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§3.1 车轮为什么做成圆形
1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径
B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C．⊙O上有两点到点P的距离最小
D．⊙O上有两点到点P的距离最大
2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（ ）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不确定
3．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（ ）
A．甲圆内 B．乙圆外 C．甲圆外，乙圆内 D．甲圆内，乙圆外
4．以已知点O为圆心作圆，可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
6．已知⊙O的半径为3．6cm，线段OA=cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．A点在圆外 B．A点在⊙O上 C．A点在⊙O内 D． 不能确定
7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外
8．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．
10．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．
11．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是 ．
13．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是 ．
14．作图说明：到已知点A的距离大于或等于1cm，且小于或等于2cm的所有点组成的图形．
15．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．
16．在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，AB=5cm，D、E分别是AB和AC的中点．以B为圆心，以BC为半径作⊙B，点A、C、D、E分别与⊙B有怎样的位置关系？
17．已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
18．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？
19．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？
20．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．
§3.2 圆的对称性（第一课时）
二、课内练习：
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 .
图中相等的劣弧有 .
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．
6． “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为多少米？
三、课后练习：
1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC＝BD
2、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离
3、已知：⊙O弦AB∥CD 求证：
4、已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB的长．
5、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF
6、已知：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证：
7、已知：AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF
求证：⑴OE＝OF ⑵ CE＝DF
8、在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D求证：AC＝DB
9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长
10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇
11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF
§3.2 圆的对称性（第二课时）
　1、判断题
　　（1）相等的圆心角所对弦相等　（　）
　　（2）相等的弦所对的弧相等　　（　）
　2、⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．
　　3、如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB长度是___________．
　　A、6 cm　　B、8 cm　　C、7 cm　　D、7.5 cm
　　三、课后练习：
1．下列命题中，正确的有（ ）
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
3．下列命题中，不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．以上都不对
4．半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）
A．R B．R C．R D．2R
5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（ ）
A．2 B． C． D．2
6．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm
7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）
A．3：2 B．：2 C．： D．5：4
8．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=（ ）
A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．0
9．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（ ）
A．4 B．8 C．24 D．16
10．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对
11．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为 ．
12．若圆的半径为2cm，圆中的一条弦长2cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为 ．
13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．
14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ．
15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．
16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．
17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ．
18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 ，弦所对的圆心角是 ．
19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF， ，AC AE．
20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．
21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．
（1）求证：AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．
22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．
23．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
24．已知一弓形的弦长为4，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．
25．如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，，O1M和O2M相等吗？为什么？
§3.2 圆的对称性（第一课时）
学习目标:
经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．
学习重点:
垂径定理及其应用．
学习难点:
垂径定理及其应用．
学习方法:
指导探索与自主探索相结合。
学习过程:
一、举例：
【例1】判断正误：
（1）直径是圆的对称轴．
（2）平分弦的直径垂直于弦．
【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．
【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．
【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．
【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．
如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？
如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？
如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？
二、课内练习：
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 .
图中相等的劣弧有 .
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．
6． “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为 米．
三、课后练习：
1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC＝BD
2、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离
3、已知：⊙O弦AB∥CD 求证：
4、已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB的长．
5、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF
6、已知：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证，
7、已知：AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF求证：⑴OE＝OF ⑵ CE＝DF
8、在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D求证：AC＝DB
9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长
10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇
11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF
§3.2 圆的对称性（第二课时）
学习目标:
圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
学习重点:
圆心角、弧、弦之间关系定理．
学习难点:
“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
学习方法:
指导探索法.
学习过程:
一、例题讲解：
【例1】已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
【例2】如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？
【例3】如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件： ，使∠1=∠2．
二、课内练习：
　1、判断题
　　（1）相等的圆心角所对弦相等　（　）
　　（2）相等的弦所对的弧相等　　（　）
　2、填空题
　　⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．
　　3、选择题
　　如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB长度是___________．
　　A、6 cm　　B、8 cm　　C、7 cm　　D、7.5 cm
　　4、选择填空题
　　如图2，过⊙O内一点P引两条弦AB、CD，使AB＝CD，
　　求证：OP平分∠BPD．
　　证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．
　　
A　OM⊥PB　　B　OM⊥AB　C　ON⊥CD　D　ON⊥PD
三、课后练习：
1．下列命题中，正确的有（ ）
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
3．下列命题中，不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．以上都不对
4．半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）
A．R B．R C．R D．2R
5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（ ）
A．2 B． C． D．2
6．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm
7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）
A．3：2 B．：2 C．： D．5：4
8．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=（ ）
A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．0
9．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（ ）
A．4 B．8 C．24 D．16
10．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对
11．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为 ．
12．若圆的半径为2cm，圆中的一条弦长2cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为 ．
13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．
14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ．
15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．
16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．
17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ．
18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 ，弦所对的圆心角是 ．
19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF， ，AC AE．
20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．
21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．
（1）求证：AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．
22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．
23．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
24．已知一弓形的弦长为4，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．
25．如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，，O1M和O2M相等吗？为什么？
§3.3 圆周角和圆心角的关系（第一课时）
1、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）．
　　（A）30°　（B）150°　（C）30°或150°　（D）)60°
　　2、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12 ，则 的度数为（ ）．
　　（A）60°　（B）80°　（C）100°　（D）)120°
　　3、如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．
　　（A）3　（B）4　（C）5　（D）6
　　4、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（ ）
　　（A）70°　（B）65°　（C）60°　（D）)50°
　　5、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为________．
　　6、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．
7、已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：
§3.3 圆周角和圆心角的关系（第二课时）
【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2= ．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．
二、练习：
1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
3．下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
7．如图6，AB是⊙O的直径，=，∠A=25°，则∠BOD= ．
8．如图7，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．
9．⊙O中，若弦AB长2cm，弦心距为cm，则此弦所对的圆周角等于 ．
10．如图8，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径．
11．如图9，AB是⊙O的直径，FB交⊙O于点G，FD⊥AB，垂足为D，FD交AG于E．求证：EF·DE=AE·EG．
12．如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4，OD=3，求CD的长．
13．如图，⊙O的弦AD⊥BC，垂足为E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sinα=，cosβ=，AC=2，求（1）EC的长；（2）AD的长．
14．如图，在圆内接△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点．
（1）求证：AB2=AD·AE；
（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
15．如图，已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是的中点，四边形ABCD对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的条件下，求弦AB的长
．证明（1）：BC是直径，D是弧AC的中点
故∠BAE=∠BDC=90，∠ABE=∠DBC=1/2∠ABC
故△ABE∽△DBC
(2)BC=5/2，CD=√5/2
故BD=√5
∠AEB=∠CED，∠BAE=∠BDC=90
故△ABE∽△CED∽△DBC
从而CE/BC=CD/BD
CE=5/4
sin∠AEB=sin∠CED=CD/CE=（√5/2）/（5/4）=2√5/5
(3)CD=√5/2,CE=5/4
DE=√5/4,BD=√5
BE=BD-DE=√5-√5/4=3√5/4
sin∠AEB=AB/BE=AB/(3√5/4)=2√5/5
AB=3/2
16．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．
解：连BE
因为BC是直径 所以∠BEC=90°，
在直角三角形ABE中，AE=2,AB=8,
由勾股定理，得BE2=AB2-AE2=64-4=60,
解得BE=2√15，
设BF=5x,则FC=X,BC=6X
由射影定理，得， BE2=BF*BC, 即60=5x*6x 解得x=√2, 所以BC=6√2,
在直角三角形BEC中，由勾股定理，得， EC2=BC2-BE2=(6√2)22-60=12
解得EC=2√3
§3.3 圆周角和圆心角的关系（第一课时）
学习目标:
　　（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
　　（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；
　　（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．
学习重点:
圆周角的概念和圆周角定理
学习难点:
圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．
学习方法:
指导探索法.
学习过程:
一、举例：
1、已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数．
2、如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC
3、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
4、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
5、已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度数．
6、如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是 ．
7、如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？
8、已知等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过O2，点C是上任一点（不与A、O2、B重合），连接BC并延长交⊙O2于D，连接AC、AD．求证： ．
（1）操作测量：图a）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图（a）补充完整，并观察和度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？
（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图（a）中进行证明）
（3）如图b），若C点是的中点，AC与O1O2相交于E点，连接O1C，O2C．求证：CE2=O1O2·EO2．
二、课外练习：
1、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）．
　　（A）30°　（B）150°　（C）30°或150°　（D）)60°
　　2、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12 ，则 的度数为（ ）．
　　（A）60°　（B）80°　（C）100°　（D）)120°
　　3、如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．
　　（A）3　（B）4　（C）5　（D）6
　　4、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（ ）
　　（A）70°　（B）65°　（C）60°　（D）)50°
　　5、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为__________．
　　6、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．
7、已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：
§3.3 圆周角和圆心角的关系（第二课时）
学习目标:
　　掌握圆周角定理几个推论的内容,会熟练运用推论解决问题.
学习重点:
圆周角定理几个推论的应用.
学习难点:
理解几个推论的”题设”和”结论”．
学习方法:
指导探索法.
学习过程:
一、举例：
【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？
【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长．
【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2= ．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．
二、练习：
1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
3．下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
7．如图6，AB是⊙O的直径，=，∠A=25°，则∠BOD= ．
8．如图7，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．
9．⊙O中，若弦AB长2cm，弦心距为cm，则此弦所对的圆周角等于 ．
10．如图8，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径．
11．如图9，AB是⊙O的直径，FB交⊙O于点G，FD⊥AB，垂足为D，FD交AG于E．求证：EF·DE=AE·EG．
12．如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4，OD=3，求CD的长．
13．如图，⊙O的弦AD⊥BC，垂足为E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sinα=，cosβ=，AC=2，求（1）EC的长；（2）AD的长．
14．如图，在圆内接△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点．
（1）求证：AB2=AD·AE；
（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
15．如图，已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是的中点，四边形ABCD对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的条件下，求弦AB的长．
16．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．
§3.6 圆和圆的位置关系
二、课内练习：
1．已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有 个．
2．三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为 ．
3．两圆的圆心坐标分别是（，0）和（0，1），它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
三、课后练习：
1．以平面直角坐标系中的两点O1（0，3）和O2（4，0）为圆心，以8和3为半径的两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相离 D．相交
2．两圆半径之比为3：2，当此两圆外切时，圆心距是10cm，那么，当此两圆内切时，其圆心距为（ ）
A．大于2cm且小于6cm B．小于2cm
C．等于2cm D．非以上取值范围
3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为6和3，O1、O2的坐标分别是（5，0）和（0，6），则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
4．R、r是两圆的半径（R＞r），d是两圆的圆心距，若方程x2－2Rx＋r2=d（2r－d）有等根，则以R、r为半径的两圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．外离 D．相交
5．已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）
A．0＜d＜3r B．r＜d＜3r C．r＜d＜2r D．r≤d≤3r
6．下列说法正确的是（ ）
A．没有公共点的两圆叫两圆外离 B．相切两圆的圆心距必须经过切点
C．相交两圆的交点关于连心线对称
D．若⊙O1、⊙O2的半径为R、r，圆心距为d，当两圆同心时，R－r＞d
7．已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过O2，则四边形O1AO2B是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
8．半径分别为1、2、3的三圆两两外切，则以这三个圆的圆心为顶点的三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
9．半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切且半径为3cm的圆的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．两圆的半径分别是方程x2－12x＋27=0的两个根，圆心距为9，则两圆的位置关系一定是 ．
11．已知两圆外离，圆心距等于12，大圆的半径是7，那么小圆的半径所可能取的整数值是 ．
12．已知两圆半径的比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4cm，那么当此两圆外切时，圆心距应为 ．
13．平面上两圆的位置关系可以归纳为三类，即 、 和 ．
14．已知两圆直径为3＋r，3－r，若它们圆心距为r，则两圆的位置关系是 ．
15．两个半径分别为6cm的圆，它们的圆心分别在另一个圆上，则其公弦的长是 ．
16．已知⊙O1和⊙O2相内切，且⊙O1的半径6，两圆的圆心距为3，则⊙O2的半径为 ．
17．两圆的半径之比是5：3，外切时圆心距是32，那么当这两个圆内切时，圆心距为 ．
18．在直角坐标系中，分别以点A（0，3）与点B（4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A和⊙B，则这两个圆的位置关系为 ．
【例1】 已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10cm，其中⊙A的半径为4cm，求⊙B的半径．
【例2】 定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是1cm．当两圆相切时，点P与点O的距离是多少？点P可以在什么样的线上移动？
【例3】 已知两个圆互相内切，圆心距是2cm，如果一个圆的半径是3cm，那么另一个圆的半径是多少？
【例4】 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
【例5】 如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1m的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是 ．
3.1车轮为什么做成圆形3.3圆的对称性圆周角和圆心角的关系3.3确定圆的条件
※学习目标：1．认识圆的轴对称性和中心对称性．2．探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等关系定理，探索并理解圆周角和圆心角关系定理．3．探索并了解点与圆的位置关系．
※知识要点：
1．圆的有关概念：
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．
（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．
（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
2．圆的有关性质：
（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．
(4) 圆心角与圆周角的关系．
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．
3．三角形的内心和外心
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
※例题精解：
【例1】（06扬州中考）如图（1），已知AB是⊙O的直径，弦BC=9，连结AC，D是圆周上一点，连结DB、DC，且，求⊙O的直径AB的长。
【例2】（07沈阳中考）如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．

【例3】（07河池中考）如图3，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点．
（1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；
（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
（3）如图4，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．
《精练》
※基础达标
1．（06漳州中考）如图，已知中，是直径，是弦，，垂足为，
由这些条件可推出结论　　　　　　　　　（不添加辅助线，只写出1个结论）．
2．（06福州中考）如图2, AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是
A.CM=DM B. C.AD=2BD D.∠BCD=∠BDC
3．（07巴中中考）如图3，是的外接圆，已知，则的大小为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．（07金华中考）如图，点都在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（07南宁中考）如图5，是圆的两条弦，是圆的一条直径，
且平分，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（07福州中考）如图6，中，弦的长为cm，圆心到的距离为4cm，则的半径长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．（07宜宾中考）已知：如图7，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
8．（07宾州中考如图8，是的直径，是上的一点，若，，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（07烟台中考）如图，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么等于（ ） A．sinα B．COSα C．tanα D．
10．（07重庆中考）如图10，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（ ） A.80° B. 50° C. 40° D. 20°
11．（07天津中考）已知，如图与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（ ）
A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°
12．（07陇南中考）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，AC是弦， AC=，∠AOC= （ ） A．120° B．1300 C．140° D．150°
13．（07聊城中考）如图，内接于，，，则的半径为（　　） A． B． C． D．
14．（07南通中考）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是（ ）．
A、cm B、cm C、cm D、cm
15．（06漳州中考）已知内接于，于，如果，那么的度数为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．或
16．（07鄂尔多斯中考）下列说法正确的有（ ）
（1）如图3（a），可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径；
（2）如图3（b），可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形；
（3）如图3（c），两次使用丁字尺（所在直线垂直平分线段）可以找到圆形工件的圆心；
（4）如图3（d），测倾器零刻度线和铅垂线的夹角，就是从点看点时仰角的度数．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
※能力提高
17．（07无锡中考）如图，是的弦，于，若，，则的半径长为 ．

18．（07云南中考）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB垂直弦CD于点E，则在不添加辅助线的情况下，图中与∠CDB相等的角是 （写出一个即可）．
19．（07东营中考）如图19，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则BC等于 ．
20．（07威海中考）如图，是的直径，点都在上，若，则 o．
21．（07淮安中考）如图21，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BDC＝45°，∠BED＝95°，则∠C的度数为______。
22．（07南昌如图，是的直径，点是圆上两点，，则
度．
23．（07山东中考）如图23，ΔABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC,BD为⊙O的直径，AD=6，则BC等于_______________。
24．（07佛山中考）如图，内接于是的直径，，则 度．
25．（07成都中考）如图，已知是的直径，弦，，，那么的值是 ．
26．（07重庆中考）已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE＝BC。其中正确结论的序号是 。
27．（07江西中考）如图，点是上两点，，点是上的动点（与不重合），连结，过点分别作于，于，则 ．
※探究创新
28．（07佛山中考）．如图，是的外接圆，且，求的半径．
29．（07枣庄中考） 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1)请写出五个不同类型的正确结论；
(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．
30．（06漳州中考）如图，已知是的直径，是弦，过点作于，连结．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
§3.5 直线和圆的位置关系（第一课时）
【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？（1）r=2cm；（2）r=2．4cm（3）r=3cm．
【例2】已知：如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度数．
解：连接IE、IF．
∵△ABC与⊙I切于E、F，∴IE⊥AC，IF⊥AB．
∴∠IEA=∠IFA=90°．∴∠A＋∠FIE=360°－90°－90°=180°．
∵∠FDE=∠FIE，∴2∠FDE＋∠A=180°．
∴∠A=180°－70°×2=40°．
点拨：作出过切点的半径很重要，连接圆心和切点是最常用的辅助
二、练习：
1．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．到圆心距离大于半径的直线 D．到圆心的距离小于半径的直线
2．⊙O的半径为R，直线ι和⊙O有公共点，若圆心到直线ι的距离是d，则d与R的大小关系是（ ）
A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R
3．当直线和圆有惟一公共点时，直线和圆的位置关系是 ，圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系为 ．
4．已知⊙O的直径为6，P为直线ι上一点，OP=3，那么直线与⊙O的位置关系
5．已知圆的直径为13cm，圆心到直线ι的距离为6cm，那么直线ι和这个圆的公共点的个数是 ．
三、练习：
1．圆的一条弦与直径相交成300角，且分直径长1cm和5cm两段，则这条弦的弦心距为_______ ，弦长_______ 。
2．如图1，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的切线，C为弧AB上任一点，∠ACB=1080，∠BAD=__________。
3．如图2，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若BC= 6，EB=8，则EA= 。
4．如图3，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，BC=3，E，D分别是AB，BC的中点，过E，D作⊙O，且与AB相切于E，那么⊙O的半径OE的长为 。
5．如图4，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA＝2，且AD+OC=6，则CD=______________。
6．如图5，PT是⊙O的切线，切点是T，M是⊙O内一点，PM及PM的延长线交⊙O于B，C，BM=BP＝2，PT＝，OM=3，那么⊙O的半径为__________。
7．如图6，△ABC的三边AB、BC、CA分别切⊙O于D、E、F，AB=7，AC=5，AD=2，则BC=_______。
8．如图7，AB、CD是两条互相垂直的直径，E是OD中点，延长AE交圆于F，AO=4厘米，则EF=_______厘米。
图5 图6 图7
9．如果圆心O到直线l的距离等于半径R，则直线l与圆的位置关系是（ ）
（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）相切或相交
10．如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么
∠DOC的度数为（ ）
A、700 B、900 C、600 D、450
11．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，∠ACP=300，OC=1cm，则PA的长为（ ）
（A）cm （B）cm （C）2cm （D）3cm
12．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC＝8，那么PA的长为（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）
13．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝1000，则∠ACB的度数为（ ）
（A） 2000 （B） 1000 （C）600 （D） 500
14．已知：如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，D是⊙O上一点，∠D=400，则∠A的度数等于 （ ）
（A）1400 （B）1200 （C） 1000 （D） 800
15．如图，直线MN切⊙O于A，AB是⊙O的弦，∠MAB的平分线交⊙O于C，连结CB并延长交MN于N，如果AN=6，NB=4，那么弦AB的长是 （ ）
（A） （B）3 （C） 5 （D）
16．⊙O是△ABC的内切圆，∠ACB=900，∠BOC=1050，BC=20cm，则AC=（ ）
（A） 20cm (B) 20 (C)40cm (D) 15cm
三、如图，已知：P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C，D，且AB是⊙O的直径，弧AC=弧DC，连结BD，AC，OC。
（1）求证：OC∥BD；
（2）如果PA=AO＝4，延长AC与BD的延长线交于E，求DE的长。
§3.5 直线和圆的位置关系（第二课时）
【例1】 如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．
证明：连接OD．
∵AD∥OC，∴∠COB=∠A，∠COD=∠ODA．
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∴∠COD=∠COB．
∵OC=OC，OD=OB，∴△OCD≌△OCB．∴∠ODC=∠B．
∵BC是⊙O的切线，AB为直径，∴∠B=90°．
∴∠ODC=90°．∴CD为⊙O的切线．
点拨：连结CD构造切线的判定定理的基本图形．
【例2】 已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．
证明：连接OE，作OF⊥CD于F．
∵AB切小圆于E，∴OE⊥AB．
∵O F⊥CD，AB=CD，∴OE=OF．∴CD是小圆O的切线．
点拨：证切线的两种方法是：①作半径，证垂直；②作垂直，证半径．本题属于②，前一个例题属于①．
【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？
（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时？⊙C与AB相切？
解：（1）过C点作CH⊥AB于H，则由面积公式，得AB·CH=AC·BC．
∴CH===．∴圆心O到AB的距离d=．
∵d=＞3，∴AB与⊙O相离．
（2）如图3-5-12，过点O作OE⊥AB于E，则OE=3．
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC．∴．
∴OA===．
∴OC=AC－OA=5－=．当OC=时，⊙O与AB相切．
点拨：学会用运动的观点分析问题，并解决问题．
【例4】 如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？
解：过E作EF⊥CD于F．
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠A=∠B=90°，
∴AE=EF=BE=AB．
∴以AB为直径的圆的圆心为E．
∵EF为点E到CD的距离，且EF=AB，∴以AB为直径的圆与CD边相切．
点拨：在证明线与圆的位置关系时，通常是过圆心向直线作垂线段，再比较垂线段与半径的大小即可
【例6】 设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2x＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．
思维入门指导：据题意知，应首先求出判别式△，然后讨论d与R的关系，从而确定ι与⊙O的位置关系．
解：△=（－2）2－4R=4d－4R，∴当△＞0，即4d－4R＞0，得d＞R时，ι与⊙O相离；
当△=0，即4d－4R=0，得d=R时，ι与⊙O相切；
当△＞0，即4d－4R＜0，得d＜R时，ι与⊙O相交．
点拨：（1）形数的等阶转换是确定直线与圆位置关系的重要方法；（2）一元二次方程根的情况和直线与圆的位置关系的综合是一个创新．
【例7】 如图3-5-15，AB是⊙O直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：DE是圆O的切线。（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，DE是圆O的切线吗？。
二、练习：
1．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（ ）
A．8 B．4 C．9．6 D．4．8
3．⊙O内最长弦长为m，直线ι与⊙O相离，设点O到ι的距离为d，则d与m的关系是（ ）
A．d=m B．d＞m C．d＞ D．d＜
4．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
6．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为6，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
7．下列四边形中一定有内切圆的是（ ）
A．直角梯形 B．等腰梯形 C．矩形 D．菱形
8．已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是△DEF的（ ）
A．三条中线交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线交点 D．三条边的垂直平分线的交点
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是多少？
解：分两种情况：（1）以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB相切，过点C作CD⊥AB于D，则CD=R．
由三角形的面积公式得AC·BC=R·AB．
∴R====2．4．
（2）以点C为圆心，R为半径的圆与斜边AB相交于一点，那么应满足AC＜R≤BC，即3＜R≤4．
∴R的取值范围是R=2．4或3＜R≤4．
12．如图，直线ι1、ι2、ι3表示相互交叉的公路．现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
可供选择的地址有四处，如答图3-5-2．
点拨：点O1、O2、O3、O4分别为中转站地址，不要漏掉O2、O3、O4三处，该三处也符合建站要求．
14、如图3-5-25，等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是的中点．
（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；
（2）设直线CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△BDE的面积．

证明：（1）如答图3-5-4，过点C作⊙O的切线CF与直线AB不相交，连接CO并延长交AB于M．∵⊙O是等边三角形的外接圆，∴CM⊥AB．
∵CF是⊙O的切线，∴CM⊥CF．∴CF∥AB．∴CF与直线AB不相交．
（2）如答图3-5-5，连接BO并延长交AC于N．
∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，度数为120°．
∵P为中点，∴度数为60°．∴∠BCP度数为30°．∴∠ACD=∠ACB＋∠BCP=90°．
∴AC⊥CD．∵BE⊥CD，∴BE∥AC．
∵⊙O为等边三角形外接圆，∴BN⊥AC．∴BN⊥BE．
∴BE是⊙O切线，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=60°．
∴∠D=30°．∴∠D=∠BCP．∴BD=BC=BA．∴S△ACD=2S△ABC=2S．
∵△DBE∽△DAC，∴．∴S△BDE=S．
点拨：首先要正确的画出图形并标好相应的字母，（1）中由CF切⊙O于C，考虑连接OC，而OC又与AB垂直，则CF∥AB．

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