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分类讨论思想专题

考情分析
分类讨论思想是高考试题中不可缺少的一种数学思想，其本质上是“化整为零，积零为整”的解题策略．在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，逐类进行研究和解决，达到解决整个问题的目的，这一思想方法，称为“分类讨论的思想”．?
高考试题中有关分类讨论的题型有选择题、填空题和解答题；从难度看，有容易题、中档题、较难题和难题；从在题解中的地位看，有的仅为其中的一个环节，但该环节对整个解题的成败却起着举足轻重的作用，有的处于核心的位置。若“想不到、不会用”这种数学思想，题解从一开始就将陷入困境。高考中出现的有关分类讨论的试题类型主要有：1、全国和各地的高考试卷中有关分类讨论的问题年年出现，且在选择、填空和解答题中都有，在全卷总分中将占到１０％左右的份额；2、在有关分类讨论试题中，一级分类问题居多，二级及二级以上分类的问题较少，但分类讨论这一步在整个题解中却居于重要位置，甚至核心的地位，能否熟练地进行分类讨论对于解题的成功，乃至数学高考成绩是否优秀起着十分关键的作用；3、有关分类讨论的试题，其难度一般不会太大；4、有关分类讨论的试题涉及的知识面较宽，首先与函数、方程、不等式相结合，还可能与数列、向量、直线、圆、圆锥曲线、排列组合、二项式定理、导数及其应用、空间图形等内容相结合.。
真题精讲
例1、关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
分析：本题中含有参变量k以及绝对值符号，不同取值会导致问题的结论有多种情况或多种不同结果．
解：据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0点评：本题蕴含一种重要的数学思想——分类讨论思想。它是发展
学生抽象能力和逻辑思维能力、学习数学思想方法的很好的内容．
高考逐渐从结论性考察转轨为思想方法性考察。
例2、在约束条件下，
当时，的最大值的变化范围是( )
A. B. C. D.
分析：本题主要考查不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力
解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；
灵活运用分类讨论的思想 即对参数s分类讨论，从而获得答案
解：由交点为
，(1)当时可行域
是四边形OABC，图1，此时，(2)当时，可行域是
△OA，图2，此时，，故选D.
例3、如图，平面中两条直线和
相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到
直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的
“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：
①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个；
②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为（，）的
点有且仅有2个；
③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 （ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
分析：题设中已将p,q按取值不同划分，依据题意一一解之即可。
为（，）的点可以在直线l1或直线l2上，例如（p，q）=(0，1)，则点M在直线l2上，且到O点距离为1，这样的点有2个，命题②正确；
③若≠0，则p≠0，q≠0，“距离坐标”为（，）的点在两条直线相交而成的四个区域内，这样的点有且仅有4个，正确。
上述命题中，正确命题的个数是3个，选D.
例4、已知函数（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.
解：（Ⅰ）由题意，，当时，由，解得或；
当时，由，解得。综上，所求解集为；
(Ⅱ)设此最小值为。①当时，在区间[1，2]上，，
因为，，则是区间[1，2]上的增函数，所以。②当时，在区间[1，2]上，，由知 。③当时，在区间[1，2]上，，
若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，所以。
若，则，当时，，则是区间[1，]上的增函数，
点评：本题是系数与参数有关的的函数的一个综合性分步设问的问题，要求我们根据给出的信息给予应用达到研究函数性质的目的，主要考查学生的学习能力、应用能力、分类讨论等基本素质.它把函数、方程、导函数等知识有机地融合在一起，从而使学生可以从不同角度出发去寻求答案，给学生更大的空间。
例5、设函数，（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有 都有，求a的取值范围。
解：（I）f(x)的导数。由于，故. （当且仅当x=0时，等号成立。）
（II）令g(x)=f(x)-ax, 则 .
（i）若 , 当x>0时，, 故g(x)在上为增函数。所以， 时，, 即。
（ii）若a>2 ，方程正根为 ,此时 ，若 ，则，故g(x)在该区间上为减函数。所以，时， ，即，与题设矛盾。
综上，满足条件a的取值范围是。
点评：分类讨论思想方法把受多种交叉限制的问题划分成几个局部问题，在每一局部问题中，原先“不确定因素”不在影响问题解决。当这些局部问题解决完时，整个问题也随之解决。分类讨论问题涉及面广、综合性强，在高考中，从未间断对这一思想的考查。分类讨论能使我们全面考虑问题，使解题过程缜密、严谨，但要注意做到有根据、不重复、不遗漏．
例6、 已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．
（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．
分析：设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但要考虑个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，当直线与x轴平行时，直线斜率为0。
证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，
则，，
；因为与相交于点，且的斜率为，所以，．四边形的面积
．当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．综上，四边形的面积的最小值为．
点评：有关分类讨论的试题涉及的知识面较宽，首先与函数、方程、不等式相结合，还可能与数列、向量、直线、圆、圆锥曲线、排列组合、二项式定理、导数及其应用、空间图形等内容相结合.。08年高考试卷中必将体现分类讨论思想。
真题速解
例1、已知函数，则的值域是（ ）
(A). (B). (C). (D).
例2、）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员。现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
分析：对于 “至少”型组合问题用隔板法，并注意合理分类，特殊元素或特殊位置应优先考虑。
解：1老2新有种，2老1新有种，故 种。
例3、（2006年全国卷I）设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 ( )
A． B． C． D．
分析：有些排列组合问题情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从一个不同的侧面，把原问题变几个小问题．分而治之．
解： 集合A、B中分别可以有元素个数为（1，1）；（1，2）、（1、3）；（1、4）；（2、1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（4，1），则相应的选法种数有=10种； =10种； =5种； =1种； =10种； =5种； =1种； =5种； =1种； =1种；总计有，选B.
例4、）的展开式中整理后的常数项为 .
分析：写出二项展开式通项公式，再写出的通项公式对x次幂中变量k , r的取值进行讨论即可求解。
解：通项公式,其中k满足0≤k≤5，k∈N，的通项公式为,其中0≤r≤5-k,r∈N,令5-2r-k=0,得k+2r=5,则k=1,r=2;k=3,r=1;k=5,r=0，当k=1,r=2时,得展开式中项为;当k=3,r=1时, 得展开式中项为;当k=5,r=0时，得展开式中项为,综上的展开式中整理后的常数项为。
例5、已知函数f（x）=（a，b为常数）且方程f（x）－x+12=0有两个实数根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；?（2）设k＞1，解关于x的不等式f（x）＜．?
解：（1）将x1=3，x2=4代入－x+12=0，得，解方程得 ，
∴f（x）=－x（x≠2）．?
（2）不等式f（x）＜，即－x＜，即＞0，?
∴（x－2）（x－1）（x－k）＞0?。①当1＜k＜2时，解集为（1，k）∪（2，+∞）；?
②当k=2时，不等式为（x－2）2（x－1）＞0解集为（1，2）∪（2，+∞）；?
③当k＞2时，解集为（1，2）∪（k，+∞）．?
【评析】 本题主要考查分式不等式，含参不等式的解法等基础知识，考查分类整合思想的运用能力。一般的，含有参数的问题，如果由于所含参数值的不同而使所得的结果不同，或因对不同的参数值要采用不同的处理方法，这时就需要根据参数的不同取值情况进行分类讨论。
14年高考预测与复习策略
高考试题重点是考查运用知识分析问题的方法和解决问题的能力，高考命题中尽量避免刻板、繁难和偏怪的试题，避免死记硬背的内容和繁琐的计算，力图在一张考卷中考查学生在试题难度降低的情况下，如何应用高中阶段接触到的数学思想和数学方法解决问题，如何更好的体现逻辑思维能力、推理分析能力和空间想象能力，在具体的考试试卷中的表现就是试题难度在进一步的下降，强调数学思想和数学方法。
分类讨论思想是以概念的划分，集合的分类为基础的解题思想，是一种逻辑划分的思想方法。分类讨论的实质是“化整为零、积零为整”。分类的基本原则是正确，不重不漏，合理，便于讨论。对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。有关分类讨论的试题涉及的知识面较宽，首先与函数、方程、不等式相结合，还可能与数列、向量、直线、圆、圆锥曲线、排列组合、二项式定理、导数及其应用、空间图形等内容相结合.。13年高考试题必将体现分类讨论思想，且在选择、填空和解答题中都有，在全卷总分中将占到１０％以上的份额。
如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论。引起分类讨论原因，通常有以下几种：①涉及的数学概念是分类定义的（如|x|的定义，P点分线段的比等）；②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；③几何图形中点、线、面的相对位置不确定；④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；⑤数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果．?
分类讨论的一般步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果．分类时，应不重复，不遗漏；（3）逐类讨论；（4）归纳小结，整合得出结论．
另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形主要有以下几例：（1）“方程有实数解”转化为时忽略了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0；（2）等比数列的前项和公式中有个别情形：时，公式不再成立，而是。 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为，但有个别情形：a=0时，就不能如此设，应另行考虑。
对2014年数学科的备考建议：回归教材、回归通法、强调能力。
热身训练
1、曲线与曲线的 （ ）
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
2、若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为
3、已知 a>0, 则 值域为___________.
4、已知圆锥的母线为l，轴截面顶角为，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为（ ）
A. B. C. D. 以上均不对
5、从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为 （ ） A． B. C D
6、函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D.
7、设，方程表示什么曲线？
8、若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是______________。
9、已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3：7，求此椭圆、双曲线的方程。
10、解关于x的不等式:.
热身训练答案
3、解： 当a>1时，原式== 1 ；当04、解：当时，最大截面就是轴截面，其面积为； 当时，最大截面是两母线夹角为的截面，其面积为。 可见，最大截面积为，故选（D）。
5、解：含0的三位数个数有C·C·A=144，不含0的三位数个数有A=504.所有三位数个数共有144+504=648.把1～9分为三类：第一类是除以3余1的有1，4，7；第二类是除以3余2的有2，5,8.第三类是能被3整除的有3，6，9.不含有0且能被3整除的三位数个数有（C·C·C+ C+C+C）·A=180.含有0且能被3整除的三位数个数有（C·C+C）C·A= 48.故能被3整除的三位数有180+48=228.设此事件为A，则P（A）=，故不能被3整除的概率为1-P（A）=. 故选B项.
6、解：当时，满足题意。
当时，再分两种情况，由题意得
，解得 或。
综上可知，， 故选（B）。
7、 解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线；
（2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线；当且时，方程变为。
（i）当k<4时，方程表示双曲线；（ii）当4 （iii）当k=6时，方程表示圆；（iv）当6 （v）当k>8时，方程表示双曲线。
8、解：若长为4的边作为圆柱底`面圆周的展开图，，则；若长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图，则。
9、解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在x轴上，可设它们方程分别为
，依题意
且，所以两曲线方程为。
（2）若焦点在y轴上，则可设椭圆方程为，
双曲线方程为，依题意有
且， 所以两曲线方程为，。
10、解：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。
解：若a>1，则原不等式等价于；若01时，原不等式解集；当 0备用题
1、一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
解：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a, 当a=0时，直线过原点，此时直线方程为； 当时，设直线方程为，方程为。
2、设函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围.
解：（1）当k=0时，f（x）= -3x2+1，∴f（x）的单调增区间为.当，∴f（x）的单调增区间为，单调减区间为.（2）当k=0时，函数f（x）不存在极小值。当k>0时，由（1）得由条件k>0，所以k的取值范围为（2，+∞）。
3、
解：（1）当a=0时，原不等式化为 ,.
(2) 当时，原不等式化为. (i)当a<0时，原不等式化为; ,,所以不等式的解为 或 。(ii) 若a>0时，原不等式化为。
(a) 当a>1时，，不等式解为 ，(b) 当a=1时， ，不等式解为 。(c) 当0综上所述，得原不等式的解集为：当a<0时，不等式的解为；当a=0时，解集为；当01时，不等式解为。
4、 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？
分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：
（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。
解：

5、．已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和
（1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在自然数c和k，使得成立
解 （1）由Sn=4(1–），得 ，(n∈N*)；
（2）要使，只要，因为，
所以，(k∈N*)，故只要Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*）。
因为Sk+1＞Sk，(k∈N*) ① ，所以Sk–2≥S1–2=1
又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3
当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立
当k≥2时，因为，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得
Sk–2＜Sk+1–2，故当k≥2时，Sk–2＞c，从而①不成立
当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立?
因为，又Sk–2＜Sk+1–2，所以当k≥3时，Sk–2＞c，从而①成立
综上所述，不存在自然数c,k,使成立
6、设，为椭圆的两个焦点，Ｐ是椭圆上的一点，已知Ｐ、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值．
分析：本题主要考查椭圆的定义和勾股定理．首先应确定直角顶点，然后分情况讨论．
解：由已知，，根据直角的不同位置，分两种情况：
（１）若Ｐ是直角顶点，则，即，化简得，解之得，，或（舍），　∴，得＝２。
（２）若是直角顶点，则，即，
解得，，　　∴，得＝。
评注：本题没有给出直角顶点是哪一个，因此，需分情况讨论．这是根据图形的形状进行讨论的，此外还有根据元素性质，位置变化等情况分类的．
专题练习
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为(　　)
A．4或5　　　　　　　　 B．4或32[来源:学科网ZXXK]
C．5或32 D．4,5或32
解析：若a5为偶数，则a6＝＝1，即a5＝2.
若a4为偶数，则a5＝＝2，∴a4＝4；[来源:学科网]
若a4为奇数，则有a4＝(舍)．
若a3为偶数，则有a3＝8；若a3为奇数，则a3＝1.
若a2为偶数，则a2＝16或2；
若a2为奇数，则a2＝0(舍)或a2＝(舍)．
若a1为偶数，则a1＝32或4；
若a1为奇数，有a1＝5或a1＝(舍)．
若a5为奇数，有1＝3a5＋1；所以a5＝0，不成立．
综上可知a1＝4或5或32.
答案：D
点评：本题考查了分类讨论的应用，要注意数列中的条件是an为奇数或偶数，而不是n为奇数或偶数．
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于(　　)
A．－3 B．－
C．3 D.或－3
解析：当a<0时，在x∈[－3,2]上，当x＝－1时取得最大值，得a＝－3；
当a>0时，在x∈[－3,2]上，当x＝2时取得最大值，得a＝.
答案：D
3．对一切实数，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
解析：本题是不等式恒成立问题，可以构造函数，把函数转化为y＝x＋型，通过求解函数的最值得到结论．由不等式x2＋a|x|＋1≥0对一切实数恒成立．①当x＝0时，则1≥0，显然成立；②当x≠0时，可得不等式a≥－|x|－对x≠0的一切实数成立．令f(x)＝－|x|－＝－≤－2.当且仅当|x|＝1时，“＝”成立．
∴f(x)max＝－2，故a≥f(x)max＝－2.
答案：B
4．0(ax)2的解集中的整数恰有3个，则(　　)
A．－1C．1解析：(x－b)2－(ax)2>0，(x－b－ax)(x－b＋ax)>0.
即[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0. ①
令x1＝，x2＝.
∵0当1－a>0时，若0若－1当1－a<0时，即a>1时，需x1＝<－2，a＋1>b>－2(1－a)，∴a<3.
综上，1答案：C
5．已知a＝(－1，－2)，b＝(1，λ)．若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：∵〈a，b〉为钝角，∴a·b<0，即有λ>－.又当λ＝2时，a与b反向．故选C.
答案：C
6．对任意两实数a，b定义运算“*”如下，a*b＝则函数f(x)＝log (3x－2)*log2x的值域为(　　)
A．(－∞，0] B．[log2，0]
C．[log2，＋∞) D．R
解析：根据题目给出的情境，得f(x)＝log (3x－2)*log2x＝log2*log2x＝由于y＝log2x的图象在定义域上为增函数，可得f(x)的值域为(－∞，0]．故选A.
答案：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围为________．
(2)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a应满足g(0)＝a＋1<0，解得a<－1.
(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)＝a＋1，a＝－1，此时可求得函数g(t)的另一个零点是1，符合题目要求．综合(1)(2)(3)知a的取值范围是a≤2－2.
答案：a≤2－2
8．连掷两次骰子得到的点数为m和n，记向量a＝(m，n)，与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，]的概率是________．
解析：∵m>0，n>0，
∴a＝(m，n)与b＝(1，－1)不可能同向．
∴夹角θ≠0.∴θ∈(0，]?a·b≥0，∴m≥n.
当m＝6时，n＝6,5,4,3,2,1；
当m＝5时，n＝5,4,3,2,1；
当m＝4时，n＝4,3,2,1；
当m＝3时，n＝3,2,1；
当m＝2时，n＝2,1；
当m＝1时，n＝1；
∴概率是＝.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
答案：
9．当点M(x，y)在如图所示的△ABC内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1,2)．则实数k的取值范围是________．
解析：如图，延长BC交y轴于点D，目标函数z＝kx＋y中z的几何意义是直线kx＋y－z＝0在y轴上的截距，由题意得当此直线经过点C(1,2)时，z取得最大值，显然此时直线kx＋y－z＝0与y轴的交点应该在点A和点D之间，而kAC＝＝1，kBD＝kBC＝＝－1，直线kx＋y－z＝0的斜率为－k，所以－1≤－k≤1，解得k∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
10．设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为________．
解析：若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2.
∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2.
解得|PF1|＝，|PF2|＝.∴＝.
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2.
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2.∴＝2.
综上，＝或2.
答案：或2
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)已知a>0，且a≠1，数列{an}的前n项和为Sn，它满足条件＝1－.数列{bn}中，bn＝an·lgan.
(1)求数列{bn}的前n项和Tn；
(2)若对一切n∈N*，都有bn分析：(1)本题从＝1－可以得出Sn，进而由an和Sn的关系an＝可求出数列{an}的通项，也就求出了{bn}的通项公式．(2)应注意分a>1和0解：(1)＝1－，∴Sn＝.
当n＝1时，a1＝S1＝＝a；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝an.
∴an＝an(n∈N*)．此时，bn＝an·lgan＝n·anlga.[来源:Z#xx#k.Com]
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝lga(a＋2a2＋3a3＋…＋nan)．
设un＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，∴(1－a)un＝a＋a2＋a3＋…＋an－nan＋1＝－nan＋1.
∴un＝－.
∴Tn＝lga[－]．
(2)由bn①当a>1时，由lga>0，可得a>.
∵<1(n∈N*)，a>1，∴a>对一切n∈N*都成立，此时a的范围为a>1.
②当0(n＋1)a，即a<，即a<min.
∵≥，∴a<时，对一切n∈N*，a<都成立，此时，a的范围为0由①②知：对一切n∈N*，都有bn1.
12．(13分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上两点．已知m＝，n＝，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k；
(3)试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
分析：(1)由e＝＝及b＝1可求a.(2)设出AB的直线方程，代入椭圆方程，结合根与系数的关系及条件m·n＝0，解出k值．(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解．
解：(1)∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝＝＝.
∴a＝2，c＝.椭圆的方程为＋x2＝1.
(2)由题意，设AB的方程为y＝kx＋，
由整理得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
由已知m·n＝0得：
＋＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝x1x2＋k(x1＋x2)＋[来源:学科网ZXXK]
＝＋k·＋＝0.解得k＝±.
(3)①当直线AB斜率不存在时，即x1＝x2，
y1＝－y2，由m·n＝0得x－＝0?y＝4x.
又A(x1，y1)在椭圆上，所以x＋＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝，S＝|x1||y1－y2|＝1＝|x1|·2|y1|＝1，所以三角形面积为定值．
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b，代入＋x2＝1，得：(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝，x1x2＋＝0?x1x2＋＝0，代入整理得2b2－k2＝4，
∴S＝·|AB|＝|b|＝＝＝1.
所以△ABC的面积为定值．
点评：本题是平面向量与解析几何的交汇题，综合考查了椭圆方程，离心率，定值等知识与方法，当直线位置不确定时，应注意分斜率存在与斜率不存在讨论．

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