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第二十八章 锐角三角函数
第2课时 方向角、坡度、坡角
28.2.2 应用举例
28.2 解直角三角形及其应用
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角,叫做方位角.如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
讲授新知
贰
讲授新知
1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？
65°
34°
P
B
C
A
知识点1 解与方位角有关的问题
讲授新知
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈80×0.91
=72.8
在Rt△BPC中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23n mile．
65°
34°
P
B
C
A
范例应用
例1 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
范例应用
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60°=30°=∠BAC，
∴AF=AC · cos30°=6 (海里)，
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
6 ≈10.392＞8，
∴BC=AC=12海里，
故渔船继续向正东方向行驶，
没有触礁的危险．
讲授新知
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？
右边的路BD陡些．
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
α
l
h
i= h : l
1.坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
2.坡度（或坡比）
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3.坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡面
水平面
讲授新知
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即
讲授新知
1.斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度.
2.斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _______.
3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.
α
l
h
30
1：1
练一练
讲授新知
2、 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i=1:2
知识点2 解与坡度有关的问题
讲授新知
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
你还可以用其他方法求出BC吗？
范例应用
例2 、水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）;
（2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）.
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线；
范例应用
垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出；
斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF.
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F,由题意可知
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°.
范例应用
在Rt△DCF中，同理可得
(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4，
由计算器可算得
当堂训练
叁
当堂训练
1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是　　(　　)
A.250m 　B.250 m C. m 　D.250 m
解析:由已知得∠AOB=30°,OA=500m,AB=OA=250m.故选A.
A
当堂训练
2.一只船向正东方向航行,上午9点到达一座灯塔的西南方向68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南方向,这只船航行的速度是　　　　海里/时.(答案可带根号)
解析:如图,由题意知∠M=45°,PM=68,则在Rt△PNM
中,cosM= ,即 ,∴MN=34 ,∴这只船航
行的速度为= (海里/时)
当堂训练
3、如图,一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡行走600m,到达一个景点B,再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C,若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°,求山高CD(结果用根号表示).
解:过B作BF⊥AD于F,BE⊥CD于E,如图.
∴CD=CE+ED=100 +300（m）.
∵在山顶C处观测到景点B的俯角为45°,
∴△BEC为等腰直角三角形,而BC=200m,
∵∠A=30°,AB=600m,
∴BF=ED=300m,
E
F
∴CE=BE=100 （m）.
解:该轮船不改变航向继续前行,无触礁的危险.理由如下:
∵BD=BC+CD,∴3x=200+x,∴x=100.
∴∠CAB=∠ABD,∴AC=BC=200海里.
当堂训练
4、如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.已知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,轮船有无触礁的危险 ( ≈1.732)
在Rt△ACD中,设CD=x海里,
则AC=2x,AD=
∴AD= x=100 ≈173.2.
∵173.2海里>170海里,
如图,作AD⊥BC于D,则有
∠ABD=30°,∠ACD=60°,
在Rt△ABD中,AB=2AD=2 x,BD=
∴轮船不改变航向继续向前行驶,轮船无触礁的危险.
课堂小结
肆
课堂小结
解直角三角形的应用
坡度问题
方位角问题
坡角
坡度(或坡比)
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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28.2.2 解直角三角形的应用举例
第2课时 方向角、坡度、坡角导学案
学习目标
1. 了解方位角、坡度、坡角的有关概念.知道坡度与坡角之间的关系.
2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.
3.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,体会数形结合思想在数学中的应用,培养学生良好的学习习惯.
重点：用三角函数有关知识解决方位角、坡度、坡角等有关问题.
难点：准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.
学习过程
一、自学提纲：
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示.即ｉ＝ ，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
方位角
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？ 这一关系在实际问题中经常用到.
二、自主学习 了解新知
1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？
2、 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
三、学习检测：
例1 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
例2 、水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）;
（2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）.
四、尝试应用
1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是　　(　 　)
A.250m 　B.250m C. m 　D.250m
解析:由已知得∠AOB=30°,OA=500m,AB=OA=250m.故选A.
一只船向正东方向航行,上午9点到达一座灯塔的西南方向68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南方向,这只船航行的速度是 海里/时.(答案可带根号)
3、如图,一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡行走600m,到达一个景点B,再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C,若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°,求山高CD(结果用根号表示).
如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.已知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,轮船有无触礁的危险 ( ≈1.732)
发现总结
本节课我的收获:
六、达标测试
一、选择题
1.小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1000m，则他升高了（　　）
A．200m B．500m C．500m D．1000m
2.如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（　　）
A．12海里 B．6海里 C．6海里 D．4海里
第1题图 第2题图
3.如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（　　）
A．15km B．15km
C．15（+）km D．5（+3）km
4.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（　　）
A．5cm B．5cm C．10m D．m
第4题图 第5题图
5.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（　　）
A．10海里/小时 B．30海里/小时
C．20海里/小时 D．30海里/小时
二、填空题
6.在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 m.
7.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为 米.
8.如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 海里（取≈1.7，结果精确到0.1海里）．
三、解答题
9.（2015 长春）如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向．一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°．求A、B两岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）
【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】
10.如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i=1：2，斜坡AB的长为6米，车库的高度为AH（AH⊥BC），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°（图中的∠ACB=14°）．
（1）求车库的高度AH；
（2）求点B与点C之间的距离（结果精确到1米）．
（参考数据：sin14°=0.24，cos14°=0.97，tan14°=0.25，cot14=4.01
11.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
参考答案
1.A 2.D 3.D 4.C 5.D
6.200 7.12 8.67.5
9.解：由题意得，AC=18×2=36海里，∠ACB=43°．
在Rt△ABC中，∵∠A=90°，
∴AB=AC tan∠ACB=36×0.93≈33.5海里．
故A、B两岛之间的距离约为33.5海里.
10.解：（1）由题意可得：AH：BH=1：2，设AH=x，则BH=2x，故x2+（2x）2=（6）2，解得：x=6，答：车库的高度AH为6m；（2）∵AH=6，∴BH=2AH=12，∴CH=BC+BH=BC+12，在Rt△AHC中，∠AHC=90°，故tan∠ACB=，又∵∠ACB=14°，∴tan14°=，∴0.25=，解得：BC=12，答：点B与点C之间的距离是12m．
11.解：∵Rt△ABE中，∠BAE=45°，坝高BE=20米．∴AE=BE=20米，Rt△BEF中，BE=20，∠F=30°，∴EF=BE÷tan30°=20．∴AF=EF-AE=20-20≈15，即AF的长约为15米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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