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学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课主题 解 三 角 形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的基本内容； 能灵活使用正余弦定理结合三角函数基本公式进行变形； 运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
(
体系搭建
) 一、知识框架 知识概念 （一）正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 变形：① ②角化边 ③边化角 （二） 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2=b2+c2－2bccosA； ① b2=c2+a2－2cacosB； ② c2=a2+b2－2abcosC. ③ 在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得 cosA=； cosB=； cosC=. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. （3）在ABC中， 若，则角是直角； 若，则角是钝角； 若，则角是锐角． （三） 三角形中的公式变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换 因为在ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 面积公式： 其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半。 (
典例分析
) 考点一：利用正余弦定理解三角形 例1、在ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　) A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 例2、在ABC中，已知，，，求b及A。 例3、在中，，，，求的值和的面积。 考点二：求值问题 例1、在ABC中，若_________。 例2、在ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．8 C．4或8 D．无解 例3、在ABC中，若，则A等于（ ） A． B． C． D． 例4、在ABC中，若_________。 例5、 在ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________． 考点三：与三角形边角相关的问题 例1、ABC中，则△ABC的周长为（ ） A． B． C． D． 例2、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　) A. B. C.或 D.或 例3、在，求： （1）求BC的长； （2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度。 例4、已知A、B、C是三内角，向量，且， （Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若 考点四：边角互化问题 例1、在ABC中，如果，那么等于 。 例2、在ABC中，若，则与的大小关系为（ ）. A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定 例3、在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b. 若2asinB=b,则角A等于（　　） A． B． C． D． 例4、【2011·全国卷Ⅱ】ABC内角A、B、C对边分别为a、b、c，已知asin A＋csin C－asin C＝bsin B. (1)求B； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c. 考点五：解三角形的实际应用 例1、如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高。 例2、如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.
P(Practice-Oriented)——实战演练
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实战演练
) 课堂狙击 1、等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长=（ ） A．2 B． C．3 D． 2、在ABC中，若A∶B∶C=7∶8∶13，则C=_____________。 3、ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 4、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 5、在,内角所对的边长分别为（） A． B． C． D． 6、在ABC中，、b、c分别为A、B、C的对边，若，则A=___ ____. 7、已知为的三个内角的对边，若，，，且，则角、的大小分别为（ ） A． B． C． D． 8、在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。 课后反击 1、已知a＝，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）. A. B. C. D. 2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）. A． B．＜x＜5　 　C． 2＜x＜ D．＜x＜5 3、的内角的对边分别是,若,,,则 （　　） A． B．2 C． D．1 已知ABC中，A，，则= ． 在ABC中，已知三边a、b、c满足，则∠C等于 ． 在ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求的值. 7、如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高. 8、在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b＝6，a＝2，A＝30°，试求ac的值． (
战术指导
) 应用解三角形知识解决实际问题的步骤 (
直击高考
) 1. 【新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ） （A） （B） （C） （D） 2.【新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则 ． 3．【上海理数】已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________. 4．【北京理数】在ABC中，. （1）求 的大小； （2）求 的最大值. 5．【新课标1卷】 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 （I）求C；（II）若的面积为,求的周长． 6. 【上海】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ． 7.【湖北 理】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 8.【山东 理】设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
S(Summary-Embedded)——归纳总结
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重点回顾
) 1、利用正余弦定理解三角形 2、在解三角形过程中知道何时用余弦定理，何时用正弦定理； 3、应用正余弦定理解决实际生活中遇到的问题。 (
名师点拨
) 1. 内角和定理： 在中，；；； . 面积公式: = 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：或变形： (解三角形的重要工具) 形式二： (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一： 形式二： ； ； cosC= 5．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 7．正余弦定理的使用条件归纳 已知条件定理应用一般解法一边和两角 （如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时 有一解。两边和夹角 (如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。三边 (如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。
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学霸经验
) 本节课我学到了 我需要努力的地方是学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课主题 解 三 角 形
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的基本内容； 能灵活使用正余弦定理结合三角函数基本公式进行变形； 运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
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体系搭建
) 一、知识框架 知识概念 （一）正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 变形：① ②角化边 ③边化角 （二） 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2=b2+c2－2bccosA； ① b2=c2+a2－2cacosB； ② c2=a2+b2－2abcosC. ③ 在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得 cosA=； cosB=； cosC=. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. （3）在ABC中， 若，则角是直角； 若，则角是钝角； 若，则角是锐角． （三） 三角形中的公式变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换 因为在ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 面积公式： 其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半。 (
典例分析
) 考点一：利用正余弦定理解三角形 例1、在ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　) A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 【解析】C 例2、在ABC中，已知，，，求b及A。 【解析】∵ =cos == ∴ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：∵cos ∴ 解法二：∵sin 又∵＞＜∴＜，即＜＜∴ 例3、在中，，，，求的值和的面积。 【解析】先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 考点二：求值问题 例1、在ABC中，若_________。 【解析】 例2、在ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．8 C．4或8 D．无解 【解析】由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.答案：C 例3、在ABC中，若，则A等于（ ） A． B． C． D． 【解析】D 例4、在ABC中，若_________。 【解析】120° 例5、 在ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________． 【解析】5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0. ∴x1＝，x2＝－2(舍去)．∴cos C＝. 根据余弦定理， c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16. ∴c＝4，即第三边长为4. 考点三：与三角形边角相关的问题 例1、ABC中，则△ABC的周长为（ ） A． B． C． D． 【解析】D 例2、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　) A. B. C.或 D.或 【解析】D 例3、在，求： （1）求BC的长； （2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度。 【解析】（1）由， ， 由正弦定理知， （2），。 由余弦定理知： 点评：本题考查了在三角形正弦定理的的运用，以及三角公式恒等变形、化简等知识的运用。 例4、已知A、B、C是三内角，向量，且， （Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若 【解析】（Ⅰ）∵ ∴，即， ，； ∵，∴，∴。 （Ⅱ）由题知， 整理得，∴ ∴； ∴或，而使，舍去； ∴。 考点四：边角互化问题 例1、在ABC中，如果，那么等于 。 【解析】 例2、在ABC中，若，则与的大小关系为（ ）. A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定 【解析】A 例3、在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b. 若2asinB=b,则角A等于（　　） A． B． C． D． 【解析】A 例4、【2011·全国卷Ⅱ】ABC内角A、B、C对边分别为a、b、c，已知asin A＋csin C－asin C＝bsin B. (1)求B； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c. 【解析】(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. 故cos B＝，因此B＝45°. (2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝. 故a＝b×＝＝1＋. c＝b×＝2×＝。 考点五：解三角形的实际应用 例1、如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高。 【解析】在中，．由正弦定理得：． 所以．在中， 例2、如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.
P(Practice-Oriented)——实战演练
(
实战演练
) 课堂狙击 1、等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长=（ ） A．2 B． C．3 D． 【解析】D 2、在ABC中，若A∶B∶C=7∶8∶13，则C=_____________。 【解析】120° 3、ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 【解析】B 4、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 【解析】B 5、在,内角所对的边长分别为（） A． B． C． D． 【解析】A 6、在ABC中，、b、c分别为A、B、C的对边，若，则A=___ ____. 【解析】 7、已知为的三个内角的对边，若，，，且，则角、的大小分别为（ ） A． B． C． D． 【解析】C 8、在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。 【解析】因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。 解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。 在ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。 在ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°， ∴=sin60°=。 解法二：在△ABC中， 由面积公式得bcsinA=acsinB。 ∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。 ∴=sinA=。 评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。 课后反击 1、已知a＝，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）. A. B. C. D. 【解析】B 2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）. A． B．＜x＜5　 　C． 2＜x＜ D．＜x＜5 【解析】A 3、的内角的对边分别是,若,,,则 （　　） A． B．2 C． D．1 【解析】B 已知ABC中，A，，则= ． 【解析】2 在ABC中，已知三边a、b、c满足，则∠C等于 ． 【解析】60° 在ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求的值. 【解析】-5 7、如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高. 【解析】在中，，由正弦定理得，所以. 在中， 8、在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b＝6，a＝2，A＝30°，试求ac的值． 【解析】由正弦定理＝，得sin B＝＝＝. 由条件b＝6，a＝2，b>a知B>A. ∴B＝60°或120°. (1)当B＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°. 在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2，b＝6，c＝4， ∴ac＝2×4＝24. (2)当B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°， ∴A＝C，则有a＝c＝2. ∴ac＝2×2＝12. (
战术指导
) 应用解三角形知识解决实际问题的步骤 (
直击高考
) 1. 【新课标理数】在中，，边上的高等于,则（ ） （A） （B） （C） （D） 2.【新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则 ． 【解析】因为，且为三角形内角，所以，，又因为， 所以. 3．【上海理数】已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________. 【解析】由已知，∴，∴，∴ 4．【北京理数】在ABC中，. （1）求 的大小； （2）求 的最大值. 5．【新课标1卷】 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 （I）求C；（II）若的面积为,求的周长． 【解析】（I）由已知及正弦定理得,,即．故．可得,所以． （II）由已知,．又,所以．由已知及余弦定理得,． 故,从而．所以的周长为． 6. 【上海理】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ． 【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此 7.【湖北 理】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 8.【山东理】设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 【解析】（I）由题意知 由 可得，由 可得，所以函数 的单调递增区间是 ；　单调递减区间是 （II）由 得 ，由题意知为锐角，所以 ，由余弦定理： ，可得： ，即： 当且仅当时等号成立.因此 ，所以面积的最大值为
S(Summary-Embedded)——归纳总结
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重点回顾
) 1、利用正余弦定理解三角形 2、在解三角形过程中知道何时用余弦定理，何时用正弦定理； 3、应用正余弦定理解决实际生活中遇到的问题。 (
名师点拨
) 1. 内角和定理： 在中，；；； . 面积公式: = 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：或变形： (解三角形的重要工具) 形式二： (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一： 形式二： ； ； cosC= 5．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 7．正余弦定理的使用条件归纳 已知条件定理应用一般解法一边和两角 （如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时 有一解。两边和夹角 (如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。三边 (如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。
(
学霸经验
) 本节课我学到了 我需要努力的地方是

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