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第八讲：三点共线问题
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，坐标的表示；
应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线联立求解，并表示交点，向量，斜率等计算量；
拓展目标：能够熟练掌握三点共线的表达和求解方法.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形和坐标等的分析，在一定程度上可以进行坐标的计算，达到解决解析几何的目的，因此在解析几何中的三点共线证明上，重点放在点的坐标的表示和计算中。
解析几何证明三点共线的方法：
（1）直接证明其中一点在过另两点的直线上；
（2）证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等；
（3）证明过其中一点和另两点所连两个向量共线.
【考点剖析】
考点一：证明三点共线
例1．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)根据题意，
解得.
所以椭圆C的方程为：....
(2)由（1）知，.
根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.
由，得.
根据题意，恒成立，设
则.
直线的方程为，
令，得，所以.
因为，
则直线的斜率分别为，
.
又，
，
，
.
所以，
所以三点共线.
变式训练1：已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：（1）由题意可得，解得，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：设点的坐标为，其中，易知点、，
，则直线的方程为，
联立，可得，即点，
，，则，
因此，、、三点共线.
变式训练2：已知椭圆的右焦点为，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于两点，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使.求证：三点共线.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)依题意，椭圆的左焦点，由椭圆定义得：
即，则，
所以椭圆的标准方程为.
(2)由(1)知，，直线不垂直y轴，设直线方程为，，
由消去x得：，则，，
直线的斜率，直线的方程：，而直线，即，
直线的斜率，而，即，直线的斜率，
直线的方程：，则点，
直线的斜率，直线的斜率，
，
而，即，
所以三点共线.
变式训练3：如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
【答案】(1)；(2)最大值，；(3)证明见解析.
解析：（1）由题设知，，，故，，线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，；
（2），，，
设与平行的直线方程为，联立，得．
由，解得：．
由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，最大值．
即面积有最大值，等于．
由，解得，，点坐标为；
（3）设，，，，中点，，
则，，
两式作差可得：，，即．
，，即，．
，，，即．
，，故，，三点共线．
考点二：已知三点共线（求坐标）
例1．如图，已知椭圆E：（）的右焦点为，离心率，过F作一直线交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线：的垂线，垂足为C．
（1）求椭圆的方程；
（2）问：在轴上是否存在一个定点T，使得B，T，C三点共线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在；定点.
解析：（1）由题意可知，，解得，，
所以，所以椭圆E的方程为.
（2）假设存在点，使得B，T，C三点共线.
当斜率不存在时，连结交x轴于点T，
因为，，所以，所以，
又因为，所以，即.
下面再证明当斜率存在时，B，T，C三点共线.
证明：设，，则，，
将：与，得，
从而
要证B，T，C三点共线，即证.
，得证.
所以在轴上是否存在一个定点，使得B，T，C三点共线.
变式训练1：已知长轴长为的椭圆过点,点是椭圆的右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在轴上的定点,使得过点的直线交椭圆于两点，设为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
解析：(1)因为，所以，将点代入，得，
所以椭圆的方程为.
(2)存在点满足条件.
设，直线方程为，，,则
联立，消去，得
，且，
由三点共线，得，所以，
所以解得.
所以存在定点满足条件．
变式训练2：已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，定点为.
解析（1）由题意，抛物线，可得焦点为，所以，
又由双曲线的离心率为，可得椭圆的离心率，
可得，解得，
即椭圆的标准方程为.
（2）由直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，其中，
设点 ，则点，
联立直线与椭圆的方程，整理得，
由恒成立，且，，
由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，
故假设存在定点，使得 三点共线，则，
即，可得.
故存在定点，使得 三点共线.
变式训练3：已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
解析：（1）由于抛物线的焦点为，所以，
双曲线的离心率为，故椭圆的离心率，
由题意可得，解得，即椭圆的标准方程为；
（2）由于直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，其中，
设点、，则点，
联立直线与椭圆的方程，消去并整理得，
，由韦达定理得，，
由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，
故假设存在定点，使得、、三点共线，则，
即，可得.
故存在定点，使得、、三点共线.
考点三：已知三点共线求参
例1．已知椭圆C：（）的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点是否存在实数（），使得直线：与直线的交点满足三点共线？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）;（2）存在，直线：
解析：（1）由于短轴长为，所以，.
又离心率，且，解得.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）假设存在直线满足条件，设的方程为，且，.
联立方程组，消去x可得，
，
，.
由于，，所以直线的方程为，
则：（）与直线的交点P的坐标为，且，.
当，，三点共线时有与共线.
所以，即.
由于，所以，
所以，解得，所以存在直线：满足条件.
变式训练1：已知椭圆C：（）的右准线方程为，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由题意知，直线的方程为，，
右焦点F到直线的距离为，，
又椭圆C的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，
，椭圆C的方程为；
（2）由（1）知，，直线的方程，
联立方程组，
解得或（舍），即，
直线的斜率，
所以三点共线时直线的斜率.
变式训练2：设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)设直线与轴交于点，关于轴的对称点为.若三点共线，求证：为定值.
【答案】(1)；(2)，证明见解析.
解析：(1)令，则，∴双曲线的渐近线方程为.
(2)①当直线MN的斜率不存在时，三点共线，满足题意；
②当直线MN的斜率存在时，设为，则其方程为.
设，则，
联立，得，
所以.
因为三点共线，
所以，即，即，
所以，即，
所以，化简得：，
解得：为定值.
变式训练3：已知椭圆的离心率为，为椭圆上任意一点，且已知.
（1）若椭圆的短轴长为，求的最大值；
（2）若直线交椭圆的另一个点为，直线交轴于点，点关于直线对称点为，且，三点共线，求椭圆的标准方程.
【答案】（1）5；（2）
解析：（1）由题意，∴，且，∴，
所以，
设，则
∵，故当时，.
（2）当斜率为时，三点共线；
当斜率不为时，设直线，与椭圆，即联立得：
，设，，则
，，
又由题知，，∴，
故由三点共线得，即，
∴，∴
代入韦达定理得：，∴，，
故椭圆方程为.
考点三：已知三点共线求范围
例1．已知椭圆：的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为，点的坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知纵坐标不同的两点，为椭圆上的两个点，且，，三点共线，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）∵椭圆：的离心率为，且过点，
∴，解得，，
∴椭圆的方程为；
（2）依题意知直线过点，且斜率不为0，
故可设其方程为，
由，消去得，，
设点，，，直线的斜率为，
故，∴，∴，
又点的坐标为，∴，
当时，；
当时，，
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，∴，
∴且；
综上所述，直线的斜率的取值范围是．
变式训练1：在平面直角坐标系中，的两个顶点，的坐标分别为，，平面内两点，同时满足以下3个条件：
①是三条边中线的交点；②是的外心；③．
（Ⅰ）求的顶点的轨迹方程；
（Ⅱ）若点与（Ⅰ）中轨迹上的点，三点共线，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）设，，，
因为是的外心，所以，
所以在线段的中垂线上，
所以．
因为，所以．
又是三条边中线的交点，
所以是的重心，
所以，，
所以．
又，所以，
化简得（），所以顶点的轨迹方程为（）．
（Ⅱ）因为，，三点共线，所以，，三点所在直线斜率存在且不为0，
设所在直线的方程为，
联立得．
由，得．
设，，
则
所以
．
又，所以，
所以．
故的取值范围为．
变式训练2：如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点（，不同于）．
（1）求椭圆的焦距；
（2）设抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且、、三点共线，若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最小值．
【答案】（1）2；（2）
解析：（1）由椭圆的方程可得焦点坐标为，故焦距为2.
（2）由抛物线方程可得，，
由抛物线和椭圆的对称性可不妨设，则.
设直线，则，
由可得，
故.
设，
则，所以即，
所以，而，所以，
因为直线不过原点，故，所以，
故即，
整理得到，，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.
故即，
由可得，故，所以，
所以，故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
考点四：证明三点共线（充要条件）
例1．已知椭圆方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：三点共线的充要条件是．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解析：（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
变式训练1：已知平面内两点，动点P满足：.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)因为.
所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中，
所以轨迹C的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，直线：，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若三点共线，可设直线，即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，三点共线，充分性成立；
所以三点共线的充要条件是.
变式训练2：已知椭圆的方程为，长轴长为，且离心率为.
(1)求圆的方程；
(2)过椭圆上任意一点作两条直线，与椭圆的另外两个交点为，，为坐标原点，若直线和直线的斜率存在且分别为和.证明：，，三点共线的充要条件是.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)由题意得：，，所以，，又，
所以椭圆的方程为.
(2)必要性：若，，三点共线，不妨设，，.
则，，所以
又因为，在椭圆上，所以①，②.
①②两式相减得：，即.故;
充分性：设，，，则①，②.
①②两式相减得：，即.
又因为，所以，
整理得：
所以，，三点共线，又因为点在椭圆上，所以点与点重合，显然点与点关于原点O对称，所以弦过原点，即，，三点共线.
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；
（2）弦长最值的基本不等式求解；
（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；
2、易错点：弦长公式的计算，基本不等式的应用；
3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知椭圆的左右顶点分别记为、，其长轴的长为4，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记的中点为，若动点的横坐标恒为，过点作∥交椭圆于点，直线交椭圆于点，求证：、、三点共线．
【答案】（1）（2）见解析
解析：（1）由题可知，；∴，，故
所以椭圆方程为：
（2）设的坐标为，，，,
∴
∴的方程为，代入椭圆方程，得
故
∴
又∵，∴为代入椭圆方程，
得∴，
故，
∴，故、、三点共线．
2．过抛物线焦点的直线交于两点，为的准线，0为坐标原点.过做于，设.
（1）求的值；
（2）求证：三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解析：（1）由题意可设直线，
联立，
化简得,.
由题知为方程（*）的根，
所以.
（2）因为，
又因为，
由（1）可知，
所以，
所以，
所以三点共线.
2．已知椭圆（）的右焦点为，左右顶点分别为、，，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于、点，直线与轴的交点为，与直线的交点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求出点的坐标；
（3）求证：、、三点共线.
【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析
解析：(1)由题，，，故圆的方程为
(2)当时，易得，且相似比为,故.
设，则，即，解得.
将代入代入可得，故.
故或
(3)显然直线的斜率不为0，故设直线的方程为，.
联立有，得，故.
设，因为共线，故.
又直线的斜率，直线的斜率.
若、、三点共线则，即，化简得，代入韦达定理显然成立.
故成立，故、、三点共线.
3．如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为右焦点为，右准线的方程为，过焦点的直线与椭圆相交于点（不与点重合）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线的倾斜角为45°时，求弦的长；
（3）设直线交于点，求证：三点共线.
【答案】（1）（2）（3）见解析
解析：（1）设椭圆C的焦距为2c．由题意得．
又右准线l的方程为，所以，
所以，，
所以椭圆的标准方程为，
（2）设，，
因为直线的倾斜角为且过点，
所以直线，
联立，消去得，，
所以，，
所以；
（3）由题意可得，，
因为直线AB的斜率不为0，
所以设直线，，，
则直线，令，得，所以；
要证，，三点共线，只需证，
即证，即证；
联立，消去x得，，
所以，，
所以，
所以，，三点共线．
4．已知抛物线，为其焦点，，三点都在抛物线上，且，设直线的斜率分别为.
（1）求抛物线的方程，并证明；
（2）已知，且三点共线，若且，求直线的方程.
【答案】（1），证明见解析；（2）.
解析：（1）由题抛物线，，且，
根据抛物线的定义，可得，解得，
所以抛物线的方程为，且点，
设点，可得，同理，
，
所以，，所以.
（2）由，且三点共线，
设直线的方程为，其中（），
联立，消去得，
则，，
又由，解得或，
因为，所以，解得，
由（1）知，所以，且，所以，
所以直线的方程为，即.
5．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点作与坐标轴不垂直的直线交动点的轨迹于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在定点，使得三点共线．
解析：（1）设，则，化简得
故动点的轨迹方程为．
（2）由题知且直线斜率存在，设为，则直线方程为
由得
设，则，
由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上
故假设存在定点，使得三点共线，则且
又
，
即
化简得
将式代入上式得
化简得
故存在定点，使得三点共线．
6．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；
（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
解析：（1）设椭圆方程，
抛物线的焦点为，所以
又解得
所以椭圆标准方程为
（2）由题意，点，
因为点在线段上，所以，
设过点的直线方程为，
代入椭圆方程并整理得，，
设点，点，则，，
，
设中点，
由，可得，
所以，即，
，
整理得，，
所以的取值范围为.
（3）由（2）知，点和点关于轴对称，所以，
设点，则，，
当C、B、N三点共线时，即，
所以，
整理得，，
由（2）知，，，，
所以，
所以定点.
7．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；
（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
解析：（1）由椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点为，知：，而，
∴由，可得：，即椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知：，则可设直线l为且，令，
∴联立直线与椭圆方程，有，整理得，，则，
∵，且，
∴，而，，
∴整理可得：，又，
∴，即；
（3）由（2），有，若存在使C、B、N三点共线，
∴，由知：，
∴，由（2）可知：，
整理可得：，而且，故仅当时，有C、B、N三点共线.
∴
8．已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点，且.
（1）分别求与的值；
（2）点与点关于原点对称，点，是异于点的抛物线上的两点，且，，三点共线，直线，分别与轴交于点，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
【答案】（1），；（2）为定值，2.
解析：（1）由已知得抛物线过点，
所以，所以.
即抛物线的方程为.
设点，则，
所以，
于是得，即，
将点的坐标代入圆的方程，
得，所以.
（2）设点，，由已知得，
由题意直线斜率存在且不为，
设直线的方程为，
由得，
由，得，即，
因为，异于原点，
所以，
则，.
因为点，在抛物线上，
所以，，
则，.
因为轴，
所以
，
所以的值为定值.
9．设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若，求点纵坐标的值；
（3）设直线与轴交于点关于轴的对称点为．若三点共线，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
解析：（1）令则，
∴双曲线的渐近线方程为．
（2）由题意知，，
设为，则，且，
又，解得，
所以点M纵坐标的值为
（3）①当直线MN的斜率不存在时，其方程为与轴有无数个交点，不符合题意；
②当直线的斜率存在时，设为，则其方程为，
设，则，
联立，得，
所以，
因为三点共线，
所以，即，即，
所以，即，
所以，
化简得，为定值，
故命题得证．
10．已知椭圆：过点，离心率为，点、分别为其左、右焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若上存在两个点、，椭圆上有两个点、，满足、、三点共线，、、三点共线，且，若四边形的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）和．
解析：（1）由题意得，可得：，，
又因为，可得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知：，
①当直线斜率不存在时，直线的斜率为，
易得，，不符合题意；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
与联立得．
设，，则，，
所以，
因为，所以直线的方程为，
将直线与椭圆联立，得．
设，，则，，
所以
所以四边形的面积，
所以，整理可得：，
解得：，即．
所以直线的方程为和．
11．已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为.
（i）证明：；
（ii）若，设直线过点，直线过点，证明：为定值.
【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；
解析：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知：，…①，
双曲线的渐近线方程为，
可设双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点为，
，解得：.
在椭圆上，，即：…②，
由①②解得：，，
椭圆的标准方程为：.
（2）由题意知：关于原点对称，则可设，，.
（i）点在椭圆上，，，
，，
.
（ii）不妨设，，
，，，，
直线过点，直线过点，
直线，，
由得：，，
由得：，，
，即，
为定值.第八讲：三点共线问题
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，坐标的表示；
应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线联立求解，并表示交点，向量，斜率等计算量；
拓展目标：能够熟练掌握三点共线的表达和求解方法.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形和坐标等的分析，在一定程度上可以进行坐标的计算，达到解决解析几何的目的，因此在解析几何中的三点共线证明上，重点放在点的坐标的表示和计算中。
解析几何证明三点共线的方法：
（1）直接证明其中一点在过另两点的直线上；
（2）证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等；
（3）证明过其中一点和另两点所连两个向量共线.
【考点剖析】
考点一：证明三点共线
例1．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.
变式训练1：已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线.
变式训练2：已知椭圆的右焦点为，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于两点，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使.求证：三点共线.
变式训练3：如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
考点二：已知三点共线（求坐标）
例1．如图，已知椭圆E：（）的右焦点为，离心率，过F作一直线交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线：的垂线，垂足为C．
（1）求椭圆的方程；
（2）问：在轴上是否存在一个定点T，使得B，T，C三点共线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.
变式训练1：已知长轴长为的椭圆过点,点是椭圆的右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在轴上的定点,使得过点的直线交椭圆于两点，设为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.
变式训练2：已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式训练3：已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
考点三：已知三点共线求参
例1．已知椭圆C：（）的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点是否存在实数（），使得直线：与直线的交点满足三点共线？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
变式训练1：已知椭圆C：（）的右准线方程为，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线的斜率.
变式训练2：设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)设直线与轴交于点，关于轴的对称点为.若三点共线，求证：为定值.
变式训练3：已知椭圆的离心率为，为椭圆上任意一点，且已知.
（1）若椭圆的短轴长为，求的最大值；
（2）若直线交椭圆的另一个点为，直线交轴于点，点关于直线对称点为，且，三点共线，求椭圆的标准方程.
考点三：已知三点共线求范围
例1．已知椭圆：的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为，点的坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知纵坐标不同的两点，为椭圆上的两个点，且，，三点共线，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．
变式训练1：在平面直角坐标系中，的两个顶点，的坐标分别为，，平面内两点，同时满足以下3个条件：
①是三条边中线的交点；②是的外心；③．
（Ⅰ）求的顶点的轨迹方程；
（Ⅱ）若点与（Ⅰ）中轨迹上的点，三点共线，求的取值范围．
变式训练2：如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点（，不同于）．
（1）求椭圆的焦距；
（2）设抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且、、三点共线，若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最小值．
考点四：证明三点共线（充要条件）
例1．已知椭圆方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：三点共线的充要条件是．
变式训练1：已知平面内两点，动点P满足：.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.
变式训练2：已知椭圆的方程为，长轴长为，且离心率为.
(1)求圆的方程；
(2)过椭圆上任意一点作两条直线，与椭圆的另外两个交点为，，为坐标原点，若直线和直线的斜率存在且分别为和.证明：，，三点共线的充要条件是.
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；
（2）弦长最值的基本不等式求解；
（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；
2、易错点：弦长公式的计算，基本不等式的应用；
3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知椭圆的左右顶点分别记为、，其长轴的长为4，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记的中点为，若动点的横坐标恒为，过点作∥交椭圆于点，直线交椭圆于点，求证：、、三点共线．
2．过抛物线焦点的直线交于两点，为的准线，0为坐标原点.过做于，设.
（1）求的值；
（2）求证：三点共线.
2．已知椭圆（）的右焦点为，左右顶点分别为、，，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于、点，直线与轴的交点为，与直线的交点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求出点的坐标；
（3）求证：、、三点共线.
3．如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为右焦点为，右准线的方程为，过焦点的直线与椭圆相交于点（不与点重合）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线的倾斜角为45°时，求弦的长；
（3）设直线交于点，求证：三点共线.
4．已知抛物线，为其焦点，，三点都在抛物线上，且，设直线的斜率分别为.
（1）求抛物线的方程，并证明；
（2）已知，且三点共线，若且，求直线的方程.
5．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点作与坐标轴不垂直的直线交动点的轨迹于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；
（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
7．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；
（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
8．已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点，且.
（1）分别求与的值；
（2）点与点关于原点对称，点，是异于点的抛物线上的两点，且，，三点共线，直线，分别与轴交于点，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
9．设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若，求点纵坐标的值；
（3）设直线与轴交于点关于轴的对称点为．若三点共线，求证：为定值．
10．已知椭圆：过点，离心率为，点、分别为其左、右焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若上存在两个点、，椭圆上有两个点、，满足、、三点共线，、、三点共线，且，若四边形的面积为，求直线的方程．
11．已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为.
（i）证明：；
（ii）若，设直线过点，直线过点，证明：为定值.

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