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第二十八章 锐角三角函数
28.2.1 解直角三角形
28.2 解直角三角形及其应用
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
知识回顾
1、一个直角三角形有几个元素？有3条边和3个角，其中有一个角为直角。
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:
∠A＋∠B＝ 90°
(3)边角之间的关系:
Ａ
Ｃ
Ｂ
a
b
c
2、它们之间有何关系？
讲授新知
贰
讲授新知
在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把1972年的情形抽象为数学问题为:
设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C(如图).在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m,求∠A的度数.
C
B
A
sinA= ≈0.0954.
利用计算器可得∠A≈5°28'.
讲授新知
在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
α
6
=75°
互动探究
C
讲授新知
在直角三角形中，知道其中哪些元素，可以求出其余的元素
已知条件 求角 求边
一个锐角α
两个锐角α、β
一条边a
两条边a、b
两条边a、c
两条边b、c
一条边a一个锐角A
一条边b一个锐角A
一条边c一个锐角A
另一角=90°-β
已知
无法求解
无法求解
无法求解
无法求解
∠B=90°-∠A
∠B=90°-∠A
∠B=90°-∠A
c2=a2+b2
b2=c2-a2
a2=c2-b2
讲授新知
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.
【归纳总结】
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
范例应用
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ,解这个直角三角形.
解：
A
B
C
范例应用
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).
A
C
B
b
20
c
a
35°
解：
讲授新知
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，
BC = 5， 试求AB的长.
解：
A
C
B
在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.
∴AB的长为
范例应用
例4、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sinB = .求:
(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值.
又AD=12,∴AB=15,∴BD= =9
∴∠C=∠EDC,∴tan∠EDC=tanC=
A
E
C
D
B
解:(1)∵AD是BC边上的高,∴△ABD和△ACD都是直角三角形.
在Rt△ABD中,∵sinB=
.又∵BC=14,∴CD=5.　
(2)在Rt△ACD中,∵E为斜边AC的中点,∴ED=EC= AC,
范例应用
当△ABC为锐角三角形时，如图②，
BC=BD+CD=12+5=17.
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AC=13，∴由勾股定理，得CD=5
∴BC=BD-CD=12-5=7；
∴BC的长为7或17.
当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.
例5 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求
BC的长.
解：∵cos∠B= ，∴∠B=45°，
A
D
C
B
A
D
C
B
范例应用
求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助线，将其转换为直角三角形来解.
C
A
B
D
A
B
C
E
D
注意
当堂训练
叁
当堂训练
C
A
解析:∵cosB= ,∴BC=7cosB=7cos35°.故选C.
解析:∵在Rt△ABC中，AC=1,BC=2,∴AB= ,sinB= ,cosB= ,tanB= .
故选A
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为(　　)
A.7sin35°　B. C.7cos35°　　D.7tan35°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是　　(　　)
A.sinB= B.cosB= C.tanB=2　　 D.AB=
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB= ,则∠A=　 ,BC=　　.
·
当堂训练
45°
5
C
A
B
D
解析:在Rt△ABC中,AB=4,sinA= ,∴BC=ABsinA= .根据勾股定理得AC= .∵ = AC·BC= AB·CD,
∴
点拨
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=4,sinA= ,则斜边AB上的高CD为　 　.　
当堂训练
5.如图,在△ABC中,AB=2,AC=以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,求∠BAC的度数。
解:如图,连接AD,则AD⊥BC.
在Rt△ABD中,AB=2,AD=1,
则sinB=
∴∠B=30°,
∴∠BAD=60°.
同理,在Rt△ACD中,得到∠CAD=45°,
因而∠BAC的度数是105°.
C
A
B
D
当堂训练
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.
(1)求sinB的值；
(2)如果CD= ,求BE的长.
解:(1)∵AE⊥CD,∠ACB=90°,
∴∠AHC=∠ACB=90°.
∴∠DAC=∠DCA,∠B=∠DCB,
∴∠B=∠CAH.
∵AH=2CH,
∵CD是AB上的中线,∴CD=AD=BD= AB
∴CH∶AH∶AC=1∶2∶
∴sinB=sin∠CAH=　
(2)由(1)可知AC∶BC∶AB=1∶2∶ ,CE∶AC∶AE=1∶2∶ .
∵CD= ,∴AB=2 ,∴AC=2,BC=4,CE=1,
C
A
B
D
E
∴BE=BC-CE=4-1=3.
H
课堂小结
肆
课堂小结
解直角三角形
依据
解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2，6题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形导学案
学习目标
1. 理解什么是解直角三角形.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.
3.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.
教学重、难点
重点:理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.
难点:理解并掌握解直角三角形的方法.
学习过程
一、问题引入
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
(2)三边之间关系
(3)锐角之间关系
二、揭示问题规律
在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C(如图).在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m,求∠A的度数.
　
合作探究
在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
三、学习检测
例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，
a=，解这个三角形．
例2在Rt△ABC中， ∠B =35o，b=20，解这个三角形．
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，BC = 5， 试求AB的长.
例4、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sinB = .求:
(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值.
例5 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求BC的长.
尝试应用
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为　　(　　)
A.7sin35°　　B. C.7cos35°　　D.7tan35°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是　　(　　)
A.sinB=　　B.cosB= C.tanB=2　　D.AB=
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB= ,则∠A=　　　　,BC=　　　　.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=4,sinA=,则斜边AB上的高CD为　　　　.
5.如图,在△ABC中,AB=2,AC=,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,求∠BAC的度数。
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.
(1)求sinB的值；
(2)如果CD=,求BE的长.
五、反思小结
小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
六、达标训练
一、选择题
1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（　　）
A．6 B． C．10 D．12
2.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
3.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．3
第3题图 第5题图
4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，则AD的长是（　　）
A． B．2 C．1 D．2
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA＝，BC=8，则△ABC的面积为_____.
7. 等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为6cm，则其顶角为______.
8. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD=______.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB＝2，则AC的长是_______.
三、解答题
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠A=，求BC的长和tan∠B的值．
11. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值.
12.已知：如图，Rt△AOB中，∠O=90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P．
（1）求证：BP=BC；
（2）若sin∠PAO= ，且PC=7，求⊙O的半径.
参考答案
1.A 2.D 3.A 4.B 5.B
6.24 7.120° 8. 9.
10.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，∴BC=4，根据勾股定理得：AC=，
则tanB=．
11.解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴tanA= ，∴AD=4，∴BD=AB-AD=12-4=8．在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，∴BC==10，∴sinB=，cosB=，∴sinB+cosB=+=．
12.（1）证明：连接OC，∵BC是⊙O切线，∴∠OCB=90°，∴∠OCA+∠BCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∠BOA=90°，∴∠OAC+APO=90°，∵∠APO=∠BPC，∴∠OAC+∠BPC=90°，∴∠BPC=∠BCA，∴BC=BP．
（2）解：延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO=，设OP=x，AP=3x，则AO=2x，∵AO=OE，∴OE=2x，∴AE=4x，∵sin∠PAO=，∴＝，∴＝，∴，解得：x=3，∴AO=6.
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