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二月数学每周好题精选（第3周）
1.满足条件的集合M的个数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.若函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则实数a的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，则等于( )
A. B. C. D.
6.若，，且，则的最小值为( )
A.2 B. C. D.
7.如图,在棱长为1的正方体中,为的中点,则直线与平面的夹角为( )
A. B. C. D.
8.若O是内的一点，且，则O是的( )
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
9.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则( )
A.2 B. C.8 D.4
10.（多选）设是单调的等比数列的前n项和,若,则( )
A. B.公比为 C.为常数 D.为等比数列
11. （多选）已知函数,函数的图像由的图像向右平移个单位长度得到,则下列关于函数的说法不正确的有( )
A.的图像关于直线对称 B.的图像关于点对称
C.在上单调递增 D.在上单调递减
12. （多选）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是( )
A.的解集为 B.当时，
C.有且只有两个零点 D.，，
13.甲乙丙丁戊5名同学排成一列，若甲不站在排头，乙和丙相邻，则不同的排列方法有______种.
14.已知的展开式中含有项的系数是54，则__________.
15.在三棱锥中，点P在底面的射影是的外心，，，，则该三棱锥外接球的体积为____________.
16.已知数列为等比数列，设其前n项和为，公比，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求数列的前n项和.
17.某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并计算这200名市民评分的平均值；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用X表示抽到的评分在90分以上的人数，求X的分布列及数学期望.
18.设函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若有最大值，求的最小值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：满足条件的集合M至少含有3个元素1，2，3，且是集合的真子集，所以集合或或或或或或，共7个.故选C.
2.答案：A
解析：第一步化简z，，
第二步：根据共轭复数的概念求解.故选A.
3.答案：A
解析：，，，.故选A.
4.答案：D
解析：由题意得，则，函数的图象在点处的切线方程为.令，得；令，得，则切线与两坐标轴围成的三角形的面积，解得.
故选D.
5.答案：D
解析：由得，所以，故选D.
6.答案：C
解析：
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选C.
7.答案：B
解析：以点为原点,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,,.
设平面的一个法向量.则即令，则，，平面BDE的一个法向量为.，.又，，直线与平面BDE的夹角为.故选B.
8.答案：A
解析：是以为邻边的平行四边形的对角线，且过AB的中点，设AB的中点为D，则.
又D为AB的中点，C，O，D三点共线，为的重心. 故选A.
9.答案：A
解析：双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，设A在x轴上方，则，，，.又的周长为，
，.故选A.
10.答案：CD
解析：设等比数列的公比为q.由数列为等比数列,,得,又,所以,因此A项错误.又,所以,解得或.若,则,显然不满足数列是单调数列,因此B项错误.
由上述可知,则,所以,则,因此C项正确.因为,所以是首项为,公比为的等比数列,因此D项正确.故选CD.
11.答案：ACD
解析：由题意可知，不是的最大值也不是最小值，则直线不是图像的对称轴,故A不正确.，则点是图像的一个对称中心，故B正确.由,，解得.当时,函数在上单调递增，而，故C不正确.同理可得函数在上单调递减，而，故D不正确.选ACD.
12.答案：ABD
解析：当时，的解集为，的解集为，由为奇函数可知选项A正确；当时，，选项B正确；当时，为的零点，因为是定义在R上的奇函数，所以，，故有且只有三个零点，选项C错误；当时，，故在上单调递增，所以，，所以，选项D正确.故选ABD.
13.答案：36
解析：（1）将丁戊排成一排，有种，
（2）把乙丙捆绑有种，再插入丁戊所成排的3个空中有种，
（3）在第2步成排的后3个空中任选一个空，将甲插入有种，
所以，不同排列方法数有种.故答案为36.
14.答案：4
解析：的展开式的通项为.由题意知，即，解得或（舍）.
15.答案：
解析：设的外心为，连接，则球心O在上，连接，则为外接圆的半径r，连接OA，设外接球的半径为R，则.在中，由正弦定理得，解得，即.在中，，在中，，即，解得，所以外接球的体积.
16.答案：(1).
(2)前n项和为.
解析：(1)因为，，所以.
，两式相除得，解得，，
故数列的通项公式.
(2)由(1)得，则，
故，则，
所以数列的前n项和为.
17.答案：(1)；平均分为80.70分.
(2)分布列见解析，数学期望为1.
解析：(1)由频率分布直方图知，
，
由，解得，
(分).
(2)评分在90分以上的频率为0.25，用频率作为概率的估计值，现从该城市中随机抽取4人可以看成二项分布，
X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
.
18.答案：(1)函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，
令得，所以在上单调递增，在上单调递减.
(2)由(1)知，当时，在上单调递增，在上单调递减.
所以
所以，所以，
令，则，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以，所以的最小值为.
2

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