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第十二讲：斜率问题（四）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，直线斜率的表示和计算过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中，直线与其对应的关系，倾斜角互补，斜率互为相反数；
拓展目标：能够熟练应用数形结合，观察线段长度，位置关系等，进行倾斜角和斜率的转化.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、倾斜角互补
直线和的倾斜角分别为和，当时，则；
2、角度相等
当角度的公共边为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；
3、线段相等
等腰三角形的底边为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；
4、角平分线
当角平分线为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；
【考点剖析】
考点一：倾斜角互补
例1．已知椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
变式训练1：已知椭圆()的离心率为，以原点为圆心，以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)点的坐标为，直线（不过原点也不过点）交于两点，且直线的倾斜角互补，若点是的中点，求直线的斜率.
变式训练2：已知圆：，圆：，动圆与圆和圆均内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程
(2)点（）为轨迹上的点，过点作两条直线与轨迹交于两点，直线，的斜率互为相反数，则直线的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.
变式训练3：已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左 右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C2的方程；
(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.
考点二：角度问题（倾斜角互补）
例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，（）在椭圆上，点，是椭圆上不同于，的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.
变式训练1：已知椭圆：，为上焦点，左顶点到的距离为，且离心率为，设为坐标原点，点的坐标为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与交于，两点，证明：.
变式训练2：在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，在轴上是否存在一点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式训练3：在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，过点作轴的垂线，垂足为是的中点，当在圆上运动时形成的轨迹为．
(1)求的轨迹方程；
(2)若点，试问在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点三：长度相等（倾斜角互补）
例1．已知椭圆的离心率为，经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A B在椭圆C上，直线 分别与y轴交于点M N，，试问直线的斜率是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于
已知椭圆：的左 右焦点分别为 ，焦距为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上一点，为轴上一点，，设直线与椭圆交于，两点，若直线，关于直线对称，求直线的斜率.
变式训练2：已知椭圆C：的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线对称.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：直线AB的斜率为定值.
变式训练3：已知点，直线l的方程为，双曲线的右焦点为，双曲线的两条渐近线与直线l围成的三角形的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过点与双曲线相交于A，B两点，直线FA与直线FB分别与y轴交于C，D两点，证明：（O为坐标原点）．
考点四：角平分线（已知）
例1．已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得x轴平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由，
变式训练1：已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．
（1）求直线l的方程；
（2）设x轴上关于y轴对称的两点P、Q，（其中P在Q的右侧），过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：始终被x轴平分．
变式训练2：已知椭圆：的离心率为，点为椭圆C上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上的两个动点，且的角平分线总是垂直于轴，求证：直线的斜率为定值．
考点五：角平分线（翻译）
例1．已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标.
变式训练1：设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到轴的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线的准线与轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．
变式训练2：已知为坐标原点，点，设动点到直线的距离为，且，.
(1)记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程；
(2)若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于，两点，直线与的交点为（不在曲线上），且，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.
考点六：定比分点（弦长的应用）
例1．已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在直线上，过点的两条直线分别交曲线于两点和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
变式训练1：已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一点，PF与y轴垂直，Q为y轴上一点，且，若.
(1)求；
(2)设点，过点作两条不同的直线分别交抛物线C于A，B两点和D，E两点，且满足，求证为定值.
变式训练2：已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线与椭圆相切，点是直线上的两点，且，求四边形的面积；
(3)过椭圆内一点作两条直线分别交椭圆于点，和，设直线与的斜率分别是，若，试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．
变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点，，点P为平面内的动点，且的周长为.记点P的轨迹为C.
(1)试说明曲线C的形状，并求C的方程；
(2)设点M在直线上，且M不在C上，过M的两条直线分别交C于A，B两点和R，H两点，且，直线和的斜率都存在且不为零，求直线的斜率与直线的斜率的比值.
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；
（2）倾斜角互补，斜率相加为零；
（3）数形结合把图形转化为倾斜角，斜率求解；
2、易错点：数形结合将图形转化为倾斜角；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知抛物线，直线与交于两点且（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)设，若直线的倾斜角互补，求的值．
2．已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且轴，，为垂足，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且，求点的坐标．
3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．
4．已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
5．已知椭圆C：的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q（不与O重合），使得？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
7．已知抛物线的焦点为F，其中P为E的准线上一点，O是坐标原点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过的直线与E交于C，D两点，在x轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知动点到点的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知，不垂直于坐标轴的直线与曲线相交于，两点，是坐标原点，若平分，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.
9．已知抛物线的准线方程为．
(1)求C的方程；
(2)直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．第十二讲：斜率问题（四）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，直线斜率的表示和计算过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中，直线与其对应的关系，倾斜角互补，斜率互为相反数；
拓展目标：能够熟练应用数形结合，观察线段长度，位置关系等，进行倾斜角和斜率的转化.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、倾斜角互补
直线和的倾斜角分别为和，当时，则；
2、角度相等
当角度的公共边为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；
3、线段相等
等腰三角形的底边为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；
4、角平分线
当角平分线为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；
【考点剖析】
考点一：倾斜角互补
例1．已知椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
【答案】(1)(2)直线AB的斜率是定值，为
解析：(1)因为椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点，
所以且，
解得，
所以椭圆C的方程为
(2)
由题意得，两条直线PA，PB的斜率均存在，且互为相反数，
设直线为，则直线为，
设，
将代入，
得，
所以，所以，
同理可得，
所以
所以直线AB的斜率是定值，等于
变式训练1：已知椭圆()的离心率为，以原点为圆心，以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)点的坐标为，直线（不过原点也不过点）交于两点，且直线的倾斜角互补，若点是的中点，求直线的斜率.
解析：(1)由已知得，，∴，,
又原点到直线的距离为＝，
因此，，
故椭圆的方程为；
(2)由题意可得直线的斜率存在，
设直线的方程为，设，，，，
由可得，
则△，
且，，
直线，的倾斜角互补，则，
代入，，
所以
即有，
整理可得，
即又直线不经过点即故
变式训练2：已知圆：，圆：，动圆与圆和圆均内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程
(2)点（）为轨迹上的点，过点作两条直线与轨迹交于两点，直线，的斜率互为相反数，则直线的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.
【答案】(1)；(2)是定值，定值为.
解析：(1)由题意得，.
设动圆圆心C的坐标为，半径为r，
则，.
从而.
∴动圆圆心C的轨迹E是焦点为，，长轴长等于4的椭圆，且，.
又，得，
∴动圆圆心C的轨迹E的方程为.
(2)由（1）可得.
设直线PA的方程为
则直线PB的方程为.
设，.
由消去y，整理得，
则，即.（1）
同理可得.（2）
∴.
将（1）（2）代入上式，化简得.
故直线AB的斜率为定值.
变式训练3：已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左 右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C2的方程；
(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）由题意可得，抛物线的焦点为，
所以椭圆的半焦距，又椭圆的离心率，所以，则，即，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，，
∵与互补，
∴，所以，
化简整理得①，
设直线PQ为，联立直线与椭圆方程
化简整理可得，
，
可得②，
由韦达定理，可得，③，
将，代入①，
可得④，
再将③代入④，可得，解得，
∴PQ的方程为，
且由②可得，，即，
由点到直线PQ的距离，
令，，则
，当且仅当时，等号成立，
所以面积S最大值为.
考点二：角度问题（倾斜角互补）
例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，（）在椭圆上，点，是椭圆上不同于，的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)；(2)为定值，理由见解析
解析：（1）因为椭圆的中心的原点，焦点在轴上，
所以设椭圆标准方程为，
因为椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，
焦点为，所以，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程.
（2）由题意，直线与椭圆交点，
设，当时直线斜率之和为，
设斜率为，则斜率为，的直线方程为，
与椭圆联立得，
所以，同理，
所以，
，
直线的斜率为.
变式训练1：已知椭圆：，为上焦点，左顶点到的距离为，且离心率为，设为坐标原点，点的坐标为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与交于，两点，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)左顶点到的距离为，可得，又，故，从而﹒
∴椭圆的标准方程为﹒
(2)证明：当与轴重合时，，分
当与轴不重合时，设的方程为，，，
直线，的斜率，之和为，
又，，，
联立方程，可得，
，，
，从而，
故直线，的倾斜角互补，.
综上.
变式训练2：在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，在轴上是否存在一点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，.
解析：(1)因为动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以动点到点的距离和它到直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
设抛物线方程为，
由，得，
所以动点的轨迹方程为.
(2)由题意可知，直线的斜率不为0，
故设直线的方程为，.
联立，得，
恒成立，
由韦达定理，得，，
假设存在一点，满足题意，
则直线的斜率与直线的斜率满足，
即，
所以，
所以
解得，
所以存在一点，满足，点的坐标为.
变式训练3：在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，过点作轴的垂线，垂足为是的中点，当在圆上运动时形成的轨迹为．
(1)求的轨迹方程；
(2)若点，试问在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.
解析：(1)设，因为N为的中点，，
又P点在圆上，，
即C的轨迹方程为；
(2)不存在满足条件的点M，理由如下：
假设存在满足条件的点M，设点M的坐标为，直线的斜率为k，
则直线的方程为，
由消去y并整理，得，
设，则
由，得，即，
将代入上式并化简，
得．
将式代入上式，有，
解得，
而，求得点在椭圆外，若与椭圆无交点不满足条件，所以不存在这样的点．
考点三：长度相等（倾斜角互补）
例1．已知椭圆的离心率为，经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A B在椭圆C上，直线 分别与y轴交于点M N，，试问直线的斜率是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
【答案】(1)；(2)直线的斜率为定值.
解析：(1)依题意可得，解得，所以椭圆方程为；
(2)因为，所以为等腰三角形，所以和关于直线对称，所以的斜率存在，设直线的方程为，，，则直线的方程为，即，直线的方程为，即，所以，即，即，即，即
由，消去得，所以，，，所以
即
所以，即，
所以或，
当时，直线：过点，不合题意；
所以，此时可以满足，
所以直线的斜率为定值.
变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于
已知椭圆：的左 右焦点分别为 ，焦距为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上一点，为轴上一点，，设直线与椭圆交于，两点，若直线，关于直线对称，求直线的斜率.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）依题意可得，又，
所以，，.
所以；
（2）因为，所以是的中点. 结合轴，
所以轴，所以，则，解得，因为，所以，所以.
因为直线、关于直线对称.
所以、的倾斜角互补，所以，
显然直线的斜率存在，设：，由，
得，由得.
设， ，则，，
由，
整理得，
所以，即
若，则，
所以直线的方程为，此时，直线过点，舍去.
所以，即，
所以直线的斜率为.
变式训练2：已知椭圆C：的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线对称.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：直线AB的斜率为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)由题设，且，可得，
∴椭圆C的标准方程为.
(2)由（1）知：，由直线PA与PB关于直线对称，如下图示：
令，，
联立椭圆方程整理得：，
∴，且，，
又，
而，，，
∴，
∴，而不在直线上，则，
∴为定值，得证.
变式训练3：已知点，直线l的方程为，双曲线的右焦点为，双曲线的两条渐近线与直线l围成的三角形的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过点与双曲线相交于A，B两点，直线FA与直线FB分别与y轴交于C，D两点，证明：（O为坐标原点）．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)双曲线的两条渐近线与直线l围成的三角形为△，
所以，得，所以．
又，解得，，所以双曲线的方程为.
(2)证明：若直线的斜率不存在，根据对称性，显然有；
若直线的斜率存在，设为k，则直线m的方程为，
联立，得，
易知，且．设，，
且，，
则，．
若证，可证，即证，
即
．
由于，
所以，从而．
考点四：角平分线（已知）
例1．已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得x轴平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由，
【答案】(1)；(2)存在，
解析：(1)由题意得
解得：，.所以椭圆C的方程为.
(2)由题意可知.
若直线l斜率存在，设直线l的方程为，，
联立得，整理得.
由题意可知恒成立，所以，
假设在x轴上存在一点，使得x轴平分，则，
所以，整理得，
即，
整理得，，
则，
即，解之得.
若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为时，x轴平分.
综上所述，在x轴上存在一点，使得x轴平分.
变式训练1：已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．
（1）求直线l的方程；
（2）设x轴上关于y轴对称的两点P、Q，（其中P在Q的右侧），过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：始终被x轴平分．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解析：（1）由已知可设直线l的方程为：，
联立方程组可得，
设，则．
又因为，得，
故直线l的方程为：即为；
（2）由题意可设，
可设过P的直线为．
联立方程组可得，显然．
设，则．
所以
．
所以始终被x轴平分．
变式训练2：已知椭圆：的离心率为，点为椭圆C上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上的两个动点，且的角平分线总是垂直于轴，求证：直线的斜率为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
解析：(1)椭圆的离心率，又，∴．
∵椭圆：经过点，解得，
∴椭圆的方程为；
(2)∵的角平分线总垂直于轴，∴MP与NP所在直线关于直线对称．设直线MP的斜率为k，则直线NP的斜率为
∴设直线MP的方程为，直线NP的方程为
设点，．
由消去y，得．
∵点在椭圆C上，则有，即．
同理可得．
∴，又．
∴直线MN的斜率为．
考点五：角平分线（翻译）
例1．已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标.
【答案】(1)；(2)存在，
解析：（1）在曲线上，则，则，
而，故抛物线C的方程为.
（2）易知直线的斜率不为0，故设
联立：，
故.
，因为，
则
则或（舍），故.
因为都在轴上，要使得，
则轴为的角平分线，
若，则垂直于轴，轴平分，则垂直于轴，
则直线的方程为，此时，而相异，故，同理
故与的斜率互为相反数，即
为定值.
故当时，有恒成立.
变式训练1：设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到轴的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线的准线与轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
解析：（1）由点到轴的距离为得：，
将代入得：，
由抛物线的定义得，，
由已知，，
所以，
所以抛物线的方程为；
（2）由得，
由题意知与抛物线交于两点，
可设直线的方程为，，，
联立方程，得，
所以，，，
所以
，
所以，
则
所以为的角平分线，
由角平分线的性质定理，得．
变式训练2：已知为坐标原点，点，设动点到直线的距离为，且，.
(1)记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程；
(2)若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于，两点，直线与的交点为（不在曲线上），且，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)设点，因为，
所以，
因为，所以
所以
所以
所以
所以C的方程为：
(2)设，，
设直线l的方程为：，则
由得：
所以，，
所以
所以
设直线的方程为：，则
同理可得
因为
所以
即，即，即
解得，即
所以为定值.
考点六：定比分点（弦长的应用）
例1．已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在直线上，过点的两条直线分别交曲线于两点和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【答案】(1)；(2)0
解析：(1)因为椭圆的离心率为，
所以，所以①
又因为过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，
所以②，由①②可知，所以，
，所以椭圆C的方程为
(2)因为点P在直线上，所以设点，
由题可知，直线AB的斜率与直线MN的斜率都存在．
所以直线AB的方程为：，即，
直线MN的方程为：，即，
设，，，，
所以，消去y可得，，
整理可得，
且所以，，
又因为，
，
所以
，
同理可得，
又因为，所以，
又因为，，，都是长度，所以，
所以，整理可得，
又因为，所以，
所以直线AB的斜率与直线MN的斜率之和为0．
变式训练1：已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一点，PF与y轴垂直，Q为y轴上一点，且，若.
(1)求；
(2)设点，过点作两条不同的直线分别交抛物线C于A，B两点和D，E两点，且满足，求证为定值.
【答案】(1);(2)证明见解析
解析：(1)的焦点，不妨设点在第一象限，由于轴，则，
∵△∽△, ∴, 即,
∴，即，
(2)设所在的直线方程为：，，,
的直线方程为：，，;
则，，
即，
将直线的直线方程;，与抛物线的方程联立，消去y得到：，
由韦达定理可知，，
则,
同理可得,
即,
∵，
∴，即，
又∵，∴，即.
变式训练2：已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线与椭圆相切，点是直线上的两点，且，求四边形的面积；
(3)过椭圆内一点作两条直线分别交椭圆于点，和，设直线与的斜率分别是，若，试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)是；
解析：(1)由题意可得，
将点代入椭圆方程得，
解得，
即有椭圆方程为；
(2)将直线代入椭圆方程可得，，
由直线和椭圆相切的条件可得，解得，
焦点，由对称性可取直线，
则，，
即有四边形的面积为；
(3)
可得直线的方程为，
联立方程，得．
设，则．
∵
．
同理，直线的方程为，则．
∵，
∴．
又T为椭圆内任意一点，∴，即，
所以，∴．
又直线与不重合，∴为定值．
变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点，，点P为平面内的动点，且的周长为.记点P的轨迹为C.
(1)试说明曲线C的形状，并求C的方程；
(2)设点M在直线上，且M不在C上，过M的两条直线分别交C于A，B两点和R，H两点，且，直线和的斜率都存在且不为零，求直线的斜率与直线的斜率的比值.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由已知，得，所以点P的轨迹C是以，分别为左 右焦点的椭圆，但需要去掉椭圆与x轴的两个交点.
所以，，，所以C的方程为；
(2)设，，，，.
的方程为：，
联立方程组
消去y，得，
所以，，
所以
，.
设的方程为，同理得，
因为，
所以，
解得，或（舍去），所以；
综上，，.
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；
（2）倾斜角互补，斜率相加为零；
（3）数形结合把图形转化为倾斜角，斜率求解；
2、易错点：数形结合将图形转化为倾斜角；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知抛物线，直线与交于两点且（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)设，若直线的倾斜角互补，求的值．
【答案】(1)；(2).
解析：(1)设，，
由，得，
故，
由，可得，即，
∴，
故抛物线的方程为：；
(2)设的倾斜角为，则的倾斜角为，
∴,
由，得，
∴，
∴，同理，
由，得，
∴，即，
故.
2．已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且轴，，为垂足，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)∵椭圆的焦距为，∴，即，
轴，∴，则,
由，，则△∽△，
∴，即，
整理得，即，解得或（舍去）
∴，∴，
则椭圆的标准方程为，
(2)设直线的方程为，且，
将直线方程与椭圆方程联立得，
，
则，，
∵，∴，
∴,
∴，
∴
，
即.
3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，
解析：(1)
则，
，，
，
故C的方程为：；
(2)假设存在定点，使得直线与的斜率互为倒数，
由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，
，，
，，所以，
即或，
，
，
则，，
使得直线与的斜率互为倒数.
4．已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，理由见解析.
解析：（1）双曲线的左焦点，其中一条渐近线，则；
对双曲线，令，解得，则，解得，
故双曲线方程为：.
（2）根据（1）中所求可知，假设存在轴上的点满足题意，
若直线的斜率不为零，则设其方程为，联立双曲线方程，
可得，则，
即，此时直线与双曲线交于两点，
则，则，
即，即，
则，此时满足题意；
若直线的斜率为零，且过点，此时，满足题意.
综上所述，存在轴上的一点满足.
5．已知椭圆C：的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q（不与O重合），使得？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)，；(2)存在或，使得，理由见解析.
解析：(1)由离心率可知：，又，，解得：，，故椭圆C：，直线PA为：，令得：，所以；
(2)存在或，使得，理由如下：
假设，使得，则，其中，直线：，令得：，则，，解得：，其中，故，所以，所以或
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
【答案】(1);(2)是，证明见解析
解析：(1)由，得，所以a2 =9b2①，
又椭圆过点，则②，
由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为
(2)设直线MA的斜率为k，点， 因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.
联立直线MA与椭圆方程，得
整理，得，
所以，同理可得，
所以，
又
所以为定值.
7．已知抛物线的焦点为F，其中P为E的准线上一点，O是坐标原点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过的直线与E交于C，D两点，在x轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在；
解析：(1)抛物线的焦点为，
设，则，
因为，所以，得．
所以抛物线E的方程为．
(2)假设在x轴上存在定点，使得x轴平分．
设直线的方程为，设点，，
联立，可得．
∵恒成立，∴，
设直线MC，MD的斜率分别为，，
则
由定点，使得x轴平分，
则，所以．
把根与系数的关系代入可得，得．
故存在满足题意．综上所述，
在x轴上存在定点，使得x轴平分．
8．已知动点到点的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知，不垂直于坐标轴的直线与曲线相交于，两点，是坐标原点，若平分，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)；(2)过定点，定点为
解析：(1)因为动点到的距离与直线的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
设的方程为，则
故曲线的方程为；
(2)由题意设直线的方程为，
联立消整理得，
，
设，，
则，，
因为平分，所以，
故，
所以，
而
由题知，所以，
所以直线的方程为，
当时，，故直线恒过定点.
9．已知抛物线的准线方程为．
(1)求C的方程；
(2)直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)见解析
解析：(1)
(2)设，联立，得
由，得，
假设C上存在点Q，使得直，则
又
即存在点满足条件.

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