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高中数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设 x1、x2 [a,b], x1 x2 那么
f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在[a,b]上是增函数；
f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在[a,b]上是减函数.
(2)设函数 y f (x)在某个区间内可导，若 f (x) 0，则 f (x) 为增函数；若 f (x) 0，则 f (x) 为减
函数.
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的 x ，都有 f ( x) f (x) ，则 f (x) 是偶函数；
对于定义域内任意的 x ，都有 f ( x) f (x)，则 f (x) 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称。
3、函数 y f (x)在点 x0 处的导数的几何意义
函数 y f (x)在点 x0 处的导数是曲线 y f (x)在 P(x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率 f (x0 ) ，相应的切线方
程是 y y 0 f (x0 )(x x0 ) .
b 4ac b2 b 4ac b2 1
*二次函数： （1）顶点坐标为 ( , )；（2）焦点的坐标为 ( , )
2a 4a 2a 4a
4、几种常见函数的导数
C ' n ' n 1 ' '① 0；② (x ) nx ； ③ (sin x) cos x ；④ (cos x) sin x ；
x ' 1 1
⑤ (a ) a
x ln a x ' x；⑥ (e ) e ； ⑦ (log a x)
' ；⑧ (ln x) '
x ln a x
5、导数的运算法则
' '
' ' ' ' ' ' u ' u v uv
（1） (u v) u v . （2） (uv) u v uv . （3） ( ) (v 0) .
v v2
6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数 y f x 的极值的方法是：解方程 f x 0．当 f x0 0 时：
(1) 如果在 x0 附近的左侧 f x 0，右侧 f x 0，那么 f x0 是极大值；
(2) 如果在 x 附近的左侧 f x 0，右侧 f 0 x 0，那么 f x0 是极小值．
指数函数、对数函数
分数指数幂
m
(1)a n n am （ a 0,m,n N

，且n 1）.
m
1 1
(2)a n （ a 0,m,n N ，且n 1）.
m n
n a
m
a
根式的性质
n n
（1）当n 为奇数时， a a ；
a,a 0
n n n当 为偶数时， a | a | .
a,a 0
有理指数幂的运算性质
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(1) ar as ar s (a 0, r, s Q) .
r s rs
(2) (a ) a (a 0, r, s Q) .
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q) .
p
注： 若 a＞0，p是一个无理数，则 a 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数
指数幂都适用.
.指数式与对数式的互化式: log N b ab N (a 0,a 1, N 0) . a
log N
.对数的换底公式 : log N m (a a 0 ,且a 1,m 0,且m 1, N 0).
logm a
loga N 对数恒等式：a N (a 0 ,且a 1, N 0).
n n推论 log m b log (a b a 0 ,且a 1, N 0). a m
常见的函数图象
y y y y
y
x y=log xy=a a
k<0 k>0 a<0 2 1
y=x+ 0x
o x o x -1 o x 0a>1
1 o x
a>0 1 1-2
y=kx+b a>1
y=ax2+bx+c o x
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
sin2
sin
cos2 1， tan = .
cos
9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
k 的正弦、余弦，等于 的同名函数，前面加上把 看成锐角时该函数的符号；

k 的正弦、余弦，等于 的余名函数，前面加上把 看成锐角时该函数的符号。
2
1 sin 2k sin ， cos 2k cos ， tan 2k tan k ．
2 sin sin ， cos cos ， tan tan ．
3 sin sin ， cos cos ， tan tan ．
4 sin sin ， cos cos ， tan tan ．
口诀：函数名称不变，符号看象限．

5 sin cos ， cos sin ． 6 sin cos ， cos sin ．
2 2 2 2
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
10、和角与差角公式
sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos sin sin ;
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tan tan
tan( ) .
1 tan tan
11、二倍角公式
sin 2 sin cos .
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
2 tan
tan 2 .
1 tan2
2 2 1 cos 2 2cos 1 cos 2 , cos ;
2
公式变形：
1 cos 2
2sin 2 1 cos 2 ,sin 2 ;
2
12、 函数 y sin( x )的图象变换
①的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 y sin x 的图象；再将函数 y sin x
1
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 y sin x 的图象；

再将函数 y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数
y sin x 的图象．
1
②数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数


y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数

y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍
（横坐标不变），得到函数 y sin x 的图象．
13. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
性 数 y sin x y cos x y tan x
质
图象

定义域 R R x x k ,k
2
值域 1,1 1,1 R

最值 当 x 2k k 当 x 2k k 时， 既无最大值也无最小值
2
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时 ， ymax 1 ； 当 ymax 1；当 x 2k

x 2k k 时， ymin 1．
2
k 时， ymin 1．
周期性 2 2
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

在 2k , 2k 2 2

在 2k , 2k k 上是增

k 上是增函数；在 在 k ,k
2 2单调性 函数；在 2k , 2k
3
2k , 2k k 上是增函数．
2 2 k 上是减函数．
k 上是减函数．
对称中心 k ,0 k
对称中心 k ,0 k k
2 对称中心 ,0 k
对称性 2
对称轴 x k k
2
对称轴 x k k 无对称轴
14、辅助角公式
b
y asin x bcos x a 2 b2 sin(x ) 其中 tan
a
a b c
15.正弦定理 ： 2R（R为 ABC外接圆的半径）.
sin A sin B sin C
a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC a :b :c sin A : sin B : sinC
16.余弦定理
a2 b2 c2 2bccos A b2; c2 a2 2cacos B c2 2; a b2 2abcosC .
17.面积定理
1 1 1
（1） S aha bh ch （hb c a、hb、hc 分别表示 a、b、c边上的高）.
2 2 2
1 1 1
（2） S absinC bcsin A ca sin B .
2 2 2
18、三角形内角和定理
在△ABC中，有 A B C C (A B)
C A B
2C 2 2(A B) .
2 2 2
19、 a 与b 的数量积(或内积)
a b | a | | b | cos
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20、平面向量的坐标运算
(1)设 A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) ,则 AB OB OA (x2 x1, y2 y . 1)
(2)设 a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，则a b = x1x2 y1 y2 .
(3)设 a = (x, y)，则 a x2 y 2
21、两向量的夹角公式
设 a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，且b 0，则
a b x x y y
cos 1 2 1 2 ( a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 ) ).
| a | | b | x2 2 21 y1 x2 y
2
2
22、向量的平行与垂直
设 a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，且b 0
a // b b a x1 y2 x2 y1 0 .
a b(a 0) a b 0 x1 x2 y1y2 0 .
*平面向量的坐标运算
(1)设a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，则a +b = (x1 x2 , y1 y2 ) .
(2)设a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，则a -b = (x1 x2 , y1 y2 ) .
(3)设 A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) ,则 AB OB OA (x2 x1, y2 y1) .
(4)设a = (x, y), R ，则 a = ( x, y) .
(5)设a = (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，则a·b = x1x2 y1y2 .
三、数列
23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系
s1, n 1
an ( 数列{an}的前 n项的和为 sn a1 a2 an ).
sn sn 1,n 2
24、等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d dn a1 d(n N
*) ；
25、等差数列其前 n项和公式为
n(a
s 1
an ) n(n 1) d 1
n na
2
1 d n (a1 d )n .
2 2 2 2
26、等比数列的通项公式
a
an a1q
n 1 1 qn (n N *) ；
q
27、等比数列前 n项的和公式为
a n1(1 q ) a1 anq
,q 1 ,q 1
sn 1 q 或 s 1 qn .

na1,q 1

na1,q 1
四、不等式
x y
28、 xy 。必须满足一正（ x, y 都是正数）、二定（ xy是定值或者 x y是定值）、三相等（ x y
2
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时等号成立）才可以使用该不等式）
（1）若积 xy是定值 p ，则当 x y 时和 x y有最小值2 p ；
1 2
（2）若和 x y是定值 s ，则当 x y 时积 xy有最大值 s .
4
五、解析几何
29、直线的五种方程
（1）点斜式 y y1 k(x x1) (直线 l 过点P1(x1, y1)，且斜率为 k )．
（2）斜截式 y kx b (b为直线 l 在 y轴上的截距).
y y x x
（3）两点式 1 1 ( y1 y2 )(P1(x1, y1)、 P2 (x2 , y2 ) ( x1 x2 )).
y2 y1 x2 x1
x y
(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0 )
a b
（5）一般式 Ax By C 0 (其中 A、B 不同时为 0).
30、两条直线的平行和垂直
若 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2x b2
① l1 || l2 k1 k2 ,b1 b2 ;
② l1 l2 k . 1k2 1
31、平面两点间的距离公式
d (x2 x1)
2 (y2 y1)
2
(A (x1, y1) ，B (xA,B 2 , y2 ) ).
32、点到直线的距离
| Ax By C |
d 0 0 (点P(x0 , y0 ) ,直线 l ： Ax By C 0 ).
A2 B2
33、 圆的三种方程
（1）圆的标准方程 (x a)
2 (y b)2 r 2 .
2 2 2 2
（2）圆的一般方程 x y Dx Ey F 0 (D E 4F ＞0).
x a r cos
（3）圆的参数方程 .
y b r sin
P(x , y ) (x a)2 (y b)2 r 2* 点与圆的位置关系：点 0 0 与圆 的位置关系有三种
若 d (a x )
2
0 (b y
2
0 ) ，则d r 点P 在圆外;d r 点 P 在圆上;d r 点P 在圆内.
34、直线与圆的位置关系
2 2 2
直线 Ax By C 0与圆 (x a) (y b) r 的位置关系有三种:
d r 相离 0;
d r 相切 0 ;
d r 相交 0 2 2. 弦长=2 r d
Aa Bb C
其中d .
A2 B 2
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
x2 y2 c b2 x acos 2 2 2
椭圆： 1(a b 0) ，a c b ，离心率e 1 <1，参数方程是 .
a2 b2 a a2 y bsin
x 2 y 2 c b
双曲线： 1 2 2 2(a>0,b>0)，c a b ，离心率e 1，渐近线方程是 y x .
a 2 b 2 a a
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2 p p
抛物线： y 2 px ，焦点 ( ,0) ,准线 x 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.
2 2
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x 2 y 2 x2 y2 b
(1）若双曲线方程为 1 渐近线方程： 0 .
2 2 a2 2
y x
a b b a
x y x 2 y 2b
(2)若渐近线方程为 y x 0 双曲线可设为 .
a a b a
2 b2
x 2 y 2 x 2 y 2
(3)若双曲线与 1有公共渐近线，可设为 （ 0，焦点在 x 轴上， 0，
a 2 b 2 a 2 b2
焦点在 y 轴上）.
2
37、抛物线 y 2 px 的焦半径公式
2 p
抛物线 y 2 px( p 0)焦半径 | PF | x0 .（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。）
2
p p
38、过抛物线焦点的弦长 AB x1 x2 x1 x2 p .
2 2
六、立体几何
39.证明直线与直线的平行的思考途径 42．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点； （1）转化为相交垂直；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为线面平行； （3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线面垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
（5）转化为面面平行. 43．证明直线与平面垂直的思考途径
40．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（2）转化为线线平行； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（3）转化为面面平行. （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
41.证明平面与平面平行的思考途径 44．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点； （1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面平行； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为线面垂直.
45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
2
圆柱侧面积= 2 rl，表面积= 2 rl 2 r
2
圆椎侧面积= rl ，表面积= rl r
1
V Sh （ S 是柱体的底面积、h是柱体的高）. 柱体
3
1
V锥体 Sh （ S 是锥体的底面积、h是锥体的高）.
3
4 3
球的半径是R ，则其体积V R ,其表面积 S 4 R2 ．
3
2 2 2
46、若点 A (x1, y1, z1) ，点 B (x2 , y2 , z2 ) ，则d = | AB | AB AB (x2 x1) (y2 y1) (z2 z1) A,B
47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
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七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
x1 x x 1平均数: x 2 n 方差: s 2 [(x x)2 (x x)2 (x x)21 2 n ]
n n
1
s [(x x)2 (x 2标准差: 1 2 x) (xn x)
2 ]
n
50、回归直线方程 （了解即可）
n n
xi x yi y xi yi nx y
b i 1 i 1
y a bx，其中 n n 2 .经过（ x ， y ）点。 xi x x
2 nx 2
i
i 1 i 1

a y bx
2 n(ac bd )
2
51、独立性检验 K （了解即可）
(a b)(c d)(a c)(b d)
52、古典概型的计算（必须要用列．举．法．、列．表．法．、树．状．图．的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗
漏）
八、复数
53、复数的除法运算
a bi (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i
.
c di (c di)(c di) c 2 d 2
2
54、复数 z a bi的模 | z |= | a bi |= a b
2
.
55、复数的相等：a bi c di a c,b d .（a,b,c,d R）
2 2
56、复数 z a bi的模（或绝对值） | z |= | a bi |= a b .
57、复数的四则运算法则
(1) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;
(2) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;
(3) (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i ;
ac bd bc ad
(4) (a bi) (c di) i(c di 0) .
c2 d 2 c2 d 2
58、复数的乘法的运算律
对于任何 z1, z2 , z3 C ，有
交换律: z1 z2 z2 z1 .
结合律: (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) .
分配律: z1 (z2 z3) z1 z2 z1 z3 .
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
2 x 2 y 2
cos x
55、 y
sin y tan (x 0)
x
十、命题、充要条件
充要条件（记 p 表示条件， q 表示结论）
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（1）充分条件：若 p q，则 p 是 q 充分条件.
（2）必要条件：若q p，则 p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若 p q，且q p，则 p 是 q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
56.真值表 原命题 互 逆 逆命题
若p则q 互 若q则p ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 为 否
真 真 假 真 真 互 逆 互
真 假 假 真 假 否 逆 否为
假 真 真 真 假 否互
否命题 逆否命题假 假 真 假 假
若┐p则┐q 互 逆 若┐q则┐p
十一、直线与平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
三个公理：
（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直
线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈ ( 0 , 2
) ；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
直线、平面平行的判定及其性质
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直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
直线、平面垂直的判定及其性质
直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线 L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L与平面α互相垂直，记作 L⊥α，
直线 L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P叫做垂
足。
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
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