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第十讲：斜率问题（二）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的性质，注重设直线的方程，并联立方程组解决问题；
拓展目标：能够熟练应用题干信息，将文字翻译成式子求解斜率.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、弦长公式
若在直线上，代入化简，得;
2、过定点的直线方程
（1）当直线斜率存在时，，当直线斜率不存在时，；
（2）当直线斜率不为零时，，当直线斜率为零时，；
3、当时，线段的中垂线：
【考点剖析】
考点一：求斜率1（直线方程）
例1．已知椭圆：，直线经过椭圆的左焦点与其交于点，.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）已知点，，直线，与直线分别交于点，，若，求直线的方程.
变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
变式训练:2：已知椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过的右焦点交于两点，，求直线的方程．
变式训练3：过平面上点作直线，的平行线分别交轴于点，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与轨迹交于，两点，若，求直线的方程.
考点二：求斜率2（直线方程）
例1．已知椭圆的离心率为，依次连结的四个顶点构成的四边形面积为.
（1）求的方程；
（2）设的左，右焦点分别为，，经过点的直线与交于，两点，且，求的斜率.
变式训练1：已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)过作斜率为的直线分别交双曲线的两条渐近线于两点，若，求的值.
变式训练2：已知动点M到点F（0，）的距离与它到直线的距离相等．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P（，－1）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程．
变式训练3：动点M到点的距离比它到直线的距离小，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知圆，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为，求直线AB的方程.
考点三：求斜率3（中垂线）
例1．已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出直线；若不存在，说明理曲.
变式训练2：已知双曲线：（，）过点，且与双曲线：有相同的渐近线．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程．
变式训练2：已知双曲线（）的一个焦点是，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
变式训练3：已知椭圆C：的左、右焦点分别为，．椭圆C的长轴长与焦距比为，过的直线l与C交于A、B两点．
(1)当l的斜率为1时，求的面积；
(2)当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程．
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长和面积；
（2）垂直平分线；
（3）平分垂直的应用和证明；
2、易错点：弦长公式的计算，垂直平分线的表示；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知抛物线，其通径为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点F作直线l，使得直线l与抛物线交于P、Q两点，且满足弦长，求直线l的斜率．
2．椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．
3．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
4．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设点为椭圆的右顶点，直线与轴交于点过点作直线与椭圆交于两点，若，求直线的斜率.
5．已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的右焦点为，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于，两点，证明：.
6．已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值.
7．在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知抛物线关于轴对称，过焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交的准线于点．若，求直线的方程．
8．已知椭圆的离心率为在椭圆C上，且异于点A．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求直线的方程．第十讲：斜率问题（二）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的性质，注重设直线的方程，并联立方程组解决问题；
拓展目标：能够熟练应用题干信息，将文字翻译成式子求解斜率.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、弦长公式
若在直线上，代入化简，得;
2、过定点的直线方程
（1）当直线斜率存在时，，当直线斜率不存在时，；
（2）当直线斜率不为零时，，当直线斜率为零时，；
3、当时，线段的中垂线：
【考点剖析】
考点一：求斜率1（直线方程）
例1．已知椭圆：，直线经过椭圆的左焦点与其交于点，.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）已知点，，直线，与直线分别交于点，，若，求直线的方程.
【答案】（1），；（2）或.
解析：（1）由题设得，又，所以，
所以椭圆的方程为，
所以椭圆的离心率为.
（2）依题意，设，.
当直线无斜率时，方程为，所以，
由平面几何知识可以得到，，不合题意，
当直线有斜率时，设，
由得，
则，，
直线的方程为，
令，得点的纵坐标，
同理可得点的纵坐标，
，
解得或，
所求直线的方程为或.
变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
∴椭圆E的方程为；
（2）设直线l：，设，，
则，整理得：，
，即，
∴，，
∴，
即，解得：或（舍去）
∴
变式训练:2：已知椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过的右焦点交于两点，，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由题意可得，∴椭圆的方程为．
（2）①当直线斜率不存在时，由椭圆的方程可知：椭圆的右焦点坐标为：，
所以直线方程为：，代入椭圆方程中，得，
不妨设，，不合题意；
②设直线，
由得：，
，
即
解得，∴直线的方程为．
变式训练3：过平面上点作直线，的平行线分别交轴于点，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与轨迹交于，两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）设，显然不为原点，
由题设，令，得
再由，令，得
又，即
化简整理得：
所以点的轨迹方程
（2）由题设知直线的斜率显然存在，故设其方程为，，
则，
从而
又
所以
故直线的方程为.
考点二：求斜率2（直线方程）
例1．已知椭圆的离心率为，依次连结的四个顶点构成的四边形面积为.
（1）求的方程；
（2）设的左，右焦点分别为，，经过点的直线与交于，两点，且，求的斜率.
【答案】（1）；（2）或.
解析：（1）依题意可得：
解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由题可知：直线的斜率存在且不为零，
故设直线的方程为，
设，，由（1）可知：，，
则，，
因为，所以，，，化简得，
所以，，得.
联立消去得，，由得，
，，
则，解得或，
故的斜率为或.
变式训练1：已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)过作斜率为的直线分别交双曲线的两条渐近线于两点，若，求的值.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)设，则，
又，所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为.
(2)由已知直线的倾斜角不是直角，，
设，则的中点为，
，
由，可知，所以，
即，
因为的方程为，双曲线的渐近线方程可写为，
由消去y，得，
所以，，
所以，因为，所以，即.
变式训练2：已知动点M到点F（0，）的距离与它到直线的距离相等．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P（，－1）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)设M（x，y），则
解得．所以该抛物线的方程为．
(2)［方法一］：依题意，切线的斜率存在，设切线的方程为：，与抛物线方程联立，得，令，得或．从而或，解得或，
所以切点A（－1，），B（2，2），直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为，整理得．．
［方法二］：由可得，所以，
设切点为（），则切线的斜率，又切线过点P（，－1），所以，整理得，解得或，所以切点的坐标为A（－1，），B（2，2），所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，整理得．
变式训练3：动点M到点的距离比它到直线的距离小，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知圆，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为，求直线AB的方程.
【答案】(1):；(2)
解析：(1)由题意得动点M到点的距离等于到直线的距离，
所以曲线C是以为焦点，为准线的抛物线.
设，则，于是C的方程为.
(2)由（1）可知，设，
PA的两点式方程为.
由，，可得.
因为PA与D相切，所以，整理得.
因为，可得.
设，同理可得.
于是直线AB的方程为.
考点三：求斜率3（中垂线）
例1．已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，
解析：(1)依题意有解得，.
∴椭圆的方程为.
(2)假设在线段的中垂线上，
联立消去y得.
设，，则，.
∴.
∴的中点坐标为.
∴，
∴，即，解得.
∴存在时，点在线段的中垂线上.
变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出直线；若不存在，说明理曲.
【答案】(1)；(2)存在，
解析：(1)由题意可得，，，
解得，，所以椭圆的方程为．
(2)由（1）得，假设存在满足条件的直线：，
代入椭圆方程整理可得，
设，，则，，
可得，
则线段的中点坐标为，
所以，
则，解得：，
所以存在直线，且直线的方程为．
变式训练2：已知双曲线：（，）过点，且与双曲线：有相同的渐近线．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)双曲线的渐近线方程为，所以，
因为点在双曲线上，所以，
所以，
故双曲线的方程为；
(2)设，，
联立方程组，得，
则，，
，
所以的中点坐标为．
由得，且．
因为线段的垂直平分线过点，所以 ，
可得或（舍去），
故直线的方程为．
变式训练2：已知双曲线（）的一个焦点是，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由已知得，，所以，，
所以所求双曲线方程为.
(2)设直线的方程为，点，．
联立整理得.(*)
设的中点为，则，，所以线段垂直平分线的方程为，即，
与坐标轴的交点分别为，，
可得，得，，此时(*)的判别式，
故直线的方程为.
变式训练3：已知椭圆C：的左、右焦点分别为，．椭圆C的长轴长与焦距比为，过的直线l与C交于A、B两点．
(1)当l的斜率为1时，求的面积；
(2)当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程．
【答案】(1)12；(2)
解析：（1）依题意，因，又，得，
∴椭圆C的方程为，
设、，
当时，直线l：，
将直线与椭圆方程联立，消去x得，，
解得，，，
∴．
（2）设直线l的斜率为k，由题意可知，直线方程为，
由，消去y得，
恒成立，，
设线段AB的中点，
则，，
设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为，
则，得，
整理得：，
，
等号成立时．
故当截距m最小为时，，
此时直线l的方程为．
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长和面积；
（2）垂直平分线；
（3）平分垂直的应用和证明；
2、易错点：弦长公式的计算，垂直平分线的表示；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知抛物线，其通径为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点F作直线l，使得直线l与抛物线交于P、Q两点，且满足弦长，求直线l的斜率．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意知：抛物线通径为，即，
所以，抛物线的标准方程为．
(2)由（1）知：抛物线焦点，
①当时，显然不满足，
②当时，设直线l方程为，联立，
得，
，则，．
所以，，即，
2．椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或
解析：（1）由椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为，可得半焦距且，解得，又由，所以椭圆方程为.
（2）由（1）得，圆的方程为，设，
当直线的斜率不存在时，，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立方程组，可得，
所以，，
所以
， 解得或，
所以直线或.
3．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
4．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设点为椭圆的右顶点，直线与轴交于点过点作直线与椭圆交于两点，若，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
解析：由题意知离心率满足，
所以，
又因为点在椭圆上，
所以，解得，
所以，
故椭圆的标准方程为.
由得，
所以直线的方程为，与轴的交点为.
由，得
而，
因此.
当与轴垂直时，不合题意.
当与轴不垂直时，
设其方程为，
联立方程得，消去可得，
设，
则
由得，
所以
显然不为两式相除得
所以
解得.
5．已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的右焦点为，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于，两点，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解析：（1）因为椭圆的离心率为，
，，即，
又因为椭圆过点，所以，解得
椭圆的方程为.
（2）证明：设直线的方程为.
因为直线与直线的倾斜角互补，所以直线的方程可设为.
联立得.
设，，则，
∴.
同理可得.
.
又，∴，所以.
6．已知双曲线的左，右焦点为，离心率为.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)设，则，
又，所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为.
(2)由已知直线的倾斜角不是直角，，
设，则的中点为，
，
由，可知，所以，
即，
因为的方程为，双曲线的渐近线方程可写为，
由消去y，得，
所以，，
所以，因为，所以，即.
7．在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知抛物线关于轴对称，过焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交的准线于点．若，求直线的方程．
【答案】(1)或；(2)或
解析：(1)当焦点在轴时，设抛物线：．
将点坐标代入得，此时抛物线的方程为．
当焦点在轴时，设抛物线：，
将点坐标代入得，此时抛物线的方程为．
综上，抛物线的方程为或．
(2)当抛物线的焦点在轴时，其方程为．
∵直线的斜率不存在时，，，不符合题意，
∴直线的斜率存在，设直线的方程为，与抛物线的交点为，．
由消去得，．
∴，，
∴，线段的中点为，
∴直线的方程为．
令，得，∴，
∴．
由得，，解得，
∴直线的方程为或．
8．已知椭圆的离心率为在椭圆C上，且异于点A．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
解析：（1）依题意，
解得．故椭圆C的方程为；
（2）∵，∴直线为线段的垂直平分线，则直线的方程为，设直线的方程为，
由，得：，
，解得，设，由韦达定理得，设的中点为，
所以；所以．
又在直线上，代入得，解得，
综上所述，直线的方程为．

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