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2023年中考数学高频考点专题训练--直线与圆的位置关系
一、综合题
1．定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，如果线段OP与图形M有公共点时，就称点P为关于图形M的“亲近点”.
已知平面直角坐标系xOy中，点A（1， ），B（5， ），连接AB.
（1）在P1（1，2），P2（3，2），P3（5，2）这三个点中，关于线段AB的“亲近点”是　 　；
（2）若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C（t，2 ）、D（t+6，2 ），求实数t的取值范围；
（3）若⊙A与y轴相切，直线l：y＝ 过点B，点E是直线l上的动点，⊙E半径为2，当⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范围.
2．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
（3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．
3．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点和点O均在网格图的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1；
（2）以点O为圆心， 为半径作⊙O，请判断直线AA1与⊙O的位置关系，并说明理由．
4．如图所示，已知抛物线y= x2，点M、N的坐标分别为（0，1）、（0，﹣1）．
（1）点P是抛物线上的一个动点，判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1的位置关系；
（2）若经过点M的直线与抛物线y= x2的交于A、B，联结NA、NB，探索∠ANM和∠BNM之间的关系，并给出证明过程．
5．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE=∠BAF．
6．已知∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．
（1）⊙P移动到与边OB相切时（如图），切点为D，求劣弧 的长；
（2）⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF=4 cm，求OC的长．
7．如图，点A、B在⊙O上，点C在⊙O外，连接AB和OC交于D，且OB⊥OC，AC=CD．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，请证明你的结论；
（2）若OC=17，OD=2，求⊙O的半径及tanB．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F.
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2 ，BF=2，求⊙O的半径.
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 .直线 ： 过点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线 经过点 时，取线段 的中点 ，作直线 的平行线，恰好与抛物线有一个交点 时，判断以点 ， ， ， 为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；
（3）在直线 上是否存在唯一一点 ，使得 ？若存在，请求出此时 的解析式；若不存在，请说明理由.
10．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，若 ，则称 为点P的最大距离；若 ，则称 为点P的最大距离．
例如：点P（ ， ）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为 .
（1）①点A（2， ）的最大距离为　 　；
②若点B（ ， ）的最大距离为 ，则 的值为　 　；
（2）若点C在直线 上，且点C的最大距离为 ，求点C的坐标；
（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为 ，直接写出⊙O的半径r的取值范围．
11．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB如图，AB是
⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
12．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上.若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X矩形”.下图为点P，Q的“X矩形”的示意图.
（1）若点B(4，0)，点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为　 　.
（2）点M，N的“X矩形”是正方形，
①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标.
②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围　 　.
13．如图，已知，⊙O的半径 ，弦AB，CD交于点E，C为 的中点，过D点的直线交AB延长线与点F，且DF=EF．
（1）如图1，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BE= AE，求CE的长．
14．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图， 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t，求：
（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？
（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？
16．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在 上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O的近距点．
（1）在点 ， ， ， 中，⊙O的近距点是　 　．
（2）若直线 上存在⊙O的近距点，求b的取值范围；
（3）若点P在直线 上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）P2和P3
（2）解：线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，
∵t+6＞t，
∴O、A、C在一条直线上，O、B、D在一条直线上，
此时线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，
∴ ，
∴t＝3，
∴ ，
∴t＝ ，
∴ ≤t≤3
（3）2≤n≤ .
2．【答案】（1）解：BC所在直线与小圆相切．
理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直线是小圆的切线
（2）解：AC+AD=BC．
理由如下：
连接OD．
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，
，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD
（3）解：∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，
∴AC=6cm；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC﹣AC=4cm，
∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），
又∵OD2﹣OA2=AD2，
∴S=42π=16π（cm2）
3．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：直线AA1是⊙O的切线．
过点O作OD⊥OA于点D，
∵OA= = ，
∴OA1=OA= ，∠AOA1=90°，
∴AA1= =2 ．
∵OA1=OA，OD⊥AA1，
∴点D是OA1的中点，OD= AA1= ．
∵⊙O的半径为 ，
∴直线AA1是⊙O的切线
4．【答案】（1）解：设点P的坐标为（x0， x20），则PM= = x +1；
又因为点P到直线y=﹣1的距离为， x20﹣（﹣1）= x20+1
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1相切
（2）解：如图，
分别过点A，B作直线y=﹣1的垂线，垂足分别为H，R，设A（a， a2），B（b， b2），
∴AM= = a2+1，BM= = b2+1，
∵AH= a2+1，BR= b2+1，
∴AM=AH，BM=BR，
∵AH，MN，BR都垂直于直线y=﹣1，
所以，AH∥MN∥BR，
于是 ，
所以 ，
因此，Rt△AHN∽Rt△BRN．
于是∠HNP=∠RNQ，从而∠ANM=∠BNM．
5．【答案】（1）证明：连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB
（2）证明：如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°﹣∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠BAF=∠DAE
6．【答案】（1）解：连接DP、CP，
∵∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．
∴∠DPC=120°，
∴劣弧 的长为： =2πcm
（2）解：可分两种情况，
①如图2，当P在∠AOB内部，连接PE，PC，过点P做PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，
∵EF=4 cm，∴EM=2 cm，
在Rt△EPM中，PM= =1cm，
∵∠AOB=60°，∴∠PNM=30°，
∴PN=2PM=2cm，
∴NC=PN+PC=5cm，
在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=5× = cm．
②如图3，当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，
由①可知，PN=2cm，
∴NC=PC﹣PN=1cm，
在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=1× = cm．
综上所述，OC的长为 cm或 cm．
7．【答案】（1）证明：连接OA，如图所示：
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠BDO=∠CDA，
∴∠BDO=∠CAD，
又∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵OB⊥OC，
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，
即∠OAC=90°，
∴AC是⊙O的切线
（2）解：∵OC=17，OD=2，
∴AC=CD=OC﹣OD=15，
∴OA= =8，
即⊙O的半径为8，
∵OB=OA=8，
∴tanB= = ．
8．【答案】（1）解：线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2＋OD2，
即（R＋2）2＝（2 ）2＋R2，
解得：R＝4，
即⊙O的半径是4.
9．【答案】（1）解：由题意
，
∴ ，
∴抛物线解析式为：
（2）解：菱形，理由如下：
∵ ： 过点 ，
∴ ，
∴ ，
设过点 且与 平行的直线的解析式为
，
由 ，
得： ，
由 ，
∴ ，
由 ，
得 ，
∴ ，
∴ .
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ .
又 ，
，
.
∴ ，
∴四边形 为菱形.
（3）解：存在，理由如下：
分两种情况
①当 过点 时，
显然在 上存在唯一点 ，使得 ，
此时， 的解析式为： .
②当 不过点 时，
当以 为直径的圆恰好与 相切时，切点即为点 ，
取 的中点 为圆心，则半径为 ，
设 与 轴的交点为 ，则 ，
如图所示.
有 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述， 的解析式为： 或 或 .
10．【答案】（1）5；±5
（2）设点C的坐标（x，y），
∵点C的“最大距离”为5，
∴x=±5或y=±5，
当x=5时，y=﹣7，
当x=﹣5时，y=3，
当y=5时，x=﹣7，
当y=﹣5时，x=3，
∴点C（﹣5，3）或（3，﹣5）
（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=﹣5，直线y=5，直线y=﹣5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，
∴5≤r≤ ．
11．【答案】（1）解：CD与圆O相切，理由如下：
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
则CD与圆O相切
（2）解：连接EB，交OC于F，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，
∴EB∥CD，
∵CD与⊙O相切，C为切点，
∴OC⊥CD，
∴OC∥AD，
∵点O为AB的中点，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF= AE= ，即CF=DE= ，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC= ，则S阴影=S△DEC= × × = ．
12．【答案】（1）6
（2）0
13．【答案】（1）解：如图1，连接OC和OD
∵C为弧的AB的中点
∴OC⊥AB，∠OCE+∠AEC=90°
∴DF=EF
∴∠FDE=∠FED=∠AEC
∵OA=OC
∴∠OCE=∠ODC
∴∠ODC=∠CDF=90°，即OD⊥DF
∴DF和圆相切。
（2）连接OA和OC，由（1）可知，OC⊥AB
∴AH=BH
∵AC∥DF
∴∠ACD=∠CDF，EF=DF
∴∠DEF=∠CDF=∠ACD
∴AC=AE
设AE=5x，则BE=3x
∴AH=4x，BE=x，AC=AE=5X
∴由勾股定理得，CH=3x
CE2=CH2+HE2+9x2+x2
∴CE=x
在直角三角形AOH中，由勾股定理得，AO2=AH2+OH2
即r2=（x-3r）2+（4r）2
解得，x=2
∴CE=2
14．【答案】（1）解：设抛物线解析式为：y=a（x﹣3）2+4，
将A（0，﹣5）代入求得：a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5
（2）解：抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：
令y=0，即﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，
∴B（1，0），C（5，0）．
如答图①所示，
设切点为E，连接CE，
由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，
∴ ，
即 ，
求得⊙C的半径CE= = = ；
而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞ ，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相离
（3）解：存在．理由如下：
有两种情况：
（i）如答图②所示，
点P在x轴上方．
∵A（0，﹣5），C（5，0），
∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；
∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．
过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，
OC=OF+CF=m+n=5 ①
又点P在抛物线上，
∴n=﹣m2+6m﹣5 ②
联立①②式，解得：m=2或m=5．
当m=5时，点P与点C重合，故舍去，
∴m=2，
∴n=3，
∴点P坐标为（2，3）；
（ii）如答图③所示，
点P在x轴下方．
∵A（0，﹣5），C（5，0），
∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；
过点P作PF⊥y轴于点F，
∵PA⊥AC，
∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=﹣n=OA+AF=5+m，
∴m+n=﹣5 ①
又点P在抛物线上，
∴n=﹣m2+6m﹣5 ②
联立①②式，解得：m=0或m=7．
当m=0时，点P与原点重合，故舍去，
∴m=7，
∴n=﹣12，
∴点P坐标为（7，﹣12）．
综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，﹣12）．
15．【答案】（1）解：因为AD∥BC，
所以，只要QC=PD，则四边形PQCD为平行四边形，
此时有，3t=24﹣t，
解得t=6，
所以t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形．
又由题意得，只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点，
则由等腰梯形的性质可知，EF=PD，QE=FC=2，
所以3t﹣（24﹣t）=4，
解得t=7秒所以当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形
（2）解：设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC于点H，
则PH=AB=8，BH=AP，
可得HQ=26﹣3t﹣t=26﹣4t，
由切线长定理得，AP=PG，QG=BQ，
则PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26﹣3t=26﹣2t
由勾股定理得：PQ2=PH2+HQ2，即 （26﹣2t）2=82+（26﹣4t）2
化简整理得 3t2﹣26t+16=0，
解得t1= 或 t2=8，
所以，当t1= 或 t2=8时直线PQ与⊙O相切．
因为t=0秒时，直线PQ与⊙O相交，
当t= 秒时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D点，但也停止运动，直线PQ也与⊙O相交，
所以可得以下结论：
当t1= 或 t2=8秒时，直线PQ与⊙O相切；
当0≤t＜ 或8＜t≤ （单位秒）时，直线PQ与⊙O相交；
当 ＜t＜8时，直线PQ与⊙O相离．
16．【答案】（1）P1
（2）解：如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置，
当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y=x+b上存在⊙O的近距点，
设直线l与圆切于点A，则△OAB为等腰直角三角形，则OB= OA=2 =b，
同理当直线l处于l′的位置时，b=-2 ，
故b的取值范围为-2 ≤b≤2 ；
（3）解：如图2，作半径为2的同心圆O，与直线y=x+1交于点B、C，
设直线y=x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意，
设点B的坐标为（x，x+1），
过点B作BH⊥y轴于点H，连接OB、OC，
在Rt△OBH中，OB2=BH2+OH2，即（x+1）2+x2=22，解得x= （舍去负值），
故 =xB，
同理可得，xC=- ，
故0＜xP≤ 或- ≤xP＜-1．

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