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函数与方程的思想
函数思想是一种通过构造函数从而应用函数性质解题的思想方法，它的应用非常广泛。深刻理解函数的具体特性，是应用函数思想解题的基础，恰当的构造函数和妙用函数性质是解题的关键；方程的思想是对方程概念的本质认识，就是分析数学中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程（组），或运用方程性质去分析转化问题，从而使问题解决。函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0，通过方程进行研究。
一、运用函数与方程、不等式相互转化的观点解决函数、方程、不等式问题
问题1、已知函数 且，（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性，并予以证明；（3）当时，求使f(x)>0的x的取值范围。
这是大纲人教版高一课本上一道参考例题，解答过程此处不再重复。类似的看下面问题。
演变1、已知函数f(x)=logm，(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的单调性，并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由。
∴， 即，
，即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根，
∴ ， ∴0＜m＜，故当0＜m＜时，满足题意条件的定义域区间［α,β］存在。
点评：本题包含了函数的性质，方程思想的应用，函数单调性的定义判断法，单调性的应用，方程根的分布，不等式组解法，体现了函数与方程、不等式之间的相互转化关系。
演变2、设，，是函数的反函数图象上不同的三点，若有且只有一个实数x使得成等差数列，求实数a的取值范围。
解：由已知可得，，又成等差数列，，故问题转化为方程只有一个实根的条件，即。
当，即，亦即时，，满足满足条件。
（2）当，即时，。，即满足条件，
故有，解得。又当时，P，Q，R三点重合，，所以所求实数a的取值范围或。
点评：运用方程的观点解决问题要注意从问题的结构入手，抓住一个关键变量，将等式看成关于这个主变量（常称主元）的方程，然后具体研究这个方程。
演变3、已知f（x）=lg，且f（1）=0，当x＞0时，总有f（x）－f（）=lgx。?
（1）求f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是，求实数m的取值范围。
原方程f（x）=lg（m+x）可化为 ，即，
令g（x）=－x==。
①当x＞0时，+（1+x）≥2（x=－1时取等号），∴g（x）≤3－2；?
②当x＜－1时，（－）+［－（x+1）］≥2（x=－－1时取等号），∴g（x）≥3+2 ，?
故方程g（x）=m的解集为时，m的取值范围为（3－2，3+2）。
点评： （1）联立方程，运用方程思想求解参数，是求参数常用的基本方法。?
（2）将m的取值看作函数g（x），运用函数思想求值域是确定参数m的取值范围的关键，其次要注意求补集思想的运用。一般地，函数g（x）的值域为D，则方程g（x）=m有解的充要条件是m∈D，解集是的充要条件是m∈CRD。
二、构造函数或方程解决有关问题。
问题2、画函数图象。
这是大纲人教版高一课本上一道复习参考题，图象如图1。
演变4、讨论方程的解的个数。
解：设，，作出函数图象,如图2，两图象交点个数即方程解的个数。故当或时，方程有两解；当时，方程有三解；当时，方程有四解。
演变5、已知二次函数（0<θ≤）。若二次方程恰有两个不相等的实根和，求实数a的取值范围．?
解： 设x=2sinθ，则f（x）=ax2+2x－2a－1， 由0<θ≤，
则－1≤2sinθ≤2，即－1≤x≤2，则问题转化为二次方程ax2+2x－2a－1=0，
在区间［－1,2］上恰有两个不相等的实根，由y=f（x）的图象（如图3所示），
得等价不等式组：
，解得实数a的取值范围为?［-3，］。
点评：本题将问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组，
体现了函数与方程的转化，同时也体现了数与形的转化，直观明了．
演变6、已知整系数二次方程在中有两个不同的解，求最小正整数m。
解：设，有两根，则f(x)可表示为，而f(x)为整系数函数，
故 ……………………（1），
………………（2），
由得 …………（3），
而 …………（4），同理…………（5）。
点评：题中除未知数外含三个字母，且均为整数，按常规列出：，再根据，进行分析，但这种解法十分麻烦。本题解法思路开拓，不生搬硬套，这是现行高考的基本要求。
演变7、对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点。已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)。（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值。
解 （1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3，故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3。
（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根，∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立。 于是Δ′=(4a)2–16a＜0，解得0＜a＜1，故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1。
（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)，又∵A、B关于y=kx+对称，
∴k=–1 设AB的中点为M(x′,y′)，∵x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的两个根，∴x′=y′=。又点M在直线上，有，即。
∵a＞0，∴2a+≥2，当且仅当2a=，即a=∈(0,1)时取等号，故b≥–，得b最小值–。
点评：本题体现了将曲线交点或函数值域等问题转化为方程问题解决。
演变8、已知抛物线，（1）设点A的坐标，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（2） 设点A的坐标为(a,0)，,求曲线上点到点A距离的最小值d，写出d=f(a)的函数表达式。
解：(1) 设点P坐标(x,y)，则，，所以，
，因此，当x=0时，, 此时，y=0。所以 ,点P坐标为(0,0)。
点评；这是一道圆锥曲线与二次函数最值相结合的题型。对于圆锥曲线上的一些动点，在其变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a,b,c之间构成函数关系，从而利用函数关系来解决。解这类问题往往先设出曲线上点的坐标，将问题转化为函数最值问题。

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