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桂林市2022-2023学年高一上学期期末质量检测
数学
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2.请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.
1.下列各式中关系符号运用正确的是
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为
A.， B.，
C.， D.，
3.一段高速公路有400个太阳能标志灯，其中进口的有40个，联合研制的有100个，国产的有260个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，则进口的标志灯抽取的数量为
A.2 B.3 C.5 D.13
4.不等式的解集为
A. B.
C. D.
5.设，则下列等式恒成立的是
A. B.
C. D.
6.幂函数的大致图象是
A. B.
C. D.
7.设，且，则的最小值为
A.10 B. C. D.18
8.甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为
A. B. C. D.
9.用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于
A.-1 B.0.25 C.0.75 D.1
10.设，，，则
A. B. C. D.
11.《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间分别为83，84，80，69，82，81，81（单位:min）.则这组时间数据的
A.极差为14 B.方差为22 C.平均数为80 D.中位数为80
12.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
13.若，则以下结论正确的是
A. B. C. D.
14.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是
A. B.
C.事件A与B互斥 D.事件A与B相互独立
15.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则
A.的最大值为1 B.在区间上单调递增
C.的解集为 D.当时，
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.
16.“”是“”的_________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”或者“充要”）.
17.函数的定义域是_________.
18._________.
19.下列事件：
①物体在重力作用下会自由下落；
②方程有两个不相等的实数根；
③下周一会下雨；
④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于30次.
其中随机事件的序号为________.
20.佩戴香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效.经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量（单位：克）与香囊功效之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为______克.
四、解答题：本题共7小题，共70分，每小题10分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.
21.已知集合，.
（1）求；
（2）求.
22.甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目标的概率分别是、、.现3人各射一次箭，求：
（1）3人都射中目标的概率；
（2）3人中恰有2人射中目标的概率.
23.已知函数.
（1）判断函数奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在上的单调性，并利用单调性定义说明理由.
24.某市为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.
组号 分组 频数 频率
1 50 0.05
2 0.35
3 300
4 200 0.20
5 100 0.10
合计 1000 1
（1）求a，b的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）；
（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到0.01）；
（3）现从第4，5组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情况，求抽取的2人中至少有1人是第5组的概率.
25.某市新建一片园区种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1日至30日开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），且游客人均消费近似地满足（元），，.
（1）求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的表达式；
（2）求该园区第几天的旅游收入最低，并求出最低收入.
26.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数在上最小值为，求实数的值；
（3）若对任意的正实数，存在，使得，求实数的最大值.
27.已知函数，是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数的图象在直线上方，求的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
桂林市2022-2023学年高一上学期期末质量检测
数学参考答案及评分标准
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数，填空题不给中间分.
一、单项选择题:本大题共12小题，每小题4分，共48分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C A B D A D B B A C A
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 13 14 15
答案 BCD AD AC
三、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
16.充分不必要 17. 18.-18 19.③④ 20.
四、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.（本题满分10分）
解：（1）.
（2）∵，
∴.
22.（本题满分10分）
解：（1）记“甲、乙、丙射一次箭能射中目标”分别为事件、、，
则，，，3人都射中目标的事件为，
其概率为.
（2）设“3人中恰有2人射中目标”为事件，
由（1）知，
因此
，
所以3人中恰有2人射中目标的概率为.
23.（本题满分10分）
解：（1）函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
.
所以，为奇函数.
（2）在上单调递增，理由如下：
在上任取，
则
因为，所以，
故，即
所以，所以在上单调递增.
24.（本题满分10分）
解：（1）根据频率分布直方表，可得
，
解得，，
频率分布直方图，如图所示：
（2）该组数据的平均数：
，
由题图可知，中位数应在10至15之间，设中位数为，
则，解得，
故中位数的估计值为11.67.
（3）从第4，5组抽取的人数分别为4，2，第4组的4人，
设为，，，，第5组的2人，设为，，
则从该6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中都是第4组的基本事件有，，，，，共6种，
所以至少有一名学生是第5组的概率.
25.（本题满分10分）
解：（1）
；
（2）当时，，
当且仅当，即时取等号，此时最小值为1152（千元）.
当时，是减函数，
当时，（千元），
所以，
∴该园区30号的旅游收入最低，最低收入为1116千元.
26.（本题满分10分）
解：（1）∵，
∴，即，也即
等价于.
若，该不等式无解；若，，所以或；
若，，所以；综上，，该不等式解集为；
，该不等式解集为；，该不等式解集为.
（2）若，在单调递增，故在无最小值；
若，在单调递增，故在上无最小值
若，，所以，
解得或，所以或.
（3）因为对任意的正实数，存在，使得，所以
当时，在上单调递增.
所以
所以
当，即，由，解得
当时，，即，
所以
当时，，即，
所以，所以实数的最大值为.
27.（本题满分10分）
解：（1）∵，所以，
即，∴，对任意恒成立，
∴.所以.
（2）函数的图象在直线上方，
等价于对任意的成立，
即.
令，在上单调递减，
而，所以，由此.
（3），令，，
则，.
①当，即时，在递增，
从而，舍去；
②当即时，在上递减，在递增，
从而，则；
③即时，在递减，
从而，则舍去.
综上所述：.

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