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第19章四边形 同步练习 沪科版数学八年级下册
一、单选题
1．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240° B．360° C．540° D．720°
3．将一个n边形变成边形，外角和将（ ）
A．增加 B．减少 C．增加 D．不变
4．已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
5．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
6．如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）
A．24 B．22 C．20 D．18
9．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
10．如图，在四边形ABCD中，，且AD＝DC，则下列说法：①四边形ABCD是平行四边形；②AB＝BC；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．
12．已知是等腰三角形，是边上的高，且，那么此三角形的顶角的度数为______．
13．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．
14．如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）
15．如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________．
三、解答题
16．综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．
17．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
18．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
(1)BP＝ 　 　cm；BQ＝ 　 　cm；（用t的代数式表示）
(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
参考答案：
1．C
【分析】根据，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数,从而求解．
【详解】解：如图：
三个大小相同的正方形，
∵，，
又∵，
∴，即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键．
2．B
【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．
【详解】解：如图，、与分别相交于点、，
在四边形中，，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角与内角、三角形的外角性质，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理．
3．D
【分析】根据多边形的外角和是360°求解判断即可．
【详解】解：∵多边形的外角和是360°，
∴将一个n边形变成（n+2）边形，外角和将不变，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和是360°是解题的关键．
4．C
【分析】首先设多边形的每一个外角为x°，则内角为（4x+30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x+4x+30=180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数．
【详解】解：设外角为x°，
由题意得：x+4x+30=180，
解得：x=30，
360°÷30°=12，
∴这个多边形是十二边形．
故选：C
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解题的关键是内角与相邻的外角是互补关系，构建方程求解．
5．C
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【详解】解：A、等边三角形每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
B、正方形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
C、正五边形的每个内角的度数为，，故该项符合题意；
D、正六边形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．
6．A
【分析】先求出∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，然后证明△ABE≌△CBE得到∠BEA=∠BEC=56°，则∠BAE=104°，∠DAE=36°，证明∠EFA=∠EAF=36°，则由三角形外角的性质可得∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=40°，
∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，，
∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BEA=∠BEC=56°，
∴∠BAE=104°，
∴∠DAE=36°，
∵AE=FE，
∴∠EFA=∠EAF=36°，
∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABE≌△CBE是解题的关键．
7．A
【分析】13和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长8，即可利用勾股定理得出EF2的长．
【详解】解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-AE，
∵，，
∴小正方形的边长=13-5=8，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
8．B
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【详解】∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．
9．D
【分析】根据三角形中位线定理得到，EH=BD，EF=AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，EH=BD， EF=AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
10．D
【分析】由，可知四边形ABCD是平行四边形，可判断①的正误；由AD＝DC，可知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可判断②③④⑤的正误．
【详解】解：∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
∵AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确；
∵AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积＝，故⑤正确；
∴正确的个数有5个，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质．解题的关键在于证明四边形ABCD是菱形．
11．2
【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD PD＝6 x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：连接AP，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD PD＝6 x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6 x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
12．或者
【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，根据等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图1，取的中点，连接，
，，
，
，是的中点，
，
是等边三角形，
，
；
如图2，是等腰三角形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论并画出图形是解题的关键．
13．
【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．
【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得，
∵AE=BE，
∴，
在Rt△AOB中，
即菱形的边长为，
∵点F为的中点，点O为DB中点，
∴ ．
故答案为
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．
14．AB=BE（答案不唯一）
【分析】由题目提供的条件可以得到四边形是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可．
【详解】解：添加AB=BE，
∵将沿着方向平移得到，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形是菱形，
故答案为：AB=BE（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、平移的性质，证明四边形ABED是平行四边形是解题的关键．
15．或
【分析】过点作于点，根据题意可得四边形是平行四边形，证明，等面积法求得，勾股定理求得，可得的长，进而即可求解．
【详解】①如图，过点作于点，
，
四边形是平行四边形
折叠
即
，
四边形是矩形
中，
，
中，
②如图，当时，
同理可得，
，
，
中，
故答案为：或
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键．
16．(1)答案见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP（SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；
（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案．
【详解】（1）解：AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（2）解：在AB上取AF＝EC，连接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°；
（3）解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)AF=BC，理由见解析
【分析】（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为△ABC的中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，此题可证；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF=BC时，平行四边形ADFE为矩形．
【详解】（1）证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴线段DF与EF也为△ABC的中位线，
∴DFAC，EFAB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
（2）解：当AF=BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：
∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC，
由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若ADFE为矩形，则AF=DE，
∴当AF=BC时，四边形ADFE为矩形．
【点睛】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识．
18．（1）见解析；（2）52
【分析】（1）先证明，得到四边形为平行四边形，再根据菱形定义证明即可；
（2）先根据菱形性质求出OB、OM、再根据勾股定理求出BM，问题的得解．
【详解】（1）∵，∴．
∵是对角线的垂直平分线，
∴，．
在和中，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）∵四边形为菱形，，．
∴，，．
在中，．
∴菱形的周长．
【点睛】本题考查了菱形判定与性质定理，熟知菱形判定方法和性质定理是解题关键．
19．(1)（12﹣2t）；4t
(2)t＝2或4
【分析】（1）根据速度×时间=路程，列出代数式即可；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm．
故答案是：（12﹣2t）；4t．
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC，
∴AB∥DH，
又∵D是AC的中点，
∴BH=BC＝12cm，DH是△ABC的中位线，
∴DHAB＝6cm，
根据题意，得（12﹣2t）（24﹣4t）×62t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4，
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．

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