资源简介 高中数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设 x1、x2 [a,b], x1 x2 那么f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在[a,b]上是增函数;f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在[a,b]上是减函数.(2)设函数 y f (x)在某个区间内可导,若 f (x) 0,则 f (x) 为增函数;若 f (x) 0,则 f (x) 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的 x ,都有 f ( x) f (x) ,则 f (x) 是偶函数;对于定义域内任意的 x ,都有 f ( x) f (x),则 f (x) 是奇函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y轴对称。3、函数 y f (x)在点 x0 处的导数的几何意义函数 y f (x)在点 x0 处的导数是曲线 y f (x)在 P(x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率 f (x0 ) ,相应的切线方程是 y y 0 f (x0 )(x x0 ) .b 4ac b2 b 4ac b2 1*二次函数: (1)顶点坐标为 ( , );(2)焦点的坐标为 ( , )2a 4a 2a 4a4、几种常见函数的导数C ' n ' n 1 ' '① 0;② (x ) nx ; ③ (sin x) cos x ;④ (cos x) sin x ;x ' 1 1⑤ (a ) ax ln a x ' x;⑥ (e ) e ; ⑦ (log a x)' ;⑧ (ln x) ' x ln a x5、导数的运算法则' '' ' ' ' ' ' u ' u v uv(1) (u v) u v . (2) (uv) u v uv . (3) ( ) (v 0) .v v26、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数 y f x 的极值的方法是:解方程 f x 0.当 f x0 0 时:(1) 如果在 x0 附近的左侧 f x 0,右侧 f x 0,那么 f x0 是极大值;(2) 如果在 x 附近的左侧 f x 0,右侧 f 0 x 0,那么 f x0 是极小值.指数函数、对数函数分数指数幂m(1)a n n am ( a 0,m,n N ,且n 1).m 1 1(2)a n ( a 0,m,n N ,且n 1).m nn ama根式的性质n n(1)当n 为奇数时, a a ; a,a 0n n n当 为偶数时, a | a | . a,a 0有理指数幂的运算性质第 1 页(共 10 页)(1) ar as ar s (a 0, r, s Q) .r s rs(2) (a ) a (a 0, r, s Q) .(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q) .p注: 若 a>0,p是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用..指数式与对数式的互化式: log N b ab N (a 0,a 1, N 0) . alog N.对数的换底公式 : log N m (a a 0 ,且a 1,m 0,且m 1, N 0).logm aloga N 对数恒等式:a N (a 0 ,且a 1, N 0).n n推论 log m b log (a b a 0 ,且a 1, N 0). a m常见的函数图象y y y yyx y=log xy=a ak<0 k>0 a<0 2 1y=x+ 0xo x o x -1 o x 0a>11 o xa>0 1 1-2y=kx+b a>1y=ax2+bx+c o x二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量8、同角三角函数的基本关系式sin2sin cos2 1, tan = .cos 9、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)k 的正弦、余弦,等于 的同名函数,前面加上把 看成锐角时该函数的符号; k 的正弦、余弦,等于 的余名函数,前面加上把 看成锐角时该函数的符号。2 1 sin 2k sin , cos 2k cos , tan 2k tan k . 2 sin sin , cos cos , tan tan . 3 sin sin , cos cos , tan tan . 4 sin sin , cos cos , tan tan .口诀:函数名称不变,符号看象限. 5 sin cos , cos sin . 6 sin cos , cos sin . 2 2 2 2 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.10、和角与差角公式sin( ) sin cos cos sin ;cos( ) cos cos sin sin ;第 2 页(共 10 页)tan tan tan( ) .1 tan tan 11、二倍角公式sin 2 sin cos .cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .2 tan tan 2 .1 tan2 2 2 1 cos 2 2cos 1 cos 2 , cos ;2公式变形:1 cos 2 2sin 2 1 cos 2 ,sin 2 ;212、 函数 y sin( x )的图象变换①的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度,得到函数 y sin x 的图象;再将函数 y sin x 1的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 y sin x 的图象; 再将函数 y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变),得到函数y sin x 的图象.1②数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 y sin x 的图象;再将函数 y sin x 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度,得到函数 y sin x 的图象;再将函数 y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变),得到函数 y sin x 的图象.13. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:函性 数 y sin x y cos x y tan x质图象 定义域 R R x x k ,k 2 值域 1,1 1,1 R 最值 当 x 2k k 当 x 2k k 时, 既无最大值也无最小值2第 3 页(共 10 页)时 , ymax 1 ; 当 ymax 1;当 x 2k x 2k k 时, ymin 1.2 k 时, ymin 1.周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 在 2k , 2k 2 2 在 2k , 2k k 上是增 k 上是增函数;在 在 k ,k 2 2单调性 函数;在 2k , 2k 3 2k , 2k k 上是增函数. 2 2 k 上是减函数. k 上是减函数.对称中心 k ,0 k 对称中心 k ,0 k k 2 对称中心 ,0 k 对称性 2对称轴 x k k 2对称轴 x k k 无对称轴14、辅助角公式by asin x bcos x a 2 b2 sin(x ) 其中 tan aa b c15.正弦定理 : 2R(R为 ABC外接圆的半径).sin A sin B sin C a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC a :b :c sin A : sin B : sinC16.余弦定理a2 b2 c2 2bccos A b2; c2 a2 2cacos B c2 2; a b2 2abcosC .17.面积定理1 1 1(1) S aha bh ch (hb c a、hb、hc 分别表示 a、b、c边上的高).2 2 21 1 1(2) S absinC bcsin A ca sin B .2 2 218、三角形内角和定理在△ABC中,有 A B C C (A B)C A B 2C 2 2(A B) .2 2 219、 a 与b 的数量积(或内积)a b | a | | b | cos 第 4 页(共 10 页)20、平面向量的坐标运算(1)设 A (x1, y1) ,B (x2 , y2 ) ,则 AB OB OA (x2 x1, y2 y . 1)(2)设 a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 ),则a b = x1x2 y1 y2 .(3)设 a = (x, y),则 a x2 y 221、两向量的夹角公式设 a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 ),且b 0,则a b x x y ycos 1 2 1 2 ( a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 ) ).| a | | b | x2 2 21 y1 x2 y2222、向量的平行与垂直设 a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 ),且b 0a // b b a x1 y2 x2 y1 0 .a b(a 0) a b 0 x1 x2 y1y2 0 .*平面向量的坐标运算(1)设a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 ),则a +b = (x1 x2 , y1 y2 ) .(2)设a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 ),则a -b = (x1 x2 , y1 y2 ) .(3)设 A (x1, y1) ,B (x2 , y2 ) ,则 AB OB OA (x2 x1, y2 y1) .(4)设a = (x, y), R ,则 a = ( x, y) .(5)设a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 ),则a·b = x1x2 y1y2 .三、数列23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系 s1, n 1an ( 数列{an}的前 n项的和为 sn a1 a2 an ). sn sn 1,n 224、等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dn a1 d(n N*) ;25、等差数列其前 n项和公式为n(as 1 an ) n(n 1) d 1n na21 d n (a1 d )n .2 2 2 226、等比数列的通项公式aan a1qn 1 1 qn (n N *) ;q27、等比数列前 n项的和公式为 a n1(1 q ) a1 anq ,q 1 ,q 1sn 1 q 或 s 1 qn . na1,q 1 na1,q 1四、不等式x y28、 xy 。必须满足一正( x, y 都是正数)、二定( xy是定值或者 x y是定值)、三相等( x y2第 5 页(共 10 页)时等号成立)才可以使用该不等式)(1)若积 xy是定值 p ,则当 x y 时和 x y有最小值2 p ;1 2(2)若和 x y是定值 s ,则当 x y 时积 xy有最大值 s .4五、解析几何29、直线的五种方程(1)点斜式 y y1 k(x x1) (直线 l 过点P1(x1, y1),且斜率为 k ).(2)斜截式 y kx b (b为直线 l 在 y轴上的截距).y y x x(3)两点式 1 1 ( y1 y2 )(P1(x1, y1)、 P2 (x2 , y2 ) ( x1 x2 )).y2 y1 x2 x1x y(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b 0 )a b(5)一般式 Ax By C 0 (其中 A、B 不同时为 0).30、两条直线的平行和垂直若 l1 : y k1x b1 , l2 : y k2x b2① l1 || l2 k1 k2 ,b1 b2 ;② l1 l2 k . 1k2 131、平面两点间的距离公式d (x2 x1)2 (y2 y1)2(A (x1, y1) ,B (xA,B 2 , y2 ) ).32、点到直线的距离| Ax By C |d 0 0 (点P(x0 , y0 ) ,直线 l : Ax By C 0 ).A2 B233、 圆的三种方程(1)圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r 2 .2 2 2 2(2)圆的一般方程 x y Dx Ey F 0 (D E 4F >0). x a r cos (3)圆的参数方程 . y b r sin P(x , y ) (x a)2 (y b)2 r 2* 点与圆的位置关系:点 0 0 与圆 的位置关系有三种若 d (a x )20 (b y20 ) ,则d r 点P 在圆外;d r 点 P 在圆上;d r 点P 在圆内.34、直线与圆的位置关系2 2 2直线 Ax By C 0与圆 (x a) (y b) r 的位置关系有三种:d r 相离 0;d r 相切 0 ;d r 相交 0 2 2. 弦长=2 r dAa Bb C其中d .A2 B 235、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质x2 y2 c b2 x acos 2 2 2椭圆: 1(a b 0) ,a c b ,离心率e 1 <1,参数方程是 .a2 b2 a a2 y bsin x 2 y 2 c b双曲线: 1 2 2 2(a>0,b>0),c a b ,离心率e 1,渐近线方程是 y x .a 2 b 2 a a第 6 页(共 10 页)2 p p抛物线: y 2 px ,焦点 ( ,0) ,准线 x 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.2 236、双曲线的方程与渐近线方程的关系x 2 y 2 x2 y2 b(1)若双曲线方程为 1 渐近线方程: 0 .2 2 a2 2y xa b b ax y x 2 y 2b(2)若渐近线方程为 y x 0 双曲线可设为 .a a b a2 b2x 2 y 2 x 2 y 2(3)若双曲线与 1有公共渐近线,可设为 ( 0,焦点在 x 轴上, 0,a 2 b 2 a 2 b2焦点在 y 轴上).237、抛物线 y 2 px 的焦半径公式2 p抛物线 y 2 px( p 0)焦半径 | PF | x0 .(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。)2p p38、过抛物线焦点的弦长 AB x1 x2 x1 x2 p .2 2六、立体几何39.证明直线与直线的平行的思考途径 42.证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点; (1)转化为相交垂直;(2)转化为二直线同与第三条直线平行; (2)转化为线面垂直;(3)转化为线面平行; (3)转化为线与另一线的射影垂直;(4)转化为线面垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直.(5)转化为面面平行. 43.证明直线与平面垂直的思考途径40.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(2)转化为线线平行; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(3)转化为面面平行. (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。41.证明平面与平面平行的思考途径 44.证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点; (1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面平行; (2)转化为线面垂直;(3)转化为线面垂直.45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式2圆柱侧面积= 2 rl,表面积= 2 rl 2 r2圆椎侧面积= rl ,表面积= rl r1V Sh ( S 是柱体的底面积、h是柱体的高). 柱体31V锥体 Sh ( S 是锥体的底面积、h是锥体的高).34 3球的半径是R ,则其体积V R ,其表面积 S 4 R2 .32 2 246、若点 A (x1, y1, z1) ,点 B (x2 , y2 , z2 ) ,则d = | AB | AB AB (x2 x1) (y2 y1) (z2 z1) A,B47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法)48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。第 7 页(共 10 页)七、概率统计49、平均数、方差、标准差的计算x1 x x 1平均数: x 2 n 方差: s 2 [(x x)2 (x x)2 (x x)21 2 n ]n n1s [(x x)2 (x 2标准差: 1 2 x) (xn x)2 ]n50、回归直线方程 (了解即可) n n xi x yi y xi yi nx y b i 1 i 1y a bx,其中 n n 2 .经过( x , y )点。 xi x x2 nx 2 ii 1 i 1 a y bx2 n(ac bd )251、独立性检验 K (了解即可)(a b)(c d)(a c)(b d)52、古典概型的计算(必须要用列.举.法.、列.表.法.、树.状.图.的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗漏)八、复数53、复数的除法运算a bi (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i .c di (c di)(c di) c 2 d 2254、复数 z a bi的模 | z |= | a bi |= a b2.55、复数的相等:a bi c di a c,b d .(a,b,c,d R)2 256、复数 z a bi的模(或绝对值) | z |= | a bi |= a b .57、复数的四则运算法则(1) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;(2) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;(3) (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i ;ac bd bc ad(4) (a bi) (c di) i(c di 0) .c2 d 2 c2 d 258、复数的乘法的运算律对于任何 z1, z2 , z3 C ,有交换律: z1 z2 z2 z1 .结合律: (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) .分配律: z1 (z2 z3) z1 z2 z1 z3 .九、参数方程、极坐标化成直角坐标 2 x 2 y 2 cos x 55、 y sin y tan (x 0) x十、命题、充要条件充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论)第 8 页(共 10 页)(1)充分条件:若 p q,则 p 是 q 充分条件.(2)必要条件:若q p,则 p 是q 必要条件.(3)充要条件:若 p q,且q p,则 p 是 q 充要条件.注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.56.真值表 原命题 互 逆 逆命题若p则q 互 若q则p p q 非p p或q p且q 为 否真 真 假 真 真 互 逆 互真 假 假 真 假 否 逆 否为假 真 真 真 假 否互否命题 逆否命题假 假 真 假 假若┐p则┐q 互 逆 若┐q则┐p十一、直线与平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系三个公理:(1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。(3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点:① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈ ( 0 , 2) ;③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b;④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点(3)直线在平面平行 —— 没有公共点直线、平面平行的判定及其性质第 9 页(共 10 页)直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定1、定义:如果直线 L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L与平面α互相垂直,记作 L⊥α,直线 L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P叫做垂足。2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。平面与平面垂直的判定1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第 10 页(共 10 页) 展开更多...... 收起↑ 资源预览