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第三讲：向量问题（一）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算；
拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。
1、向量的数量积
若，则
2、向量的数乘
若，则时，
3、向量的线性运算
若，则时，.
【考点剖析】
考点一：向量数量积
例1．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
【答案】(1)；(2).
解析：(1)因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．
又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．
所以椭圆的标准方程．
(2)因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．
联立直线的方程与椭圆方程，
消去，得，其中．
设，，则，．
因为，所以
．
因此的值是．
变式训练1：已知椭圆()的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于，两点，点的坐标为，且，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）椭圆的离心率，，则，
点在椭圆上，，
解得，则，
椭圆的方程为.
（2）设.
联立，得.
，即，
，，
，
，
整理得，解得，满足，故.
变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点在双曲线上，试求的值.
【答案】（1）；（2）
解析：：(1)∵，∴可设双曲线的方程为.
∵双曲线过点，∴，即.
∴双曲线的方程为.
(2)由(1)可知，，
得，，
，
从而
由于点在双曲线上，∴，即，
故.
例2．已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析，定值为
解析：（1）圆的圆心为，半径，
由点在的垂直平分线上，得，
所以，
所以的轨迹是以A，为焦点的椭圆，，，
所以，，，
所以的方程为；
（2）证明：①当直线的斜率不存在时，易知，
②当直线的斜率存在时，设：，，，
则把代入得，
显然，有，，
，
所以，
综上所述，为定值．
变式训练3：已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.
【答案】(1):(2)为定值4，证明见解析
解析：（1）当为短轴端点时，的面积最大，，故解得，故椭圆的方程为.
（2）由（1）知，,设直线，,，
联立整理得，
由得，，
,，
故为定值4.
变式训练:4：已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)；(2)是，0
解析：(1)由题意，设抛物线的方程为：，
所以点的坐标为，点的坐标为，
因为，所以，即，解得.
所以抛物线的方程为：
(2)设直线的方程为，
则联立方程得，
所以，，
因为，
所以
.
所以为定值.
例3．已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题可设椭圆的方程为，
由椭圆经过点，可得，解得或（舍）.
所以，椭圆的标准方程为.
(2)易知，设点，则，且，
，，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
变式训练5：已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上一点，且面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于两点，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意可列方程组，解得，所以椭圆方程为：.
(2)①当过的直线与轴垂直时，此时，，，则， .
②当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为
联立得：.
所以，
=
将韦达定理代入上式得：
.
，，
，
由①②可知.
变式训练6：在平面直角坐标系中，已知点、，点满足，记点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线过圆的圆心且与圆交于两点，点为上一个动点，求的最小值．
【答案】(1)；(2)23
解析：(1)由，
则轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以的方程为；
(2)设，则，且，圆心，
则
因为，则当时，取最小值23.
例4．已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)根据题意，已知椭圆的左焦点为，则有：
点到短袖的一个端点的距离为，则有：
则有：
故椭圆的方程为：
(2)设过点作斜率为的直线的方程为：
联立直线与椭圆的方程可得：
则有：,
直线过点，所以恒成立，
不妨设，两点的坐标分别为：，则有：
又
且
则有：
将，代入后可得：
若，则有：
解得：或
变式训练7：已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
解析：(1)设双曲线的方程为，
则，再由，得
故的方程为
(2)将代入，
得
由直线与双曲线交于不同的两点，得
①
设
则
又，得，
，即，解得②
由①②得，
故的取值范围
变式训练8：已知双曲线的浙近线方程为，且虚轴长为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且满足，求的取值范围.
【答案】(1)；:(2)或.
解析：（1）由题意知：，解得，
双曲线的方程为.
（2）联立直线与双曲线：，消得：.，可得且，
设，则，
，则，整理得，
∴或，
综上，的取值范围为或.
考点二：向量的数乘
例1．已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，方程为和.
解析：(1)由题意得：，解得：，椭圆的方程为；
(2)由题意知：直线斜率存在且不为零，可设，，，
由得：，则；
，，，
，，
解得：，，
满足条件的直线存在，方程为和.
变式训练：1已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为2，椭圆C的上顶点为，为正三角形，过点的直线与椭圆相交于两点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的一般方程.
【答案】（1）；（2）或.
解析：（1）由题意得，即，因为为正三角形，所以
故，
所以椭圆C的标准方程为
（2）由题意可得直线AB的方程为，
联立，得
设，，则①，②
若，则③
由①③得④
由②③得⑤
由④⑤得
解得，
所以直线的一般方程为或
变式训练2：已知抛物线，准线方程为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若定点，直线l与地物线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率.
【答案】(1):；(2)或﹣1
解析：(1)因为准线方程为.所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
(2)设，由可得
，从而有，即，
化简得
因为直线l过点，所以设直线l的方程为，
将其与抛物线C的方程联立得，
故，.
而
，即，解得或﹣1，
所以直线l的斜率为或﹣1.
变式训练3：若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)，解得，故双曲线方程为
(2)，故设直线方程为
则，由得：
故，
点在双曲线上，则，解得
直线l的斜率为
考点三：双向量数乘
例1．已知点，直线为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点.若，,求的值.
【答案】（1）；（2）0.
解析：（1）设点，则，由，
得， 化简得曲线的方程为；
（2）由于直线不能垂直于轴，且又过轴上的定点，
设直线的方程为，则，
设，，联立方程组
消去得，，故
由，，得
利用对应的纵坐标相等，得，，整理得，，
所以.
变式训练1：已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)；(2)是定值，理由见解析
解析：（1）由题可得,，又，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，
设，则，，
又，则，由可得，所以.
同理可得，.
所以
所以，为定值.
变式训练2：如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．
【答案】（1）；（2）是定值，
解析：（1）设椭圆的半焦距为c，
，，，
椭圆C的方程为.
（2）由（1）知，由条件得直线l的斜率存在，
设方程为，
易知，设，，
则由，得，
，
，
即，
，同理，
.
变式训练3：已知直线过双曲线：的右焦点，且直线交双曲线于A，B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；
【答案】（1）；（2）是定值，为
解析：（1）由题知双曲线的交点在轴上，，
因为直线过双曲线：的右焦点，
所以，即，
所以，即.
所以双曲线C的方程.
（2）由题知，设，
，，
因为，，
所以，，
所以，，
所以直线与双曲线：联立方程得：，
所以，且，即，
所以，
所以
，
所以当变化时，探究的值是定值，为.
考点四：向量的线性运算
例1．设为坐标原点，过椭圆：的左焦点作直线与椭圆交于A，B两点，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的取值范围；
(3)是否存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足 若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)不存在，理由见解析
解析：(1)由已知得，解得，
所以椭圆的方程为；
(2)设直线的方程为，，
联立，消去得，
则
令，，则，
当，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，
，
则，
面积的取值范围为；
(3)
假设存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足，
设为，
则由（2）得
，，
，
解得，此时直线的方程为，其斜率不存在.
故不存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足.
变式训练1：已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）把，代入椭圆，
解得，
所以过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，
所以，①
由②，，③
由①②③解得或（舍）
所以，
所以椭圆．
（2）设，
由已知得，
所以，，
由，得，
所以，
所以，
又，
所以，解得，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，，
所以的取值范围是．
变式训练2：已知椭圆C的右焦点为，点A为椭圆C的上顶点，过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l的倾斜角为，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在，理由见解析.
解析：（1）设椭圆C的标准方程为，
根据题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为．
(2）由题及（1）知，，
假设存在直线l满足题意，并设直线l的方程为:，，．
由，得，
由，得．
由题意知:点F为的重心，所以，即，
解得，当时，不满足，
所以不存在直线l，使得．
变式训练3：已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围.
【答案】(1)；(2)（0，3]
解析：（1）由题意可知F（c，0），B（a，0），
∵PF恰好垂直平分线段OB，
∴a＝2c，
令x＝c，代入得：，
∴，
∴，解得，
∴椭圆C的方程为：.
（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x＝my＋1，
设，，
联立方程，消去x得：，
∴，
∴，，
设MN的中点为E，则，
∴MN与OQ互相平分，四边形OMQN为平行四边形，
∴
，
令，则，
∵在[1，＋∞）上单调递增，
∴，∴，
∴.
综上所述，四边形OMQN面积的取值范围为（0，3].
考点五：向量的线性运算（范围）
例1．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，直线：与轴交于点，与曲线交于，两个相异点，且.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）
解析：（1）如图，
由题意可得：，则，
点的轨迹曲线是以，为焦点的椭圆，
其中，，，则．
曲线的方程为；
（2）联立，可得．
由，得．
设，，，．
则，①，②
，，，
由，．
，所以．
，
则，③
联立①③，得，，
代入②，得，
即，得，
代入，得，解得，解得或．
存在实数，使，的取值范围是．
变式训练1：已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【答案】(1):；(2)
解析：（1）设椭圆的焦距为2c，，代入椭圆方程可得，解得，所以，所以，解得，又，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为
（2）当m=0时，则，由椭圆的对称性得,所以，所以当m=0时，存在实数，使得；当时，由，得，因为A、B、P三点共线，所以，解得，所以，设，由，得，由题意得，则，且，由，可得，所以，解得，又，整理得，显然不满足上式，所以，因为，所以，即，解得或，综上，的取值范围为
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；
（2）向量的数量积，数乘，线性运算；
（3）不等式的求解和导数单调性求解范围；
2、易错点：向量的表示及其运算；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过的右焦点交于两点，，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由题意可得，∴椭圆的方程为．
（2）①当直线斜率不存在时，由椭圆的方程可知：椭圆的右焦点坐标为：，
所以直线方程为：，代入椭圆方程中，得，
不妨设，，不合题意；
②设直线，
由得：，
，即解得，∴直线的方程为．
2．已知抛物线：上的点到焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
解析：（1）由题设知，抛物线的准线方程为，
由点到焦点的距离为，得，解得，
所以抛物线的标准方程为．
（2）设，，
显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立消去得，
由得，即．
所以，．
又因为，，
所以，
所以，
即，
解得，满足，
所以直线的方程为．
3．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
(1)求该抛物线的标准方程和的值；
(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.
【答案】(1)，；(2)证明见解析
解析：(1)∵抛物线焦点在轴上，且过点，
∴设抛物线方程为，
由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，
即点到准线的距离等于5，
则，
，
∴抛物线方程为，
又点在抛物线上，
，
，
∴所求抛物线方程为，.
(2)方法一：由于直线过点，可设直线方程为：，
由得，
设，，则，，
所以
，即为定值；
方法二：由于直线过点，
①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，则由
可得，，，所以；
②当直线的斜率存在时可设直线方程为：，
由得，
设，，则，.
所以
，即为定值.
综上，为定值.
4．已知椭圆，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，并且椭圆的左顶点到左焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点，，点，证明:为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)由可得准线为，所以椭圆的其中一个焦点为，
所以椭圆的半焦距，
因为椭圆的左顶点到左焦点的距离为，所以，可得，
所以，
所求椭圆的方程为.
(2)①当直线斜率不存在时，的方程为，
将代入可得，所以，，此时，，，
②当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，，
由，得，
则，，，
所以
，
综上所述，为定值，且定值为.
5．已知椭圆：的左 右焦点分别为，，离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆相交于，两点（A、B非椭圆顶点），求的最大值.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由椭圆过点，则有：
由可得：
解得：
则椭圆的方程为：
(2)由（1）得，，已知直线不过椭圆长轴顶点
则直线的斜率不为，设直线的方程为：
设，，联立直线方程和椭圆方程
整理可得：
故是恒成立的
根据韦达定理可得：，
则有：
由，可得：
所以的最大值为：
6．已知椭圆的长轴长是6，离心率是.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，.
解析：(1)依题意，，半焦距为，则离心率，即，有，
所以椭圆的标准方程为：.
(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去y并整理得：，设，
则，，，
，，
，
要使为定值，必有，解得，此时，
当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨令，，，
当时，，
即当时，过点的任意直线l与椭圆E交于A，B两点，恒有，
所以存在满足条件.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)∵
∴，
又的面积最大值，则，所以，
从而，，故椭圆的方程为：；
(2)①当直线的斜率存在时，设，
代入③整理得，
设、，则，
所以，
点到直线的距离
因为，即，
又由，得，所以，.
而，，即，
解得：，此时；
②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、.
也有，经检验，上述直线均满足，
综上：直线的方程为或.
8．已知双曲线的方程为（），离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以
，故双曲线的标准方程为.
(2)当直线斜率存在时，设直线的方程为，
则由消去，得到，
∵直线与双曲线交于M N两点，，解得.
设，则有，，
因此，
∵，∴且，故或，
故；
②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.
综上所述，所求的取值范围是.
9．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
解析：（1）由题,在椭圆中,焦点坐标为和；左右顶点为和,
因为双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点,而的左、右顶点分别是的左、右焦点,
所以在双曲线中,设双曲线方程为,则,所以,
所以双曲线的方程为
（2）由（1）联立,消去,得①；
消去,得②
设,则为方程①的两根,为方程②的两根；
，
,
得或③,
又因为方程①中,,得④,
③④联立得的取值范围
10．设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)由题意知，，且，解得，，所以椭圆的方程为.
(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设，.
由得，
则……①，……②，
因为，所以，，
由可得……③
由①②③可得，
解得，，
所以直线的方程为或，
故答案为：，或.
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上且到双曲线渐近线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且满足，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
解析：（1）设所求抛物线的方程为，焦点
因为双曲线的渐近线方程为
所以
解得
所以，抛物线的方程为
（2）因为抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点为
设
因为
所以
所以
又
所以
②代入①得：
所以
所以，直线的斜率为
所以，直线的方程为或．
12．已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析，定值为
解析：(1)由条件得，
所以方程为
(2)易知直线斜率存在，令，，，
由
，
因为，
所以，即①，
因为，
所以，即②
由①，由②
将，代入上式，
得
13．已知定圆，动圆过点，且和圆相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若过点的直线交轨迹于两点，与轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，请说明理由.
【答案】(1)；(2)是，.
解析：(1)由题可知圆的圆心为，半径，
设动圆的半径为，依题意有，
由，可知点在圆内，从而圆内切于圆，
故，即，
所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，
设其方程为，则，
∴圆心的轨迹的方程为；
(2)直线与轴相交于，故斜率存在，又，
设直线方程为，则，
设交椭圆，
由，消去得，
，
又，
，
，同理，
当直线的倾斜角变化时，的值为定值.
14．已知动圆过点且动圆内切于定圆：记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若、是曲线上两点，点满足求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由已知可得，两式相加可得则点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，则因此曲线的方程是
(2)因为，则点是的重心，易得直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立消得：
且①
②
由①②解得则直线的方程为即第三讲：向量问题（一）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算；
拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。
1、向量的数量积
若，则
2、向量的数乘
若，则时，
3、向量的线性运算
若，则时，.
【考点剖析】
考点一：向量数量积
例1．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
变式训练1：已知椭圆()的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于，两点，点的坐标为，且，求实数的值.
变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点在双曲线上，试求的值.
例2．已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．
变式训练3：已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.
变式训练:4：已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
例3．已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值.
变式训练5：已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上一点，且面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于两点，求的取值范围.
变式训练6：在平面直角坐标系中，已知点、，点满足，记点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线过圆的圆心且与圆交于两点，点为上一个动点，求的最小值．
例4．已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.
变式训练7：已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．
变式训练8：已知双曲线的浙近线方程为，且虚轴长为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且满足，求的取值范围.
考点二：向量的数乘
例1．已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
变式训练：1已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为2，椭圆C的上顶点为，为正三角形，过点的直线与椭圆相交于两点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的一般方程.
变式训练2：已知抛物线，准线方程为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若定点，直线l与地物线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率.
变式训练3：若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
考点三：双向量数乘
例1．已知点，直线为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点.若，,求的值.
变式训练1：已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
变式训练2：如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．
变式训练3：已知直线过双曲线：的右焦点，且直线交双曲线于A，B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；
考点四：向量的线性运算
例1．设为坐标原点，过椭圆：的左焦点作直线与椭圆交于A，B两点，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的取值范围；
(3)是否存在实数，使直线的斜率等于时，椭圆上存在一点满足 若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
变式训练1：已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围．
变式训练2：已知椭圆C的右焦点为，点A为椭圆C的上顶点，过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l的倾斜角为，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．
变式训练3：已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围.
考点五：向量的线性运算（范围）
例1．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，直线：与轴交于点，与曲线交于，两个相异点，且.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
变式训练1：已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；
（2）向量的数量积，数乘，线性运算；
（3）不等式的求解和导数单调性求解范围；
2、易错点：向量的表示及其运算；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过的右焦点交于两点，，求直线的方程．
2．已知抛物线：上的点到焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．
3．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
(1)求该抛物线的标准方程和的值；
(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.
4．已知椭圆，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，并且椭圆的左顶点到左焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点，，点，证明:为定值.
5．已知椭圆：的左 右焦点分别为，，离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆相交于，两点（A、B非椭圆顶点），求的最大值.
6．已知椭圆的长轴长是6，离心率是.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于两点，判断是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.
8．已知双曲线的方程为（），离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线交曲线于两点，求的取值范围.
9．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围.
10．设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上且到双曲线渐近线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且满足，求直线的方程.
12．已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.
13．已知定圆，动圆过点，且和圆相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若过点的直线交轨迹于两点，与轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，请说明理由.
14．已知动圆过点且动圆内切于定圆：记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若、是曲线上两点，点满足求直线的方程.

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