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人教B版（2019）选择性必修第三册《6.3 利用导数解决实际问题》提升训练
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）已知，则下列不等式正确的是
A. B.
C. D.
2.（5分）设，，，则有
A. B. C. D.
3.（5分）在中，，，
A. B. 或 C. D. 或
4.（5分）若，则

A. B.
C. D.
5.（5分）若直角三角形的面积为18，则两条直角边的和的最小值是（）
A. B. 6 C. D. 12
6.（5分）已知数列满足，且，那等于
A. B. C. D.
7.（5分）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为
A. B. C. D.
8.（5分）在中，，则一定是
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
9.（5分）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为




A. B. C. D.
10.（5分）已知，则下列结论不正确的是
A. B.
C. D.
11.（5分）若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
12.（5分）已知数列的前项和为，满足记为数列在区间内项的个数，则数列的前项的和为
A. B. C. D.
13.（5分）已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则的值为
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若实数，满足不等式组，则取值范围是______．
15.（5分）如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为______．
16.（5分）若，，则______．
17.（5分）如图，在中，已知，是上一点，，，，则 ______ ．
18.（5分）对于给定的正整数，设集合，，且记为集合中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，，的面积
求角；
求周长的取值范围．
20.（12分）已知函数．
求关于的不等式的解集；
若在上恒成立，求的取值范围．
21.（12分）已知等比数列的前项和为，满足，．
求的通项公式；
记，数列的前项和为，求证：．
22.（12分）已知等比数列的前项和为，满足，，数列满足，，且
求数列、的通项公式；
设，为的前项和，求
23.（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额最大供应量如表所示：
资源消耗量产品 甲产品每吨 乙产品每吨 资源限额每天
煤
电力
劳动力个
利润万元
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：因为，取，，则，，
，，故排除，；
取，，则，，故排除；
因此满足条件时排除法可知：、、选项错误．
故选：．
利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项．
比较大小通常采用作差法，此题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属基础题．
2.【答案】D;
【解析】解：，
，
，
正弦函数在是单调递增的，．
又在内，正切线大于正弦线，．
故选：．
由两角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根据正弦函数的单调性和三角函数线的知识比较大小．
这道题主要考查了两角差的正弦公式，二倍角的正切公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的单调性和三角函数线的知识应用，属于基础题．
3.【答案】D;
【解析】解：在中，根据大边对大角可得，
由正弦定理可得，
所以，
故或，
故选：
根据大边对大角可得，再由正弦定理可得，求出，可得角的值．
此题主要考查正弦定理的应用，以及三角形中大边对大角，求出，是解答该题的关键．
4.【答案】D;
【解析】
此题主要考查等比数列的定义，通项公式，和前项和公式和基本运算.

接：数列，是一个首项为，公比为的等比数列，设是第项，则，所以，则，所以是等比数列的前项的和，于是
故选
5.【答案】D;
【解析】略
6.【答案】D;
【解析】解：根据题意，数列满足，
则数列为公差的等差数列，
又由，那；
故选：．
根据题意，分析可得数列为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式计算可得答案．
此题主要考查等差数列的定义与性质，涉及数列的递推公式的应用，关键是分析数列为等差数列．
7.【答案】D;
【解析】
此题主要考查等比数列的性质及基本不等式，根据条件求出，结合基本不等式的性质进行求解即可，

解：在等比数列中，由，得，
即，
数列为正项等比数列，
，
则，
当且仅当，即时，取等号，
即的最小值为，
故选
8.【答案】C;
【解析】解：，
，
即，
，即为钝角，则一定是钝角三角形．
故选：．
由两角差的余弦，诱导公式可判为钝角，从而得解．
该题考查三角形形状的判断，涉及两角差的余弦，诱导公式的应用，属基础题．
9.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
先根据三角形的内角和求出，再根据正弦定理求得，进而在直角三角形中根据及，进而求得

解：，
在中，根据正弦定理：，
，

故选
10.【答案】D;
【解析】解：，
，
，，，，
因此只有不正确．
故选：．
由于，可得，因此，，，，即可判断出．
该题考查了不等式的基本性质、基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．
11.【答案】B;
【解析】解：由基本不等式可得，
当且仅当，由于，，即当时，等号成立，所以，的最小值为，
所以，，即，解得，
因此，实数的取值范围为．
故选：．
将代数式和相乘，展开式后利用基本不等式求出的最小值，利用小于该最小值，可求出的取值范围．
该题考查基本不等式求最值，同时也考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题．
12.【答案】B;
【解析】解：当时，，；
当时，
①②得，
所以，
为数列在区间内项的个数，
，，
，，，
数列的前项的和为，
故选：
由数列的递推公式求得数列，再求得个项的值，再求和即可．
此题主要考查数列的通项公式，及数列求和，属于中档题．
13.【答案】D;
【解析】解：的周期为；
；
，关于点对称；
是线段的中点；



．
故选D．
可求出的周期为，从而得出，根据正弦函数的对称性可知，点为的中点，从而，并且，代入进行数量积的运算即可．
考查三角函数周期的计算公式，正弦函数的对称中心，以及向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义．
14.【答案】[，4];
【解析】解：设，则的几何意义是动点到原点距离的平方；
作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示；

由图象可知点到原点的距离最大，的最大值为；
原点到直线的距离最小，
所以的最小值为；
所以的取值范围是．
故答案为：．
根据的几何意义，作出不等式组对应的平面区域，求出的最大值和最小值即可．
此题主要考查了点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用问题，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法．
15.【答案】;
【解析】解：；
；
又；
；
，，三点共线；
；
．
故答案为：．
根据即可得出，代入即可得到，这样再根据，，三点共线即可得出，解出即可．
考查向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及三点共线的充要条件．
16.【答案】;
【解析】解：由，得，
又，
．
．
故答案为：．
由已知求得，再由求出，代入得答案．
此题主要考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切与二倍角的正切，是中档题．
17.【答案】;
【解析】
根据余弦定理弦求出的大小，利用正弦定理即可求出的长度．这道题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式．

解：，，，
由余弦定理得，
，
由正弦定理得，
即，
故答案为：

18.【答案】2017×22 018+1;
【解析】解：对于集合，满足的集合只有个，即；
满足的集合有个，即，；
满足的集合有个，即，，，；；
满足的集合有个，所以①
②，
由①②可得
，
，
故答案为：．
由题意可得：的最大元素为时，，，，，共有个．可得，利用错位相减法即可得出．
该题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解析：由，可知，

由正弦定理得
由余弦定理得，
，
由知，
，
的周长为





，，

的周长的取值范围为;
【解析】此题主要考查正余弦定理及三角形面积公式与正弦函数、函数的图象与性质的应用，属于中档题.
利用正、余弦定理及三角形面积公式得出，求出；
利用正弦定理将的周长转化为关于的正弦函数进行求解即可.
20.【答案】解：（1）函数f（x）=ax-（a+1），
若a=0，则不等式f（x）＜0可化为-1＜0，所以x∈R．
若a≠0，则不等式f（x）＜0化为ax＜a+1，
当a＜0时，解不等式得；
当a＞0时，解不等式得；
综上，当a=0时，不等式解集为R；
当a＜0时，不等式解集为；
当a＞0时，不等式解集为．
（2）由ax-（a+1）≤-x-a，得ax≤-x+1，
因为x∈（0，+∞），所以，
所以f（x）≤-x-a在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立；
令，只需a≤g（x）min，
又因为x∈（0，+∞），
所以，当且仅当x=1时等式成立；
所以a的取值范围是（-∞，1]．;
【解析】
讨论和时，求不等式的解集即可；
由利用分离常数法得出的不等式，
构造函数利用基本不等式求函数的最值，从而得出的取值范围．
该题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．
21.【答案】解：（1）设{}的公比为q，由S4-S3=得，2-2=，
所以，所以q=2．又因为S3=2-1，
所以+2+4=8-1，所以=1．所以．
证明：（2）由（1）知，
所以，
所以
=．;
【解析】
设的公比为，由得，，从而由，求出由此的通项公式．
由，得，由．
此题主要考查数列通项公式和前项和的求解，利用裂项求和法是解决本题的关键．
22.【答案】解：（1）记等比数列{}的首项为，公比为q,
∵-=12，S4+2S2=3S3，即=2，则，解得q=2，=2，
∴=2×2n-1=2n，
∵n-（n+1）=n（n+1），n∈N*，且=1，
∴-=1，∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴=1+（n-1），解得=；
（2）∵，
∴当n=2k-1，k∈N*，===（-），
当n=2k,k∈N*，==，
∴T2n=+++...++=（1-+-+...+-）+（++...+）=（1-）+（++...+）=+（++...+），
令X=++...+①，则X=++...+②，
由①-②得X=1+++...+-=1+-=-，
∴X=-，
∴T2n=+-．;
【解析】
记等比数列的首项为，公比为，根据题意列出，的方程组，将等式变形得，可得数列是首项为，公差为的等差数列，根据等差数列和等比数列的通项公式，即可得出答案；
分类讨论当，，当，，根据分组求和法、裂项求和法、错位相减法，求解计算，即可得出答案．
此题主要考查等差数列和等比数列的定义、通项公式及考查错位相减法和裂项求和法、分组求和法，考查分类讨论思想和转化思想、考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元 ，
依题意可得约束条件：，
利润目标函数z=6x+12y ，
如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值．
解方程组 ，得M（20，24），
所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润 .;
【解析】
先设每天生产甲吨，乙吨，列出约束条件，再建立目标函数，然后求得最优解，即求得利润的最大值和最大值的状态．
这道题主要考查用简单的线性规划研究目标函数的最大和最小值，关键是通过平面区域，求得最优解．

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