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第二十八章 锐角三角函数
第2课时 余弦和正切
28.1 锐角三角函数
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
A
B
C
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.
此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
问题
讲授新知
贰
讲授新知
知识点1 余弦
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
合作探究
讲授新知
我们来试着证明前面的问题：
∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴∠B=∠E，
从而 sinB = sinE，
A
B
C
D
E
F
【归纳】
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
讲授新知
【归纳总结】
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫作角A的余弦，记作cos A，即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
∠A的邻边
斜边
cos A =
讲授新知
从上述探究和证明过程看出，
对于任意锐角A，有cosA=sin (90°-∠A)
从而有sinA=cos (90°-∠A)
范例应用
例1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
D
例2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5，α为其最小的锐角，求α的正弦值和余弦值．
解：∵直角三角形的斜边与一直角边的比为7:5，令斜边为7x，则该直角边为5x，另一直角边为 ＜5x，
范例应用
讲授新知
A
B
C
D
E
F
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？
合作探究
知识点2 正切
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
即 BC·DF = AC·EF ，
解：∵∠A=∠D = α，∠C =∠F = 90°，
讲授新知
【归纳】
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
【归纳总结】
如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫作角A的正切，记作tanA， 即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
讲授新知
∠A的对边
邻边
tan A =
　　∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数.
如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
想一想
如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数.
讲授新知
范例应用
例3 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
解：由折叠的性质可得，CF=CD，∠EFC=∠EDC=90°.
∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，
∴∠AFE+∠BFC=90°.
∵∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠AFE=∠BCF.
在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，
由勾股定理易得BF=6.
范例应用
∴tan∠AFE=tan∠BCF= .
讲授新知
知识点3 锐角三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求
sinA,cosA,tanA的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理，得
范例应用
例4. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13.
sinA=______，cosA=______，tanA=____，
sinB=______，cosB=______，tanB=____.
A
B
C
13
12
点拨：如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数.
当堂训练
叁
当堂训练
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，且sinA= ，则下列结论正确的是（ ）
D
，sinA= ,则斜边=2，一直角边=1，另一直角边= ,则
点拨
·
·
当堂训练
2. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( )
A. tan70°＜cos70°＜sin70°
B. cos70°＜tan70°＜sin70°
C. sin70°＜cos70°＜tan70°
D. cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°. 故选D.
D
当堂训练
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，
垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.
解: ∵ ∠ACB＝ ∠ADC =90°，
∴∠B+ ∠A=90°，
∠ACD+ ∠A =90°，
∴∠B = ∠ACD，
C
D
A
B
∴ tan∠B = tan∠ACD =
当堂训练
4.如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C= ，DF=3，求⊙O的半径．
A
B
C
D
E
F
O
当堂训练
解：连接BD．
在⊙O中，∠C=∠A，
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．
设AB=4x，则AF=5x，
由勾股定理得，BF=3x．
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，
∴△ABF∽△BDF，
∴cosA=cosC=
∴⊙O的半径为
A
B
C
D
E
F
O
课堂小结
肆
课堂小结
余弦函数和
正切函数
在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦
A确定的情况下，cosA,tanA为定值，与三角形的大小无关
在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切
余弦
正切
性质
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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第二十八章 锐角三角函数
28．1锐角三角函数
第2课时 余弦和正切导学案
学习目标
1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
2.通过探究锐角的余弦、正切的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法.
3.培养学生勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯.
重点：认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
难点:类比正弦的概念,探索余弦、正切的概念.
学习过程
一、问题引入
问题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
二、揭示问题规律
知识点1 余弦
合作探究
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？
证明前面的问题：
【归纳】 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是 ，与直角三角形的 无关．
在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫作角A的余弦，记作cos A，即
知识点2 正切
合作探究
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？
【归纳】由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个 ，与直角三角形的 无关．
【归纳总结】如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫作角A的正切，记作tanA， 即
∠A 的 都是∠A 的锐角三角函数。
想一想：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
知识点3 锐角三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA,cosA,tanA的值.
三、学习检测
例1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）
A、 B、 C、 D、
例2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5，α为其最小的锐角，求α的正弦值和余弦值．
例3 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
例4. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13.
sinA=______，cosA=______，tanA=____，
sinB=______，cosB=______，tanB=____.
尝试应用
在Rt△ABC中，∠C=90°，且sinA= ，则下列结论正确的是（ ）
2. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( )
A. tan70°＜cos70°＜sin70°
B. cos70°＜tan70°＜sin70°
C. sin70°＜cos70°＜tan70°
D. cos70°＜sin70°＜tan70°
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.
如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C= ，DF=3，求⊙O的半径．
五、反思小结
1、在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比都是 ．∠A的对边与邻边的比都是 ．
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 ，记作 ，
3、直角三角形的锐角三角函数包括
六、达标训练
一、选择题
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，那么tanA等于（　　）
A． B． C． D．
2. 在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小2倍
C．扩大4倍 D．大小不变
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（　　）
A．4 B．2 C． D．
4. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（　　）
A．2 B． C． D．
第5题图 第6题图
5. 如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6. 如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标是（2，1），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于____.
7．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA=________.
第7题图 第8题图
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC=2，AB=3，那么cos∠BCD的值为_______.
三、解答题
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=2，BC=1，求∠A的三个三角函数值．
10.已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．
11.如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan ，即ctan= ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°=_________；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
参考答案
1.C 2.D 3.A 4.A 5.B
6. 7.2 8.
9.解：∵∠C=90°，∴AC=，∴sinA= ，cosA= ，tanA= ．
10.解：根据题意可得，AC=BC= ，CD=CE=，AD=BE=5，∴△ACD≌△BCE．∴∠ADC=∠BEC．
∴tan∠ADC=tan∠BEC= ．
11.解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，∴BC= AB，∴AC=== ，∴cot30°= ．
（2）∵tanA= ，∴设BC=3，AC=4，∴cotA=．
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