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第二讲：面积问题（二）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解面积；
拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、面积范围
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数
均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
2、面积比值
通过两个三角形面积的作比，寻找等底或等高情况，将面积问题转化为底边长度或高度的比值，进行坐标或向量进行求解.
【考点剖析】
考点一：三角形面积最值
例1．已知椭圆与的正半轴交于点，且离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过点与椭圆交于两点，求面积的最大值并求此时的直线方程.
变式训练1：已知椭圆与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
例2．已知点是抛物线上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点．
(1)当的坐标为时，求点的坐标；
(2)已知点，若为线段的中点，求面积的最大值．
变式训练2：已知椭圆的中心是坐标原点O，左右焦点分别为，，设P是椭圆C上一点满足轴，，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.
（参考公式：已知的三边分别是，且内切圆的半径是 ，则的面积）.
例3．已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.
变式训练3：已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若过点的直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）
考点二：四边形面积最值
例1．已知椭圆的一个焦点为，经过点，过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)四边形AMBN面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由.
变式训练1：已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．
例2．已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．
变式训练2：已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于 和 四点，求四边形面积的最小值.
考点三：面积比值（求解）
例1．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，为坐标原点，，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，点，．若分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．
变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，，实轴长为，且斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为，，点P，Q为椭圆上异于，的两点，且以P，Q为直径的圆过点，设，的面积分别为，，计算的值.
考点四：已知面积比值（求参）
例1．已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
变式训练1：已知椭圆的焦距为4，点在G上.
(1)求椭圆G的方程；
(2)过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.
变式训练2：已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；
(2)设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积．
考点五：面积比值（证明）
例1．在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值．
变式训练2：已知为坐标原点，椭圆的右顶点为，离心率为.动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为.
(1)求的标准方程；
(2)若直线与轴交于点，的面积分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
考点六：面积比值（范围）
例1．已知焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，的面积为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若过点的直线与该椭圆交于，两点，与分别表示和的面积，求的取值范围．
变式训练1：．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：.
（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值.
变式训练2：设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.
(1)求动点D的轨迹E的方程；
(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两不同的点A、B，T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；
（2）弦长最值的基本不等式求解；
（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；
（4）面积比值转化为底边或高线的比值；
2、易错点：基本不等式的应用；
3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点.
(1)求的方程；
(2)设过点的动直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的取值范围.
2．已知椭圆，过定点的直线交椭圆于两点，其中.
(1)若椭圆短轴长为且经过点，求椭圆方程；
(2)对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值，并求此时直线的方程；
3．如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率．是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，记的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的最大值．
4．已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.
(1)若求圆心的轨迹的方程.
(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.
5．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点．当时，的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)分别记和的面积为和，求的最大值．
6．已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
(1)求C的方程：
(2)过C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值.
7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，当以为始边，为终边的角时，.
(1)求的方程
(2)过点的直线交于两点，以为直径的圆平行于轴的直线相切于点，线段交于点，求的面积与的面积的比值
8．已知椭圆：（）的焦距为，且经过点，过点的直线与椭圆交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为线段的中点，为原点，所在的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方），问是否存在直线使得的面积是面积的倍？若存在，求直线的方程，并求此时四边形的面积，若不存在，请说明理由.
9．已知在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离之和等于．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若与圆相切的直线与曲线相交、两点，直线与直线平行，且与曲线相切于点（、位于直线的两侧），记、的面积分别为、，求的取值范围．第二讲：面积问题（二）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解面积；
拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、面积范围
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数
均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
2、面积比值
通过两个三角形面积的作比，寻找等底或等高情况，将面积问题转化为底边长度或高度的比值，进行坐标或向量进行求解.
【考点剖析】
考点一：三角形面积最值
例1．已知椭圆与的正半轴交于点，且离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过点与椭圆交于两点，求面积的最大值并求此时的直线方程.
【答案】(1)；(2)；
解析：(1)椭圆与轴的正半轴交于点，则
，则
椭圆 的方程为:
(2)当直线的斜率为0时，三点共线，显然不满足题意.
当直线的斜率不为0时，
设代入，得到
设
令
令，在 单调递增，
当为最大
，此时的方程为:
变式训练1：已知椭圆与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）椭圆与抛物线有相同的焦点，
即且，
，
椭圆的方程为：.
（2）由（1）可知的坐标为.
显然的斜率不为0.
设直线的方程为：，设，.
联立,可得,
恒成立，
，,
,
.
当且仅当,即时取等号,
面积的最大值为.
例2．已知点是抛物线上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点．
(1)当的坐标为时，求点的坐标；
(2)已知点，若为线段的中点，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)2
解析：(1)当的坐标为时，则，所以，
所以抛物线的方程为：，
由题意可得直线的方程为：，即，
代入抛物线的方程可得解得（舍）或6，
所以，的坐标为
(2)法一：设直线的方程：，
即，
设直线与轴的交点为，，，
由
可得，，，
因为为线段的中点，所以
令，，即，所以
则的面积
，
把代入上式，，
当时，，所以的面积的最大值为2．
（2）法二：
可得，，，
因为为线段的中点，所以，
设点到直线的距离为，则，
把代入上式，，
所以，当时，的面积的最大值为2
变式训练2：已知椭圆的中心是坐标原点O，左右焦点分别为，，设P是椭圆C上一点满足轴，，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.
（参考公式：已知的三边分别是，且内切圆的半径是 ，则的面积）.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)设,
由题意是椭圆上一点，满足轴，，离心率为．
∴，解得．
∴椭圆的标准方程为；
(2)由（1）可知，的周长为，
设直线为，由，得．
设，则，．
∴
∴ ，
令内切圆的半径为，则 ，即 ，
令，则，
当且仅当 ，即时等号成立，
∴当时，取得最大值，即内切圆半径的最大值.
例3．已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由：，得，可知，其半径为，
由：，得，可知，其半径为.
设动圆半径为，动圆圆心到的距离为，到的距离为，则有
或，即，得，
又，
所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，由，可得.
所以动圆圆心的轨迹方程为.
(2)①当直线的斜率存在时，由题意，，设：，与双曲线联立，
由于其于双曲线有两个不同的交点，
所以，得且，
且.
设：，即.
设圆到直线的距离为，则，
因为交圆于，两点，故，得.
且，
由题意可知,
所以，
因为，可得.
②当直线的斜率不存在时，，，
所以，
所以.
变式训练3：已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若过点的直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）
【答案】(1)；(2)
解析：(1)如图所示，
由已知得点为线段中垂线上一点，
即，
即动点到点的距离与点到直线的距离相等，
所以点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为直线，
所以点的轨迹方程为，
(2)如图所示：
设，点，，
联立直线与抛物线方程，得，，
，，
，，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
此时，
即，
所以当直线直线，时取得最小值为.
考点二：四边形面积最值
例1．已知椭圆的一个焦点为，经过点，过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)四边形AMBN面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意可得，解得,
故椭圆的方程为.
(2)当直线斜率不存在时,的坐标分别为,
四边形面积为；
当直线斜率存在时,设其方程为，点,点到直线的距离分别为，
则四边形面积为,
由得,
则，
所以
，
因为
所以中点,
当时,直线方程为,
解得
所以
.
当时,四边形面积的最大值
综上四边形面积的最大值为.
变式训练1：已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．
【答案】(1)；(2)6
解析：(1)由题意可得，
所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；
(2)由题意可设的方程为，
联立方程得，
设，，则由根与系数关系有，
所以
，
根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，
所以四边形ABDE面积为，令得，
由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．
例2．已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）由题设知，抛物线的准线方程为，由点到焦点的距离等于圆的半径，而可化为，即该圆的半径为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为，因为，不妨设直线的方程为，直线的方程为，联立，得，恒成立．设，，则，，所以，同理，得，所以四边形的面积，（当且仅当时等号成立）所以四边形的面积的最小值是．
变式训练2：已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于 和 四点，求四边形面积的最小值.
【答案】(1)；(2)2
解析：(1)由已知知：，解得，
故抛物线的方程为：.
(2)由（1）知：，设直线的方程为：，、，则直线的方程为：，
联立得，则，所以，，
∴，
同理可得，
∴四边形的面积，
当且仅当，即时等号成立，
∴四边形面积的最小值为2.
考点三：面积比值（求解）
例1．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，为坐标原点，，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，点，．若分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）由，得（c为半焦距），
∵点在椭圆E上，则．
又，解得，，．
∴椭圆E的方程为．
（2）由（1）知．设直线，，．
由消去x，得．
显然．
则，．
∴．
由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．
又，，，
∴．∴．
∵．
∴．
变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，，实轴长为，且斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为，，点P，Q为椭圆上异于，的两点，且以P，Q为直径的圆过点，设，的面积分别为，，计算的值.
【答案】(1)；(2)4
解析：(1)设点，，
代入椭圆C的方程得，，
两式相减得，
即，
所以.
因为，，
解得，，
所以椭圆C的方程为.；
(2)根据题意可知直线PQ的斜率一定存在，
设直线PQ的方程为，
点，，
联立，消去y并整理得.
，，
，.
，，
则，
整理得，解得或.
当时，直线PQ的方程为，不符合题意；
当时，直线PQ的方程为，过定点，
，，
.
考点四：已知面积比值（求参）
例1．已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，
解析：(1)由,
由,
,故,
∴,
∴,
∴，
即椭圆的标准方程为.
(2)假设满足条件的直线存在，
当直线的斜率不存在时，不合题意，
不妨设直线：，，，显然 ，
联立，得，
所以，
因为，，得，
即（3），
由（1），（3），得 （4），
将（1）（4）代入（3）得，
所以直线的方程为，
故存在直线，使得与的面积比值为5：7.
变式训练1：已知椭圆的焦距为4，点在G上.
(1)求椭圆G的方程；
(2)过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.
因为点在G上，所以，
所以，.
所以椭圆G的方程是.
(2)显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，
将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，
则，.
因为，所以，则，即，
由，得，.
所以，解得，即，
所以直线l的方程为.
变式训练2：已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；
(2)设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积．
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设圆的半径为，
由题意，，所以，
由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
则，所以，
所以动圆圆心的轨迹的方程为；
(2)由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，
由，可得，
所以①，②，且，即，
因为的面积是面积的一半，所以点为线段的中点，
所以，即③，
联立①②③可得，所以，
因为到直线AB的距离，，
所以，
所以当时，，当时，.
所以的面积为或.
考点五：面积比值（证明）
例1．在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
【答案】(1)；(2)为定值
解析：(1)点到直线的距离与到的距离相等，
的轨迹为抛物线，且焦点为，准线为直线，
设轨迹的方程为，则，可得，
所以，曲线的方程为．
(2)设点、、，
抛物线方程为，即，所以．
则的方程为：，即，
同理的方程为：．
联立、方程得，，
在直线的方程中，令可得，即点，同理可得点，
则，可得，
易知，则直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消去得，
由韦达定理可知，所以，则直线的方程为，
故直线过定点．
所以，，
因此，，故为定值.
变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)∵的周长为8，
∴，即，
∵离心率，
∴，，
∴椭圆C的标准方程为．
(2)方法一：设，
则直线斜率，∵，
∴直线斜率，
∴直线的方程为：，
同理直线的方程为：，
联立上面两直线方程，消去y，得，
∵在椭圆上，
∴，即，
∴，
∴
所以与的面积之比为定值4．
方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，
则直线的方程为，
∵，∴直线的方程为，
将代入，得，
∵P是椭圆上异于点，的点，
∴，
又∵，即，
∴，即，
由，得直线的方程为，
联立得，
∴
所以与的面积之比为定值4．
变式训练2：已知为坐标原点，椭圆的右顶点为，离心率为.动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为.
(1)求的标准方程；
(2)若直线与轴交于点，的面积分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；(2)为定值，定值为1
解析：(1)因为点在椭圆上，由椭圆的对称性，点关于x轴的对称点为也在椭圆上，再由点到的两焦点的距离之和为可得，即，
又椭圆的离心率，所以，
可得，
所以椭圆的方程为：；
(2)为定值，且定值为1，
证明如下：设 ，则，
联立，整理可得：，
则，
直线的方程为：，
令，可得
；
所以当变化时直线与轴交于定点，
所以，
即为定值，且定值为.
考点六：面积比值（范围）
例1．已知焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，的面积为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若过点的直线与该椭圆交于，两点，与分别表示和的面积，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)设所求椭圆的方程为，
因为离心率为，的面积为，可得，解得，
所以椭圆的方程为.
(2)设，，直线为，
联立方程组，整理得，
则且，，
可得，，
两式相除得，
令，则，
解得，
又由，即的取值范围．
变式训练1：．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：.
（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为.
解析：（1）因为椭圆与双曲线有共同的焦点，，且双曲线的实轴长为，所以解之得
双曲线的标准方程为
（2）联立方程组解之得所以点
，
，
，∴
（3）当直线的斜率不存在时，
，，此时
当直线的斜率存在时，设方程为
代入椭圆方程得，
由弦长公式得
把直线方程代入双曲线方程得
由弦长公式得
因为直线与双曲线的右支相交于的，两点，
所以
设原点到直线的距离为，
∴
综上可知，的最小值为.
变式训练2：设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.
(1)求动点D的轨迹E的方程；
(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两不同的点A、B，T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)设点，则，因，则有，又点P在圆上，即，
所以动点D的轨迹E的方程是.
(2)当直线的斜率存在时，设其方程为：，
因直线与圆相切，则，即，而时，直线与椭圆E相切，不符合题意，因此，
由消去x并整理得：，设，
则，而点T是线段AB中点，则有：
，
令，则，
而，当，即时，，当，即时，，而，于是得，
当直线的斜率不存在时，直线，，此时，
所以的取值范围是.
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；
（2）弦长最值的基本不等式求解；
（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；
（4）面积比值转化为底边或高线的比值；
2、易错点：基本不等式的应用；
3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点.
(1)求的方程；
(2)设过点的动直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的取值范围.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)由题设知，解得.
∴椭圆的方程为；
(2)当轴时不合题意，故可设，则
，得.
由题意知，即，得.
从而.
又点O到直线的距离，
∴，
令，则，
，，
所求面积的取值范围为.
2．已知椭圆，过定点的直线交椭圆于两点，其中.
(1)若椭圆短轴长为且经过点，求椭圆方程；
(2)对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值，并求此时直线的方程；
【答案】(1)；(2)面积的最大值为，或
解析：（1）椭圆短轴长为，，解得：；椭圆方程为；
点在椭圆上，，解得：，椭圆方程为.
（2）由题意可设直线，，，
由得：，，
，，
（当且仅当，即时取等号），
面积的最大值为，此时直线的方程为：或.
3．如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率．是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，记的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的最大值．
【答案】(1)；(2).
解析：(1)由题意可得：，，离心率，则，
，
椭圆的方程为：；
(2)依题意知直线的斜率可能不存在，但直线的斜率不能为0，
则设直线方程为：，设，，，，
由，得，恒成立
则，，
则，
又点到直线的距离，
，
令，则
当且仅当，即，等号成立，
取等条件不成立，故当时，时，
故．
即的最大值为.
4．已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.
(1)若求圆心的轨迹的方程.
(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.
【答案】(1)；(2)，
解析：（1）设动圆的半径为，
依题意有，，．
所以轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，，所以，
当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．
所以轨迹的方程．
（2）设，，
联立直线与椭圆的方程，可得，
所以，，，得，
设原点到直线的距离为，
所以，
所以，
令，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．
5．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点．当时，的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)分别记和的面积为和，求的最大值．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)设，则，
的面积为，解得，
在中，，由余弦定理，
即，
所以，则，椭圆C的方程为．
(2)设点P的坐标为，则直线的方程为，
将其代入椭圆方程中可得，
所以，所以，同理可求得，
，
，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
6．已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
(1)求C的方程：
(2)过C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)因为C的焦点为，准线为，
由题意得，即，因此.
(2)圆M的圆心为，半径为1.
由条件可知，，且，
于是.
设，则.
当时等号成立，所以四边形PAMB面积的最小值为.
7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，当以为始边，为终边的角时，.
(1)求的方程
(2)过点的直线交于两点，以为直径的圆平行于轴的直线相切于点，线段交于点，求的面积与的面积的比值
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意，抛物线，可得其准线方程，
如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
因为时，，可得，
又由抛物线的定义，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
(2)由抛物线，可得，设，
因为直线的直线过点，设直线的方程为
联立方程组，整理得，
可得，则，
因为为的中点，所以，
由抛物线的定义得，
设圆与直线相切于点，
因为交于点，所以且，
所以，即，解得，
设，则，且，可得，
因为，所以点为的中点，所以，
又因为为的中点，可得，
所以，即的面积与的面积的比值为.
8．已知椭圆：（）的焦距为，且经过点，过点的直线与椭圆交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为线段的中点，为原点，所在的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方），问是否存在直线使得的面积是面积的倍？若存在，求直线的方程，并求此时四边形的面积，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，直线方程为：，或，四边形的面积为.
解析：(1)因为知椭圆：（）的焦距为，
所以，又因为该椭圆过，
所以，因此，
因此该椭圆的方程为：；
(2)显然直线存在斜率，设为，该直线方程设为，与椭圆方程联立，得，或，
所以点的横坐标为：，则有成立，
因此点的纵坐标为：，即，
因为为线段的中点，所以点的横坐标为：，
点的纵坐标为：，即，
所以直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，把它代入椭圆方程中，
得：，因为点在轴上方，所以点的纵坐标为：，它的横坐标为：，即，
点到直线的距离为：，
点到直线的距离为：，假设存在直线使得的面积是面积的倍，则有：
，
因为为线段的中点，
所以有，于是有，显然满足
，直线的方程为，，或，
，
当直线的方程为，，此时和，
四边形的面积为：，
当直线的方程为，，此时和，
四边形的面积为：，
所以存在使得的面积是面积的倍的直线，方程为：
，或，四边形的面积为.
9．已知在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离之和等于．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若与圆相切的直线与曲线相交、两点，直线与直线平行，且与曲线相切于点（、位于直线的两侧），记、的面积分别为、，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
解析：(1)由题知，动点的轨迹是以、为焦点，为长轴长的椭圆．
则，可得，，则，
所以动点的轨迹的方程为.
(2)由题意，原点与直线的距离为，故，即，
设直线，联立，可得，
又直线与椭圆相切，所以，整理得，
又与之间的距离，则，
又，由，故，
因为、两点位于直线两侧，故、同号，则，
故．即的取值范围为．

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