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第九讲：斜率问题（一）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；
应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系的判断，斜率的求解；
拓展目标：能够熟练应用点差法推导中点弦公式，并灵活应用中点弦和相关第三定义.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、直线与圆锥曲线的位置关系
设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.
（1）当时，
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当时，方程为一次方程，若，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
2、圆锥曲线的中点弦问题
（1）为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则所在直线的斜率为，弦的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.
（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.
（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.
【考点剖析】
考点一：位置关系（交点个数）
例1．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或或.
解析：(1)因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，
所以抛物线的方程为.
(2)当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，
当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为，
当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为，
当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，
所以直线方程为为或或.
变式训练1：已知O，F分别是抛物线的顶点和焦点，动点M与点O的距离是它与点F的距离的一半．
(1)求动点M的轨迹；
(2)若过点的直线l与动点M的轨迹有且只有一个交点，求直线l的方程．
【答案】(1)点M的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；(2)或.
解析：(1)设，依题意，，由得：，
化简得，即，
所以，点M的轨迹是以为圆心，半径为2的圆.
(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，
因直线l与动点M的轨迹有且只有一个交点，由(1)知，即直线l与圆N相切，
由圆心到直线l的距离等于半径2得：，解得，
直线l的方程为，当直线l的斜率不存在时，其方程为，显然与圆N相切，
所以直线l的方程为或.
变式训练2：已知双曲线C：的焦距为4，且过点.
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.
【答案】(1)；(2)，．
解析：（1）由题意可知双曲线的焦点为和，
根据定义有．
，又，所以，，．
所求双曲线的方程为．
（2）因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；
由，消去整理得．
①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当即时，由，解得，
此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意．
综上所述：符合题意的的所有取值为，．
变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程.
（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由己知得
由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，焦距长，长轴长的椭圆.
所以，
所以曲线的方程是.
（2）由得.
，
因为直线与曲线有公共点，
所以，即，
解得，或.
故实数的取值范围是.
考点二：中点弦公式（椭圆：点差法）
例1．已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
【答案】（1）（2）.
解析：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线,,把代入得
故，于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线的斜率乘积为定值.
变式训练1：已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）设点的坐标为，，由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，，，，动点的轨迹的方程为．
（2）解：显然直线的斜率存在且不等于，设，，则，，又、在椭圆上，所以，，两式相减得，即所以，即，即，所以直线的方程为，即；
变式训练2：已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，点在E上，且．
(1)求E的标准方程；
(2)若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为，求直线l的方程．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由，可得，解得，
所以椭圆方程为：，又点在E上，则有，解得，
所以椭圆E的标准方程为：.
(2)设，代入椭圆方程中有，
变形有，
因为AB中点为，所以，，
所以，
所以直线l的方程为：，即为.
变式训练3：已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于点，直线与轴的交点为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于、点，线段的中点为点，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解析：（1）设点，把代入椭圆方程，
又有，可得点，或（舍）．
因为轴且为线段的中点，则，
即，所以离心率．
（2）设点，，中点，直线的斜率为，直线斜率为.
由（1）知，，则椭圆方程为（*）.
方法一：直线的方程为代入椭圆方程（*），
整理得．
则，所以，代入，
可得，则中点．
所以直线斜率为，因此.
方法二：把点，点分别代入椭圆方程（*），
得，（1）－（2）得．
也就是．
即，
又，．
因此．
考点三：中点弦公式（抛物线：点差法）
例1．已知抛物线的焦点为F，第四象限的一点在C上，且.
(1)求C的方程和m的值；
(2)若直线l交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为，求直线l的方程及线段AB的长.
【答案】(1)，；(2)，
解析：(1)抛物线的准线方程为，
由抛物线定义得，，
解得，所以抛物线C的方程为.
将代入C的方程得，，解得，
因为点P在第四象限，所以.
(2)由题意易知直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，，，
则有两式作差得，则，
因为线段AB中点的坐标为，所以，所以，
所以直线l的方程为，即，
联立得，
则，，
所以.
变式训练1：已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.
(1)若直线过点且，求；
(2)若平分线段，求直线的方程.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)设点、，则直线的倾斜角为，易知点，
直线的方程为，联立，可得，
由题意可知，则，，因此，.
(2)设、，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，
因为、在抛物线上，则，两式相减得，
又因为为的中点，则，
所以，直线的斜率为，
此时，直线的方程为，即.
变式训练2：已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由抛物线的定义可知：，
解得：，
∴C的方程为；
(2)设，
则，两式作差得，
∴直线l的斜率，
∵为的中点，
∴，∴，
∴直线l的方程为，
即（经检验，所求直线符合条件）.
考点四：中点弦公式（双曲线：点差法）
例1．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
变式训练1：已知双曲线C的渐近线方程为，且是双曲线上一点.
(1)求双曲线C的标准方程及离心率；
(2)过点的直线与双曲线C交于不同的两点A B，且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.
【答案】(1)，；(2)
解析：(1)因为双曲线C的渐近线方程为，
所以设双曲线C的方程为：，
又因为双曲线经过点，
所以，
解得，
所以双曲线C的标准方程为：；
(2)设，，
因为点为线段AB的中点，
所以有，，
所以
所以，
又因为AB的中点M在双曲线内部，
所以符合题意
所以直线AB的方程为：，
即：.
变式训练2：．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为.
（1）求该双曲线方程.
（2）是否定存在过点的直线与该双曲线交于、两点，且点是线段的中点若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.
解析：（1）设双曲线方程为：
由离心率，焦距为，则，，，
则双曲线方程为：；
（2）假设存在过点的直线与该双曲线交于，两点，
且点是线段的中点．
设过的直线方程为：，
，两点的坐标为，，，，
则，，
相减可得，
由为的中点，则，，
则，
即有直线的方程：，即有，
代入双曲线方程，可得，，
检验判别式为，方程无解．
故不存在过点的直线与该双曲线交于，两点，
且点是线段的中点．
变式训练3：已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
考点五：椭圆的第三定义（推导公式）
例1．已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)由题意解得，.
所以椭圆C的方程为.
(2)因为点关于坐标原点的对称点为，所以的坐标为.
，，所以，
又因为点为椭圆C上的点，所以.
．
变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)由题意知，，
根据得：，故：椭圆C的标准方程为．
(2)依据题意可设，，则，．
因此，又因为在椭圆C上，满足，
即，所以：，得证．
变式训练2：已知椭圆：的离心率为，其右焦点到直线的距离为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，椭圆右顶点为，求证：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析，定值
解析：(1)由题意，右焦点，，，，，，
椭圆的标准方程；
(2)由（1）可得椭圆右顶点，由题意，直线和直线的斜率存在且不为，
直线与椭圆联立，可得，
不妨设，，，
，，
直线和直线的斜率的积为，
直线和直线的斜率乘积为定值．
变式训练3：已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)由题知：
由双曲线的定义知：，
又因为，所以，所以
所以，双曲线C的标准方程为
(2)设，则
因为，，所以，
所以
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系；
（2）圆锥曲线的中点弦问题；
2、易错点：点差法的计算；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等．
(1)求曲线的方程；
(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程．
【答案】(1)；(2)，，
解析：(1)所题意曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，，，
所以抛物线方程是；
(2)易知直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线相切了，只有一个公共点，
设直线与抛物线相切，，，，，
切线方程为，
所以所求直线方程为：，，．
2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点E在椭圆C上，且，，.
(1)求椭圆C的方程：
(2)直线l过点，交椭圆于点A，B，且点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)∵点E在椭圆C上，
∴，即.
在中，，
∴椭圆的半焦距.
∵，
∴椭圆的方程为.
(2)设，，若直线的斜率不存在，显然不符合题意.
从而可设过点的直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆的方程，得，
则.
∵P为线段AB的中点，
∴，解得.
故直线的方程为，
即（经检验，所求直线方程符合题意）.
3．已知的周长为且点的坐标分别是，，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，交曲线于两点，且为的中点，求直线的方程.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)，又周长为，，
点轨迹，即曲线是以为焦点的椭圆（不包含椭圆与轴的交点），
设曲线方程为，，，解得：，，
，
曲线的方程为；
(2)设，，则，，
，，
，即直线斜率，
直线方程为，即.
4．已知椭圆C的焦点为，，过的直线与椭圆C交于A，B两点.若的周长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆中以为中点的弦所在直线方程.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由已知得，则，
又由，可得，
所以椭圆方程为．
（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，
设，，，，
所以，，
两式作差，得，
所以，
所以，
所以，
所以中点弦的方程为，
所求的直线方程．
5．双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)因为C的离心率为2，所以，
可得.将代入
可得，由题设.解得，
，，
所以C的方程为.
(2)设，，则，.
因此，即.
因为线段AB的中点为，所以，
，从而，于是直线AB的方程是.
6．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为.
(1)求C的方程；
(2)经过点的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)双曲线C的渐近线方程为，则，且，解得，.
所以C的方程为.
(2)设，，直线l的斜率为k，
则，两式相减，得，
即，所以，即.
直线l的方程为，即.
经检验，直线与双曲线C有两个交点，满足条件，
所以，直线l的方程为.
7．双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）∵，，∴，，
∵，∴，∴，
∴双曲线的标准方程为；
（2）设以定点为中点的弦的端点坐标为，
可得，，
由在双曲线上，可得：，
两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：
则以定点为中点的弦所在的直线方程为，即为，
联立方程得：，，符合，
∴直线的方程为：.
8．已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)由题意知，，
根据得：，故：椭圆C的标准方程为．
(2)依据题意可设，，则，．
因此，又因为在椭圆C上，满足，
即，所以：，得证．
9．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；
(2)已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
【答案】(1)，曲线是以为焦点的椭圆；(2)证明见解析.
解析：(1)设点坐标为，根据题意，得
，
左右同时平方，得，
整理得，，即，
所以曲线的方程是，
曲线是以为焦点的椭圆.
(2)由题意得，设的坐标是，
因为点在曲线上，所以，
因为，
所以，
所以为定值.
10．已知椭圆过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.
【答案】(1)；(2)是定值，
解析：(1)因为椭圆过点，其右焦点为
所以，即，所以，
所以椭圆方程为
(2)设，则，
所以，所以过原点与的平行的线的方程为，
所以，
所以，，
所以，
因为，故，
所以，
所以直线与斜率的乘积是为定值.第九讲：斜率问题（一）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；
应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系的判断，斜率的求解；
拓展目标：能够熟练应用点差法推导中点弦公式，并灵活应用中点弦和相关第三定义.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、直线与圆锥曲线的位置关系
设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.
（1）当时，
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当时，方程为一次方程，若，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
2、圆锥曲线的中点弦问题
（1）为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则所在直线的斜率为，弦的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.
（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.
（3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.
【考点剖析】
考点一：位置关系（交点个数）
例1．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求直线的方程.
变式训练1：已知O，F分别是抛物线的顶点和焦点，动点M与点O的距离是它与点F的距离的一半．
(1)求动点M的轨迹；
(2)若过点的直线l与动点M的轨迹有且只有一个交点，求直线l的方程．
变式训练2：已知双曲线C：的焦距为4，且过点.
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.
变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程.
（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.
考点二：中点弦公式（椭圆：点差法）
例1．已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
变式训练1：已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
变式训练2：已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，点在E上，且．
(1)求E的标准方程；
(2)若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为，求直线l的方程．
变式训练3：已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于点，直线与轴的交点为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于、点，线段的中点为点，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．
考点三：中点弦公式（抛物线：点差法）
例1．已知抛物线的焦点为F，第四象限的一点在C上，且.
(1)求C的方程和m的值；
(2)若直线l交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为，求直线l的方程及线段AB的长.
变式训练1：已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.
(1)若直线过点且，求；
(2)若平分线段，求直线的方程.
变式训练2：已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.
考点四：中点弦公式（双曲线：点差法）
例1．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
变式训练1：已知双曲线C的渐近线方程为，且是双曲线上一点.
(1)求双曲线C的标准方程及离心率；
(2)过点的直线与双曲线C交于不同的两点A B，且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.
变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为.
（1）求该双曲线方程.
（2）是否定存在过点的直线与该双曲线交于、两点，且点是线段的中点若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.
变式训练3：已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
考点五：椭圆的第三定义（推导公式）
例1．已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值．
变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证为定值．
变式训练2：已知椭圆：的离心率为，其右焦点到直线的距离为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，椭圆右顶点为，求证：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值．
变式训练3：已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系；
（2）圆锥曲线的中点弦问题；
2、易错点：点差法的计算；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等．
(1)求曲线的方程；
(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程．
2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点E在椭圆C上，且，，.
(1)求椭圆C的方程：
(2)直线l过点，交椭圆于点A，B，且点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.
3．已知的周长为且点的坐标分别是，，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，交曲线于两点，且为的中点，求直线的方程.
4．已知椭圆C的焦点为，，过的直线与椭圆C交于A，B两点.若的周长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆中以为中点的弦所在直线方程.
5．双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.
6．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为.
(1)求C的方程；
(2)经过点的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.
7．双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程．
8．已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证为定值．
9．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；
(2)已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
10．已知椭圆过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.

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