知函数.
(1)若,且存在单调递减区间,求的取值范围；
(2)设函数的图象与函数的图象交于点,过线段的中点作轴的垂线分别交于点,证明在点处的切线与在点处的切线不平行.
审题(1)导函数小于0有解,可分离参数也可结合一元二次方程根的分布求解;(2)有关极值点偏移问题,属于高考中较早出现的多元函数问题的处理,构造齐次式,化多变量为单变量即可解决,或者运用对数均值不等式加以证明.
5.三角函数及不等式与导数
【例5】已知函数.
(1)若恒成立,求实数的最大值;
(2)若恒成立,求正整数的最大值.
6.函数与不等式放缩
【例6】已知,函数,若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
7.导数中的泰勒展开式背景
【例7】设函数.
(1)当时,若是函数的极值点,求证;
(2)(1)求证当时,;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
8.导数中的参数范围及洛必达法则
【例8】已知函数 .
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,,求的取值范围.
9.导数中的极值性质与最值的深入探究
【例9】已知函数 .
(1)若,证明当时,;当时,;
(2)若是的极大值点,求.第12讲 高观点下函数综合
知识与方法
在导数中存在众多的综合问题,比如泰勒展开式、隐零点、两边夹逼、函数凹凸性、对数平均值不等式、基本不等式、极值点偏移、不等式放缩、三角函数中的导数、参数半分离、动直线与定曲线位置关系等等诸多问题,都需要相应的处理方法.
典型例题
1.隐零点代换
【例1】设函数有两个极值点,且.
(1)求的取值范围,并讨论的单调性;
(2)证明.
【分析】(1)求导,要求导函数存在两个不同零点,可由数形结.合加以求解;(2)隐零点最值问题则可用根表示系数,化多元函数为单元函数进行求解.
【解析】(1)因为,记,则为方程的两根,
依题意，由,得0由得或;由得,所以的单调增区间为和,单调减区间为,其中,且.
（2）方法一因为,所以设,则,所以在上递减,所以,即得.
方法二(用根表示系数)
由(1)可知,且,
所以.
设函数,
则,而当时,,
故在区间上为增函数，
所以.
【点睛】此处不等式的证明都需要把多元函数进行处理,一种是直接用求根公式化为参数表示,另一种则是利用根去代换,殊途同归,均是多元化为一元,变为单自变量函数进一步求解最值,将不等式证明问题转化为函数的最值问题进行解决.
2.两边夹问题
【例2】设函数,其中.
(1)求的单调区间；
(2)若存在极值点,且,其中,求证;
（3）设,函数,求证在区间上的最大值不小于.
【分析】(1)求导,分析导函数的符号,确定原函数的单调区间;(2)三次方程的化简以及极值点的代换可证明;(3)涉及绝对值的最大值的最小值问题，可以用绝对值三角不等式，也可以考虑理解为纵向距离,采用切比雪夫逼近求解.
【解析】(1),
(1)当时,有恒成立,所以的单调递增区间为.
(2)当时,令,解得,或,
所以的递增区间为;递减区间为.
(2)因为存在极值点,所以由(1)知,且,
由题意得,
进而
,
因为,且,
所以,
所以,
所以,得证.
（3）(利用绝对值三角不等式求解)
设在区间上的最大值为,
所以
而,所以,故成立.
【点睛】此题涉及函数、方程、不等式、绝对值,考查知识点较多,对运算能力要求较高,关键是取点的方法.
3.函数凸凹性的背景
【例3】已知函数在区间内各有一个极值点.
(1)求的最大值;
(2)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进人另一侧),求函数的表达式.
【分析】(1)求导结合二次方程根的分布或者韦达定理即可获得目标函数的最大值,(2)直线从函数一侧穿越到另一侧,只需要证明两个函数作差后的差值在交点处异号,构造函数证明即可.
【解析】(1)因为函数在区间内分别有一个极值
点,所以在内分别有一个实根,
设两实根为,则,且.
于是,且当,即时等号成立.故的最大值是16.
(2)方法一由知在点处的切线的方程是,即.
因为切线在点处穿过的图象,
所以在两边附近的函数值异号,
所以不是的极值点.
而,
且.
若,则和都是的极值点.
所以,即,
又由,得,故.
方法二同方法一得
因为切线在点处穿过的图象,
所以在两边附近的函数值异号,于是存在.
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
设,
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
由知是的一个极值点,
则,所以,
又由,得,故.【点睛】本质是考查了函数的拐点处切线的性质,构造函数证明不等关系,由形到数,是数形结合思想的体现,而函数在拐点处的切线穿越函数,这一性质非常值得关注.
4.对数均值不等式、指数均值不等式、基本不等式
【例4】已知函数.
(1)若,且存在单调递减区间,求的取值范围；
(2)设函数的图象与函数的图象交于点,过线段的中点作轴的垂线分别交于点,证明在点处的切线与在点处的切线不平行.
【分析】(1)导函数小于0有解,可分离参数也可结合一元二次方程根的分布求解;(2)有关极值点偏移问题,属于高考中较早出现的多元函数问题的处理,构造齐次式,化多变量为单变量即可解决,或者运用对数均值不等式加以证明.
【解析】(1)当时,,
则.
因为函数存在单调递减区间,所以有解.
又因为当时,所以等价于有的解.
(1)当时,为开口向上的抛物线,总有的解;(2)当时,为开口向下的抛物线,而总有的解,则,且方程至少有一正根.此时,.
综上所述,的取值范围为.
(2)方法一设点的坐标分别是.
则点的横坐标为,
在点. 处的切线斜率为,
在点处的切线斜率为.
假设在点处的切线与在点处的切线平行,
则,即，
,
所以,
而对数平均不等式有,所以这与式矛盾,假设不成立.
故在点处的切线与在点处的切线不平行.
方法二同方法一得,
因为,所以,
令,得.
令,则.
因为,所以当时,.
故在上单调递增.从而,即,
于是在上单调递增.
故.即,这与式矛盾,假设不成立.
故在点处的切线与在点处的切线不平行.
【点睛】本题是较早在高考中出现的考查极值点偏移类型的问题,涉及双变量的处理,可用齐次式化为单变量,亦可利用对数均值不等式加以证明,这两种方法都是处理多变量问题的有效思路.
5.三角函数及不等式与导数
【例5】已知函数.
(1)若恒成立,求实数的最大值;
(2)若恒成立,求正整数的最大值.
【分析】第(1)问是很简单的常规参变分离解决恒成立问题,其中需要分类讨论;第(2)问需要用到函数不等式进行放缩,对放缩能力的要求极高.
【解析】(1)当时,的最大值是0,下面考虑的情况.
首先,易知,因为,所以恒成立,则,令,则,
(1)当时,;
(2)当时,;
于是,
综上所述,的最大值是.
(2)(1)若,则.
当时,显然有,
当时,显然有;
所以成立.
(2)当时,若,则;
当时,,
于是,,
则,不满足条件.
综上所述,正整数的最大值是2.
回炉本题的第(1)问考查了三角函数的导数问题,一般需要结合三角函数的有界性和周期性进行细化研究;第(2)问对函数不等式的放缩能力要求非常高,几乎是三角不等式放缩的集大成者,需要我们对泰勒级数演变的函数不等式非常熟悉.
常见的泰勒级数公式
6.函数与不等式放缩
【例6】已知,函数,若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
【分析】采用必要性探路,结合不等式放缩加以解决,本题要用到当时,,.
【解析】由题意可得即解得,
而当时,
又
所以.
【点睛】此题左侧不等式的证明应用了切线不等式,而右侧不等式的证明则应用了割线不等式,结合函数的凹凸性以及切线割线的关系,更容易发现不等式的转化和跃升.
7.导数中的泰勒展开式背景
【例7】设函数.
(1)当时,若是函数的极值点,求证;
(2)(1)求证当时,;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
【分析】(1)用零点存在定理判断导函数零点(原函数极值点)位置,(2)泰勒展开式的一个不等式的具体应用,(3)结合必要性探路并利用(2)的结论进行放缩证明.
【解析】(1)当时,,显然在上递增.
因为,
所以在上有唯一零点,即.
(2)(1).
令,则在上递增,所以,得证.
(2)令,则恒成立,
由,得,
下面证明,当时,恒成立,
当时,,
令,
则
因为,所以在上递增,所以,所以恒成立,综上所述.
【点睛】很多恒成立问题都可以先猜再证,也即必要性探路,获得参数范围,再证明充分性,这在2019年高考浙江卷第22题中有典型的体现,而在不等式证明中还应注意放缩法以及基本不等式的应用,比如.
8.导数中的参数范围及洛必达法则
【例8】已知函数 .
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,,求的取值范围.
【分析】(1)分类讨论求解函数的单调性,(2)分离参数结合洛必达法则.
【解析】(1),
当时,在上单调递减，在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)当时,,
当时,成立;当时,原不等式.
因为,所以,
又,
所以,所以或.
【点睛】此处洛必达法则求极限是必需的.
9.导数中的极值性质与最值的深入探究
【例9】已知函数 .
(1)若,证明当时,;当时,;
(2)若是的极大值点,求.
【分析】(1)导数的计算和函数不等式的基本证明,(2)极大值点的基本考察与深入理解.
【解析】(1)当时,.
设函数,则.
当时,;当时,.
故当时,,且仅当时,,
从而,且仅当时,.
所以在上单调递增.
又,故当时,;当时,.
(2)(i)若,由(1)知,当时,,这与是的极大值点矛盾.
(ii)方法一若,设函数.
由于当时,,故与符号相同.
又,故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
.
如果,则当,且时,,
故不是的极大值点.
如果,则存在根,
故当,且时,,
所以不是的极大值点.
如果,则.
则当时,;当时,.
所以是的极大值点,从而是的极大值点.综上,.
方法二(利用极大值点的性质)
,
则,所以,
记为的导数,
因为,所以.
记为的导数,
又因为,且是极大值点,
所以,解得,
检验当时,,
当时,为减函数,,所以为减函数,所以,故为减函数;
当时,为增函数,,所以为增函数,所以,故为增函数.
所以为极大值点.
【点睛】若直接求导,则需要多次求导,并且需要应用极大值点的第二充要条件已知的各阶导数都存在且连续,是函数的极大值点的一个充要条件为前阶导数等于0,第阶导数小于0;而提取后,实现对数独立,只需要一次求导即可获得结果.

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