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第10讲 拟合函数和切割线
知识与方法
拟合函数的常见特点：单调性（变化趋势）与原函数相同；极值点及其对应的函数值相等；在研究的区间内，函数凹凸性相同．常用二次函数或三次函数拟合，有时候也会用切线与割线来拟合．
典型例题
【例1】已知函数，若有两个不同的极值点，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：；
（3）证明：．
【例2】已知函数其中.
(1)讨论的单调性;
(2)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证对于任意的正实数,都有;
(3)若关于的方程(为实数)有两个正实根,求证.
【例3】已知函数f（x）=x（1一lnx）。
(1)讨论的单调性;
(2)设为两个不相等的正数,且,证明.
【例4】已知函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数。
(1)若曲线与直线有交点,求的最小值;
(2)(1)设,问是否存在最大整数,使得对任意正数都有成立 若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
(2)若曲线与直线有两个不同的交点,求证
【例5】已知函数，若方程有两个根，且．
（1）求的取值范围；
（2）求证：．
【例6】已知.
(1)求. 在点处的切线方程;
(2)若有两个不等实数根,且,证明.
【例7】已知,若,求证.
【例8】已知,函数,方程有两个解.
(1)证明;
(2)证明.第10讲 拟合函数和切割线
知识与方法
拟合函数的常见特点：单调性（变化趋势）与原函数相同；极值点及其对应的函数值相等；在研究的区间内，函数凹凸性相同．常用二次函数或三次函数拟合，有时候也会用切线与割线来拟合．
典型例题
【例1】已知函数，若有两个不同的极值点，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：；
（3）证明：．
【分析】 （1）常规问题，分离变量即可；（2）利用函数的单调性，使得问题转变成的正负问题；（3）利用函数拟合来解决两根差的问题．
【解析】 （1）由题意得，所以的两根为，，
记，
则，为方程的两个不同实根，，
即在上递增，在上递减，且当时，，当时，；
当时，；最大值为，
所以，且．
（2）因为在上为减函数，所以要证，只需证，即，
方法一 只需证在上成立，
因为，
所以在上递增，，
所以，即成立．得证．
方法二 只需证，由得，成立，故原命题成立．
（3）引理：不等式在上成立，
所以，，
且在上递增，上递减，
令，为方程，即的两个实根，
其中
由于，即，
所以
，得证．
【点睛】 利用拟合函数求解两根差问题是常用的方法．此题构造函数，利用方程的两根与的两根，的关系求解．
【例2】已知函数其中.
(1)讨论的单调性;
(2)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证对于任意的正实数,都有;
(3)若关于的方程(为实数)有两个正实根,求证.
【分析】(1)常规方法求函数单调区间,(2)作差构造函数,求最值来证明函数不等式;3.利用在点处与点处的切线来估计两根的大小.
【解析】(1).
下面分两种情况讨论
(1)当为奇数时,令,解得或,
当变化时,的变化情况如下表.
所以,在上单调递减,在内单调递增.
(2)当为偶数时,
当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减.
所以在上单调递增,在上单调递减.
(2)设点的坐标为,则,
曲线在点处的切线方程为,记,
令,即,则.
由于在上单调递减,故在上单调递减.
又因为,所以当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,
所以对任意的正实数都有,即对任意的正实数,都有.
(3)不妨设,由(2)知,
设方程的根为,可得.
当时,在上单调递减,
又由(2)知,可得.类似的,设曲线在原点处的切线方程为,可得,当时,,即对任意.
设方程的根为,可得,
因为在上单调递增,
,因此.
由此可得.
又因为,所以,故. ,
所以. .
【点睛】利用切线拟合证明两根差问题,是常用方法.
【例3】已知函数f（x）=x（1一lnx）。
(1)讨论的单调性;
(2)设为两个不相等的正数,且,证明.
【分析】构造同构函数,再换元,构造对称函数来证明,用构造切线与割线来证明.
【解析】(1)函数的定义域为,
又，当时,,当时,,
故的递增区间为,递减区间为.
(2)因为,故,即. ,
故.
设,由(1)可知不妨设.
要证,只需证明.
因为当时,,当时,,
故.
先证,只需证.
因为在上为增函数,在上减函数,
下面证明.
设,
则,
故在上为减函数,故,
所以,则,
所以,即得.
下面用函数拟合法证明.
设,
(1)当时,因为,
所以成立,
(注就是函数的一条过原点与最高点的割线)
所以.
(2)当时,,
(注在处的切线)
记,
所以当时,所以为增函数,得,
所以,即得.
所以得证.
【点睛】同构式在双变量问题中的应用.
【例4】已知函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数。
(1)若曲线与直线有交点,求的最小值;
(2)(1)设,问是否存在最大整数,使得对任意正数都有成立 若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
(2)若曲线与直线有两个不同的交点,求证
【分析】(1)利用函数的单调性,求函数最值,(2)0在定义域内恒成立,即分析其单调性,由其导数为,设,根据的单调性,分析的符号,得出. 的单调性.【解析】(1)由己知得,.
由于,所以由可得,由可得,当变化时,与的变化情况如下表所示.
1
0
极小值
当时,,所以,
当时,有最小值.
因此,当曲线与直线有交点时,.
(2)(1)由(1)知,
在上单调递增,在上单调递减,所以,
当时，又，
则,原不等式恒成立.
当时,令,
则.
设,则,
故当变化时,与的变化情况如下表所示.
0
极小值
这样,当时,,
此时当变化时,与的变化情况如下表所示.
1
0
极小值
则,即原不等式恒成立.
当时,得,
则在内有唯一零点.
此时当变化时,与的变化情况如下表所示.
1
0 0
极大值 极小值
则,即原不等式不恒成立.
综上所述,存在最大整数,使得原不等式恒成立.
(2)设.由(1)可知,
所以.
由①可得即
所以都满足不等式,即,
故区间为不等式的解集的子集,
所以.
【点睛】在求解比较有难度的问题时,一定要注意利用前面小题的隐含结论.
【例5】已知函数，若方程有两个根，且．
（1）求的取值范围；
（2）求证：．
【解析】(1),
所以在上为减函数,在上为增函数,
,且当时,,当时,,当时,.
因为有两个根,故,且有.
（2）(下面用拟合函数来解题)
记,
则在上为减函数,在上为增函数,
设
所以恒成立,
故为增函数.
因为,
所以当时,,即,
当时,,即,
设的两根为且,
则易得,
故,证毕.
【例6】已知.
(1)求. 在点处的切线方程;
(2)若有两个不等实数根,且,证明.
【解析】(1)由,得,且,可得切线方程为.
(2)由(1)知在处的切线方程为,
设函数,则,所以在上递减,在上递增.
又
当时,,且,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,
令,得,
所以,从而.
又在点处的切线方程为,令,
得.
由上面的分析可知在上递减,在上递增,
所以,所以,
令,得,
所以,从而,
所以
【例7】已知,若,求证.
【解析】方法一令,则,
故为减函数,则,
即,
,
则,
故得证.
方法二(略解)
设的两根分别为,则,
所以.
【例8】已知,函数,方程有两个解.
(1)证明;
(2)证明.
【解析】(1)由得当时0,当时,
故在上为增函数,在上为减函数,,
且当时,当时,当时,,
由方程有两个解得,且.
(2)记,
则,
令得或,
所以在上为增函数,在上为减函数,
且,故当时,,即.
由均在上为增函数,在上为减函数,
设的两根为且,则.
由得,所以,
即，
所以成立.

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