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导数的概念、求导公式与法则
一、导数的概念与由来【逼近+极限思想】
1、瞬时速度
物体在某一刻的速度称为瞬时速度
2、函数的平均变化率
一般地，对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值从变化到.
定义式：（其中自变量的增量，函数值的增量）
●现把写成【所对应的函数值为】，写成【所对应的函数值为】
对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值从变化到.
（1）平均变化率的定义式：
（2）实质：函数值的变化量与自变量的变化量的之比。
（3）可以是正值，也可以是负值，但不能为0，函数值的变化量可以是0（如常函数）.
（4）平均变化率的几何意义：割线的斜率
（5）平均变化率的物理意义
①把位移看成时间的函数，平均速度；②把速度看成时间的函数，平均加速度.
3、导数的概念【瞬时变化率 = 切线的斜率 = 导数】
如果当趋近于0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，
则称函数在处可导，并把这个确定的值叫做函数在处的导数（也称为瞬时变化率）.
（1）导数的定义式：
（2）记法：或
（3）实质：函数在处的导数就是在处的瞬时变化率。
（4）导数（瞬时变化率）的几何意义：切线的斜率
特别提醒：
若极限不趋近于一个确定的值，则称函数在处不可导．
【函数可导的条件：图象平滑】【补充：函数连续即一笔画完；可导必连续，连续不一定可导。】
4、导函数的概念
从求函数在处的导数的过程中，当时，是一个确定的数。这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时也记为，即．
特别提醒：函数在处的导数、导函数之间的区别与联系
①联系：函数在处的导数，就是在处的函数值，这是求函数在处的导数的方法之一．
②区别：是在处的导数，是一个常数，不是变量；是函数的导函数，是一个新的函数。
★题型1：求函数的平均变化率
求函数的平均变化率的步骤
（1）第一步：求自变量的变化量；
（2）第二步：求函数值的变化量；
（3）第三步：求平均变化率.
【例1】质点的运动方程为，则在时间段内的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：依题意知平均速度
,故选A．
【例2】（2021春 运城月考）函数从到的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B
【例3】（2021春 忻府区校级月考）函数在区间上的平均变化率为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：C
【例4】如图，函数在，两点间的平均变化率是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B
【例5】 如图是函数的图象，则函数在区间上的平均变化率为 ．
参考答案：（利用中点坐标公式求得，）
★题型2：导数的定义
导数式子：，分母为分子中括号内的式子相减。
注意点：①分母来源；②对导数结构的清晰；③对增量的认识
【例1】已知，则 。
参考答案：
小贴士：
【例2】（2021春 河南月考）已知函数在处的导数为1，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B
【例3】设在处可导，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：D
【例4】若，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B
【例5】若，则等于 ．
参考答案：
【例6】设函数满足，则 ．
参考答案：
★题型3：用导数的定义求函数的导数
求（当无限趋近于0时）的极限的方法
（1）在极限表达式中，可以把作为一个数来参与运算。
（2）求出的表达式后，无限趋近于0，这时可令，求出结果即可。
【例1】函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
， 故选D
【例2】用定义求的导数．
参考答案：
★题型4：导数的几何意义与物理意义
求运动物体的瞬时速度的步骤
（1）第一步，求时间改变量和位移改变量；
（2）第二步：求平均速度；
（3）第三步：求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于常数，即为瞬时速度。
【例1】设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率等于 ．
参考答案：由导函数的定义可知：
曲线上的点处的切线斜率为3．
【例2】（2021春 沙坪坝区校级期中）设是上的可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：A
【例3】如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，
则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：C
【例4】函数的图象在点处的切线方程是，则 ．
参考答案：
【例5】函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：A
【例6】已知某物体的运动方程是，求当时的瞬时速度.
参考答案：
【例7】做直线运动的某物体，其位移与时间的关系是，求物体的初速度.
参考答案：（提示：初速度时间的瞬时速度）
【例8】如果某物体做运动方程为的直线运动（的单位，的单位为），那么其在末的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：A
【例9】（2020届宁城10月月考）一个质量的物体作直线运动，设运动距离（单位：）与时间（单位：）的关系可用函数表示，并且物体的动能，则物体开始运动后第时的动能是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：A
二、基本初等函数的求导公式
函数 导函数
（为常数）
温馨提示：
（1）常见函数的导数： ； ②；
（2）与的区别
①表示在处的导数：先求出导函数，再把代入，即可得到；
②表示常数的导数，即常数的导数恒为.
（3）区分与联系
注：导函数和导函数值简称导数
（4）函数求一次导：（一阶导函数），函数求两次导：（二阶导函数）；
三阶导函数：或；阶导函数：.
（5）导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如函数的定义域为；导函数的定义域为
三、导数的四则运算法则（极限也有类似性质）——其中，均为可导函数
符号表达 文字叙述
两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 口诀：前导后不导，加上前不导后导
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 口诀：上导下不导，减去上不导下导，除以分母的平方
特别地，，其中为常数【即函数前面的常数可不参与求导】。如
补充：（1）正切函数的求导：
（2）多个函数相乘求导【即：轮番求导再相加】
①
②
③
★题型一：利用导数公式、四则运算法则求函数的导数
1、求函数的导数的方法
（1）若函数解析式符号基本初等函数（常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数），则用导数公式直接求导。
（2）若不能用常用导数的导函数公式求解，那么可以先把所给函数解析式的结构进行调整，再选择合适的导数公式求解。
2、利用导数的四则运算法则求导数的策略
（1）先分析求导式中每一部分式子是由哪几种基本初等函数组合成的，再由基本初等函数的求导公式求导数。
（2）若求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式，商式变乘积式，三角函数恒等变换等。
（3）尽可能将求导式化为和、差的形式，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商法则求导。
【例1.1】求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）.
参考答案：（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）.
【例1.2】若函数，则（ ）
A. B. C. D.
参考答案：B
【例1.3】若函数，则的值是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：A
【例1.4】函数，，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：D
【例1.5】已知函数在点处的导数值为3，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
参考答案：D
【例2.1】求下列函数的导数：【非常重要的六大同构函数】
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
参考答案：（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
【例2.2】求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
参考答案：（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
【例2.3】设函数的导函数，则数列的前项和是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：A
【例2.4】下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：C
【例2.5】（2020全国Ⅲ15）设函数，若，则 .
参考答案：1
【例2.6】已知函数，若，，则 。
参考答案：
【例2.7】用公式求下列函数的导函数：【可以先使用公式对式子变形后再求导】
参考答案：
【例2.8】设函数在内可导，其导函数为，且，则 ．
参考答案：（提示：利用换元法求解析式：令，得，即）．
【例2.9】（多选）若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
参考答案：BC
【例2.10】定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，有下列函数：
①，②，③，④．
其中只有一个“新不动点”的函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案：C（提示：①②③）
【例3.1】（2019年四川一诊）已知函数的导函数为，且满足，则 。
参考答案：关键点：把看成常数【三步走：①求导函数，②把代入得，在把所求得的回代，进而得出，③把代入得解】
【例3.2】设函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B
【例3.3】（2021春 河南月考）已知是函数的导函数，且满足，
则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B
【例3.4】（2021 5月份模拟） 已知为二次函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B
【例3.5】已知函数，则为 ．
参考答案：
【例4.1】函数，记，，…，，
，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：； ；
；
观察发现：对于任意，
， 且，
【例4.2】若，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：C
【例4.3】等比数列中，，，，为函数的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
【例4.4】已知，且，则 。
参考答案：1
【例4.5】（2020长春市一中高二期中考试）已知（），其导函数是，若，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B
【例4.6】函数（是两两不等的常数)，则 ．
参考答案：
； ；
四、复合函数的求导法则
1、一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
【复合函数求导四步走】
特别提醒：
对于复合函数的求导问题，应先分解函数，使之成为基本初等函数的复合形式，然后分别求导再相乘．
(
复合函数的链式求导法则，又叫
剥洋葱法则
：
①
；
②
)【例】对求导
拆分：和
分别求导：和
相乘：
回代整理：
2、函数与导函数奇偶性联系（恒等式两边同时求导，等式仍然成立。）
（1）原函数是奇函数，则它的导函数是偶函数；原函数是偶函数，则它的导函数是奇函数。
函数类型 推导过程
奇函数 奇函数，两边求导：，即偶函数
偶函数 偶函数，两边求导：，即奇函数
（2）偶函数若在上有定义，则在处的导数为.
3、若的周期为，则的周期也为.
推导：的周期为
★题型一：复合函数概念的理解。
明确函数的复合关系的策略
复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程。在分析时可以从外到内，先根据最外层的主体函数结构找出；再根据内层的主体函数结构找到函数，函数和复合而成函数.
易错提醒：对于复合函数，中间变量应选择简单初等函数，判定一个函数是简单初等函数的标准是存在求导公式，即能直接求导。
【例1】指出下列函数的复合关系：
（1）； （2）； （3）； （4）.
参考答案：（1）可以看成是由和复合而成的；
（2）可以看成是由和复合而成的；
（3）可以看成是由和复合而成的；
（4）可以看成是由，和复合而成的.
【例2】指出下列函数的复合关系：
（1）； （2）.
参考答案：（1）可以看成是由和复合而成的；
（2）可以看成是由，和复合而成的；
【例3】下列函数中，不能看作复合函数的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：A
【例4】若，，则 ， 。
参考答案：；
★题型二：复合函数的求导
求复合函数的导数的步骤
（1）分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数。
（2）分别求导：求各层函数对应变量的导数。
（3）相乘：把上述求导的结果相乘。
（4）变量回代：把中间变量回代。
易错提醒：①内、外层函数通常为基本初等函数；②求每层函数的导数时，要注意分清是对哪个变量求导。
【例1】用公式求下列函数的导函数：
参考答案：方法一：使用二倍角公式对上式变形
单独先对求导。
①拆分：
②求导： 4
③相乘：
④整理：
方法二：①拆分：
②求导：
③相乘：
④回代整理：
方法三：
【例2】求下列函数的导数
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
参考答案：（1）；
（2），则；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）法一：.
法二：
【例3】下列求导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B
★题型三：复合函数求导的应用
【例1.1】已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：C
【例1.2】（2021春 忻府区校级月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：A
【例1.3】设，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B
【例1.4】已知，求.
参考答案：
【例1.5】已知函数，则的值为 。
参考答案：
【例2.1】已知函数，为的导函数，
则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：C
【例2.2】已知函数，其导函数记为，
则的值为 。
参考答案：
【例2.3】已知函数，其中为函数的导数，
则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：A
【例2.4】设，函数的导函数是，且是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：A
【例2.5】设是偶函数，若曲线在点处的切线斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为 。
参考答案：偶函数奇函数
小贴士：若是偶函数，则与相等，与互为相反数；
若是奇函数，则与互为相反数，与相等.
【例2.6】（2007江西）设函数是上以为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：B（提示：）
六、番外篇
1、求的导数.
参考答案：两边取对数. 对两边分别求导.
①
②
故
【例1】（2019绵阳9月月考）我们用以下方法求形如的导数：先在两边同时取自然对数可得：，再在两边同时求导数可得：
，用此方法求得的一个单调增区间是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：C
2、导数运算的原则和方法
基本原则：先化简、再求导；
具体方法：
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；如
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；如或
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；如
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；如
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；如
(6)复合函数：由外向内，层层求导．如

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