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2023年中考数学高频考点专题训练--四边形的综合题
一、综合题
1．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动.
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标.
2．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”.例如，y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝时，y＝＝ a2，所以y＝x2是“对称函数”.
（1）函数对称函数（填“是”或“不是”）.当x≥0时，的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，的图象.
（2）函数的图象如图2所示，当它与直线y＝－x+n恰有3个交点时，求n的值.
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（2，0），C（2，－3），D（－3，－3），当二次函数（b>0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围.
3．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．
（1）填空：　 　．点A的坐标是（　 　，　 　）；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当时，的面积是 ▲ ．
②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
4．如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB.
（1）用a表示四边形ADPE的周长为　 　；
（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；
（3）如果△ABC不是等腰三角形(图2)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由).
5．（1）问题提出
如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；
（2）问题探究
如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；
（3）解决问题
如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由.
6．
（1）（教材呈现）下面是华东师大版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：． 证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
（2）（结论应用）如图②，在△ABC中，D、F分别是边BC、AB的中点，AD、CF相交于点G，GE∥AC交BC于点E，则DE：BC＝　 　．
7．在 中， 是锐角， ，E为直线 上一点，F为直线 上异于点C的一点，连接 ，使 .
（1）如图1，若点E在线段 上，使 ，求证： ；
（2）如图2，若点E在线段 上， ，试猜想 之间的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）如图3，若点E在线段 的延长线上，点F在线段 上， 交 于点G， ，请直接写出 与 之间的数量关系.
8．已知：如图，在中，，cm，cm．点D是中点，点P从点C出发，沿向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接，，，将绕点D旋转得，连接，．设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，？
（2）当t为何值时，四边形是菱形？
（3）设四边形的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得点T在的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A（0，2），C（2 ，0），点D是对角线AC上一点（不与A、C重合），连接BD，作DE⊥BD，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF．
（1）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长；若不存在，请说明理由；
（2）求证： ；
（3）设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出当x取何值时，y有最小值？
10．如图
（1）（探究证明）
某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证： ；
（2）如图②，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则 的值为　 　；
（3）（联系拓展）
如图③，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求 的值．
11．如图，在△ABC中，AB=25，AC=20，BC=15，CN⊥AB，点P从点A出发，以每秒5个单位的速度沿AB向终点B匀速运动．当点P不与点A、B、N重合时，过点P作PQ⊥AC交AC于点Q，以PQ、PN为邻边作平行四边形PQMN，设平行四边形PQMN与△ ABC重叠部分面积为S（平方单位）．点P的运动时间为t（秒）．
（1）当点P在线段AN上时，tan∠PQM的值是　 　；
（2）用含t的代数式表示线段PN的长度；
（3）当S 时，求t的值；
（4）当点M恰好落在△ABC的角平分线上时，直接写出t的值．
12．如图，y=ax2-2ax+a-4与x轴负半轴交于A，交y轴于B，过抛物线顶点C作轴，垂足为D，四边形AOCD是平行四边形.
（1）求抛物线的对称轴以及二次函数的解析式；
（2）作轴交抛物线于另一点E，交OC于F，求EF的长；
（3）该二次函数图象上有一点G（m，n）若点G到y轴的距离小于2，则n的取值范围为　 　.
13．如图，在 ABCD中，E，F分别为BC，AB中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC的延长线交于点N．
（1）求证：△ABE≌△NCE；
（2）若AB＝3n，FB＝ GE，试用含n的式子表示线段AN的长．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF.直线DG交直线AB于点H.
（1）当点E在线段AB上时，求证：△ABF ∽△DAE.
（2）当AE=2时，求EH的长.
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形.若存在，求AE的长.
15．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．
（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ ∽△ABC，求t的值；
（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．
①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；
②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系 中，点Ｍ的坐标为 ，点Ｎ的坐标为 ，且 ， ，若 ， 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 ， 的“标准矩形”，如图为点 ， 的“标准矩形”示意图.
（1）已知点 的坐标为 ，
①点 为直线 图象上第一象限内的一点，且点 ， 的“标准矩形”的两邻边长的比为1∶2，求点 的坐标；
②点 在直线 上，若点 ， 的“标准矩形”为正方形，求直线 的表达式；
（2） 的半径为2，点 的坐标为 ，若在 上存在一点 ，使得点 ， 的“标准矩形”为正方形，直接写出 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)
（2）解：将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵B，Q，共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，
∵C（0，4），，
∴，
∵B（4，0），
∴＝＝5，
∴，
∴CP+PQ+BQ最小值为6.
（3）解：如图：
由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线，
设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，).
2．【答案】（1）解：在实数范围内任取x＝a时，；当x＝时，，所以是“对称函数”.
画图如下，
（2）解：当直线过点时，得
当直线与函数图象相切时，方程只有一个解，
，
，
得
（3）解：当，函数与x轴相切时，得，
当，函数与直线相切时，得，
当，函数经过点时，.
∴当或时，函数与矩形的边恰好有4个交点
3．【答案】（1）-3；5；0
（2）证明：线段平行于轴，
点的纵坐标与点一样，
又点在直线上，
当时，，
即，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（3）解：①12；②，
当时，，
当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，
，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．
4．【答案】（1）2a
（2）解：当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形.
理由如下：连结AP，
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴四边形ADPE为平行四边形，
∵AB=AC，P为BC中点，
∴∠PAD=∠PAE，
∵PE∥AB，
∴∠PAD=∠APE，
∴∠PAE=∠APE，
∴EA=EP，
∴四边形ADPE是菱形；
（3）解：P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，
∵PD∥AC，PE∥AB，
∴四边形ADPE是平行四边形，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵AB∥EP，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AE=EP，
∴四边形ADPE是菱形
5．【答案】（1）解：如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝ ，
∵点D为BC的中点，
∴AD＝ BC＝
（2）解：S△AOM＝S△BON，理由如下：
由图可知，S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，
如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，
∴MD∥NE，∠MDE＝90°，
又∵MN∥DE，
∴四边形MDEN是矩形，
∴MD＝NE，
∵S△ABM＝ ，S△ABN＝ ，
∴S△ABM＝S△ABN，
∴S△AOM＝S△BON.
（3）解：存在，直线BP的表达式为：y＝ x+4.
如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，
由（2）的结论可知，S△OBG＝S△AFG，
∴S四边形OACB＝S△BCF，
取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求.
∵A(4，0)，B(0，4)，C(6，6)，
∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4，
线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12，
∵OF∥AB，且直线OF过原点，
∴直线OF的表达式为：y＝﹣x，
联立 ，解得 ，
∴F（3，﹣3），
∵点P是CF的中点，
∴P ，
∴直线BP的表达式为：y＝ x+4
6．【答案】（1）解：如图①，连接ED，
∵D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∴．
（2）1：6
7．【答案】（1）证明：∵
∴∠EBC＝∠CEB
∵∠EBF＋∠EBC＝∠CEA＋∠CEB
∴∠EBF＝∠CEA
∵ ，
又∠ACB＝CAD，∴∠ADC＝∠CAD
∴AC＝CD
在平行四边形ABCD中，AB＝CD
∴AB＝AC
∴∠ABC＝∠BCE＋∠ACE
∵∠CEB＝∠CAE＋∠ACE
∵∠ABC＝∠CEB
∴∠BCE＝∠CAE
∵
∴∠EFC＝∠BCE
∴∠EFC＝CAE
∴△EBF∽△CEA；
（2）解：如图，分别过点E、A作EG⊥BC于点G、AH⊥BC于点H，
∵
∴三角形EFC是等腰三角形
∴EG⊥FC，且CF＝2CG
∵ ，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠ACB＝45°
∴∠BAC＝90°
∴△ABC是等腰直角三角形
又AH⊥BC
∴AH平分∠BAC，即∠EAH＝∠CAH＝45°
∴GH＝EA·cos45°
CH＝AC·cos45°
∴CG＝ （EA＋AC）
∴CF＝ （EA＋AC）
（3）解：过点E做EM∥BC，交CA的延长线于点M，过点E作EN⊥BC，
∵在 中，∠ADC=60°， ，
∴△ABC和△AEM是等边三角形，
∴AE=ME，
又∵AE=CF，
∴ME=CF，
∵∠MEG=∠CFG，∠M=∠FCG，
∴△MEG △CFG，
∴MG=CG，
设AG=x，AM=y，则CG=x+y，AC=2x+y，
∴EN= ，
∵EF=EC，EN⊥BC，
∴CN= FC= y，
∴ ，
∵在直角三角形BNE中， ，BN=BC-CN=2x+y- y=2x+ y
∴ ，即： ，
∴ =1：28，即：GA∶CE＝ ：14
8．【答案】（1）解：设ts时，，
在中，
∵，cm，cm，
∴cm．
∵绕点D旋转得，
∴，，
∴四边形PQRT是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
∵点P从点C出发，速度为2cm/s，
∴ts时，（cm），
同理，（cm），
∵cm，
∴cm，
∵，
∴，即，
解得：s，
故当s时，．
（2）解：如图，过P作PE⊥AB，过D作DF⊥AB，
∵cm，点D是中点，
∴cm．
在中，
∵（cm），cm，
∴cm，
∵，cm，cm，cm，
∴，．
在中，
∵cm，，
∴cm，cm，
∵cm，
∴cm，
在中，
∵cm，，
∴cm，cm，
∵ cm，（cm），cm，
∴ cm，cm，
∵（cm），cm，
∴cm，
∵cm，，
∴cm，
∵（cm），cm，
∴cm，
在中，
cm，
∵，
∴，
∴，
解得（舍），．
当为s时，四边形是菱形．
（3）解：如图，过P作PE⊥AB，过D作DF⊥AB，
∵四边形PQRT是平行四边形，
∴，
由（2）可知，（cm），cm，
∴cm ．
同理，cm，cm，
∴cm ．
∵（cm），cm，
∴cm ．
∵，cm，cm，
∴cm ．
∵，
∴，
化简得，，
∵，
∴，即．
（4）解：如图，取AB的中点为G，过C作CF⊥AB，以A为原点，建立平面直角坐标系，
∵，cm，cm，
∴cm．
∵G为AB的中点，
∴，，
∵，cm，，CF⊥AB，
∴．
∵点是中点，
∴，
∵，D为TQ的中点，
∴，
∵，cm，G为AB的中点，
∴cm．
∵点在的外接圆上，
∴cm，
故有，，
解得，，，
故s或s时，点T在的外接圆上．
9．【答案】（1）解：存在；理由如下：
∵点A（0，2），C（2 ，0），
∴OA＝2，OC＝2 ，
∵tan∠ACO＝ ，
∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°，
分两种情况：
①当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图像可知，只有ED＝EC，如图1所示：
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∠ACO＝30°，OA＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，
∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形；
②当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，如图2所示：
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
∴AB＝AD＝2 ，
综上所述，满足条件的AD的值为2或2
（2）证明：过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，如图3所示：
设DN＝a，
∵∠ACO＝30°，
∴ ，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠EDN，
∵∠BMD＝∠DNE＝90°，
∴△BMD∽△DNE，
∴
（3）解：作DH⊥AB于H，如图4所示：
在Rt△ADH中，AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，
∴DH＝ AD＝ x， ，
∴BH＝2 ﹣ x，
在Rt△BDH中，BD2＝ ，
由（2）得 ，
∴ ，
∴矩形BDEF的面积为 ，
∴ ，
∵ ＞0，
∴x＝3时，y有最小值为 ，
即当点D运动到距A点的距离为3时，y有最小值．
10．【答案】（1）解：过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形AEFP,四边形BHGQ都是平行四边形,
∴AP=EF,GH=BQ,
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠QAT+∠AQT=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠D=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°,
∴∠AQT=∠DPA,
∴△PDA∽△QAB,
∴ ,
∴ ,
（结论应用）
（2）
（3）解：过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形,
∵∠ABC=90°,
∴ ABSR是矩形,
∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS,
∵AM⊥DN,
∴由（1）中的结论可得 ,
设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,
∴在Rt△CSD中,x2+y2=25①,
在Rt△ARD中,（5+x）2+（10﹣y）2=100②,
由②﹣①得x=2y﹣5③,
解方程组 得
（舍去）,或 ,
∴AR=5+x=8,
∴ .
11．【答案】（1）
（2）解：由题意可知
当 在线段 （不包括端点）上时， ，
当 在线段 （不包括端点）上时， ，
综上所得：
（3）解：当 时，过点 作 ，交 于点 ，如下图：
此时重叠部分的面积就是平行四边形PQMN的面积；
由（1）得 ，
在 中， ，
∴ ，
等面积法可以求得
∴
∴
当 时，设 与 交点为 ，此时重叠部分的面积为梯形 ，
∵ ，
∴
在 中， ，
∴
在在 中，求得
∴
∴
（舍）
综上所得
（4）解：当 在 的角平分线上时，过点 作 ， 分别交 、 于点 、 ，如下图：
则
∵
∴ 三点共线
在 中， ∴
易知四边形 为矩形
由（3）得
在 中， ， ，∴
∵
∴ 解得
当 在 的角平分线上时，过点 作 交 于点 ，连接
则
∴
解得
又∵
∴
解得
当 在 的角平分线上时，如下图
则
解得
又∵
∴
解得
综上所述： 或 或
12．【答案】（1）解：抛物线的对称轴x＝－＝1
∵ADCO是平行四边形
∴AO＝CD＝1
∴A（－1，0）代入得：
a＋2a＋a－4＝0，得a＝1
∴y＝x2－2x－3；
（2）解：y＝x2－2x－3＝（x－1）2－ 4
∴C（1，－4）
∴CD＝1，OD＝4
当x＝0代入 y＝－3
∴OB＝3
∵
∴△OBF∽△OCD
∴＝
∴BF＝
由对称性得BE＝2CD＝2
∴EF＝2－＝；
（3）-4≤n＜5
13．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CN， ∴∠B＝∠ECN， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△NCE中， ，
∴△ABE≌△NCE（ASA）
（2）解；∵AB∥CN， ∴△AFG∽△CNG，
∴AF：CN＝AG：GN，
∵AB＝CN，
∴AF：AB＝AG：GN，
∵AB＝3n，F为AB中点
∴FB＝ GE，
∴GE＝n，
∴ ，解得AE＝3n，
∴AN＝2AE＝6n．
14．【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴.
又∵，
∴△ABF ∽△DAE；
（2）解：①当E在点A上方时，
由AB=2，得点E与B重合，如图，
∵△ABF∽△DAE，
∴，
∴，
∴.
∵四边形AEGF是平行四边形，，
∴GF=AB=CD=2，，
即在△GMF和△DMC中，，
∴△GMF≌△DMC(AAS)，
∴，
∴.
∵，
∴△MGF∽△MHE，
∴，即，
∴EH=；
②当E在点A下方时，如图，
∵FG=AE=CD=2，
∴G、A、D共线
此时，H与A重合，
∴HE=2.
综上可知，EH的长为或2；
（3）解：①当点H在点A的上方时，如图，△EGH为钝角三角形
由等腰△EGH得，GH=GE.
作GQ⊥BH于点Q，则HQ=EQ.
∴四边形BFGQ为矩形，
∴QB=GF=EA，
∴QE=AB=2，
∴HQ=EQ=2.
设AE=2t，
由（1）得，
∴，
∴GQ=BF=t.
∵QG//AD，
∴△HQG ∽△HAD
∴，即，
解得 (舍去）
∴AE=2t=；
②当点H在点A的下方时，
（ⅰ）若GH=GE，如图，作GQ⊥BE于点Q，则HQ=EQ.
∵AE=GF=BQ，
∴QE=AB=2，HQ=EQ=2.
设AE=2t，同理：GQ=BF=t
由，得，
解得(舍去）
∴AE=2t=；
（ⅱ）若HG=HE，如图，
∴∠2=∠1.
同理△ABF ∽△DAE，则，
∵AF=GE，AF∥GE，AF⊥DE，
∴GE⊥DE，，
∴△DGE是直角三角形，
∵∠2+∠3=90°，∠GDE+∠1=90°，
∴∠3=∠1，
∴tan∠3= tan∠GDE==，
∴=，
∴AE=2AD=8；
（ⅲ）若EG=EH，如图，
同理可求出tan∠HGE=2，
则tan∠AHD=tan∠GHQ=tan∠HGE=2，
∴.
设AE=2t，
同理可得：GQ=BF=t，EQ=AB=2，
由，得，解得，
∴ AE=2t=.
综上可知：AE=或8或.
15．【答案】（1）解：∵△APQ∽△ABC ∴ ， 即 解得
（2）解：①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，
则AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，
过点Q作QO∥AD交AC于点O，
则 ∴ ，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得 ．
②（ⅰ）如图②，当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ＝BP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB CP＝BP＝AP＝t
∴CP＝AP＝ AC＝ ×5＝2.5∴t＝2.5
（ⅱ）如图③，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
过点P作PG⊥CB于点G，由△PGC∽△ABC，
得
，BG＝4－
由勾股定理得 ，即
，解得 ．
16．【答案】（1）解：①设点 ，如图，
当在 处时， ，
解得
经检验，符合题意，
当在 处时， ，
解得
经检验，符合题意，
综上所述， 或 ；
②如图，设点 ，
构成标准矩形为正方形，
解得 或 ,
或
设直线 的解析式为： ，代入 得，
同理，设直线 的解析式为： ，代入 、 得，
直线AC的解析式为 或 ；
（2）解： ， 的“标准矩形”为正方形，
都是正方形的顶点，且点Q在以O为圆心，半径为2的圆上，
直线 平行于直线 或 ，
可设直线 解析式为： 或 ，
把 分别代入 或
或 ，
把 分别代入得， 或 ，因等腰直角三角形直角边为2时，其斜边为 ，
或 ，
解得 或 .

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