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数形结合思想专题
数学解题中的数形结合，指的是对题目中的条件、结论及题意背景从代数几何两方面考虑，在两方面的结合处寻找思路，数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。在解题过程中，巧妙的应用数形结合这一方法，可以使复杂抽象的问题，变的清晰明了。实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。以下分三个方面介绍。
一、利用函数的图象
解方程问题
方程f(x)=g(x)的实数解是曲线y=f(x)与y=g(x)的交点横坐标。特殊方程f(x)=0的实数解是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。
已知是的根，是的根，则______________.
解：利用原函数与反函数的图象对称性求解。设， ，
，如图1，交点。因为A，B关于y=x
对称，所以，， 所以。
若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0有_______个根，
两方程所有根之和为____________.
解：设，，由两函数图象关于
对称，知两函数图象与x轴交点个数相同，所以方程f(1-2x)=0也有三个根，且这六个根之和为。
例3、已知方程，，若方程有两个不相等的
实根，则=__________。
解数列问题
等差数列中，，前项和为，且，，则当取最大值时，n=________.
解：因为是n的二次函数，所以，其图象是过原点的抛物线上横坐标为正整数的点集。由题可知，该数列公差小于0，对应的抛物线开口向下，与横轴一个
交点为0，另一交点坐标在区间(9,10)内，如图3。由此可得，抛物线
的顶点横坐标在区间(4.5,5)内，所以，当n=5时，最大。
解不等式问题
已知的图象如图4所示，其定义域为，
解不等式
分析：对于给出图形的抽象函数，进行求解时利用所给函数的性质结合图形往往比较简捷。
解：，即异号，结合图形可知，当x>2时，，
当时，，所以的解集为{x|x>2或x<-2}。
点评：数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象
思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
二、 利用曲线方程的图形
4、求概率
例5 、在长度为a的线段内任取两点，将线段分为三段，以这三段为边能
构成三角形的概率为_________________.
解： 设三边为x,y,a-(x+y)，则 0由三边性质得 x-[a-(x+y)]a-(x+y) ，
所以 ，作出满足条件0示的平面区域，如图5阴影部分所示。由此可得，三段为边能构成三角形
的概率为。
5、求最值
例6、如果实数x,y满足，则的最大值为（ ）

类题演变1、 如果实数x,y满足 ，求y-3x的最大值与最小值。
解：设，则y=3x+b，则问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为3，在y轴上的截距最大或最小值 。 由图7可见，直线y=3x+b与椭圆相切时，截距取最值。
由。由，得，故y-3x最大值为13，最小值为。
问题3 利用几何意义转化、构造
6、证明不等式
例7、已知α、β、γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证：tanα+tanβ+tanγ≥。
证明：由已知条件作长方体ABCD—A1B1C1D1，如图8，使∠C1AD=α，∠C1AB=β，∠C1AA1=γ，设AD=a，AB=b，AA1=c，则 tanα=，tanβ=，tanγ=，所以tanα+tanβ+tanγ=≥≥，故tanα+tanβ+tanγ≥。
点评：(1)还可将已知条件改为sin2α+sin2β+sin2γ=2；
(2)运用此模型，还可设α、β、γ分别为AC1与C1B、C1A1、C1D所成的角，则cos2α+cos2β+cos2γ=2(或sin2α+sin2β+sin2γ=1)。
7、求角的范围
例8、已知向量=(2,0),=(2,2),=(cosα,sinα)，则向量与
的夹角范围为（ ）
A. B. C. D.
解：如图9所示，点A的轨迹是以C(2,2)为圆心, 为半径的圆.过原点O作此圆的切线,切点分别为M,N.连CM、CN.∵||=2,∴||=||=，知∠COM=∠CON=。又 ∵∠COB=，
∴∠MOB=，∠NOB=π，选D。
8、求函数值域
例9．求函数的值域。
解：由定义知1-x2≥0且2+x≠0，∴ -1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈[0，π]，则有，可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])与定点A（-2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程，θ∈[0，π]，即x2+y2=1（y∈[0，1]是半圆。设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2，∴ ，∴0≤≤,即函数的值域为[0，]。
点评：1、有些代数式经变形后具备特定的几何意义，此时可考虑运用数形结合求解，如：比值——可考虑与斜率联系；根式——可考虑与距离联系；二元一次式——可考虑与直线的截距相联系。
2、本题也可如下转化：令u=，v=2+x，则(u+2)2+v2=1（v≥0），求的最大值，即求半圆(u-1)2+v2=1（v≥0）上的点与原点连线斜率的最大值，易知。
类题演变2、 求函数的值域。
解: 的形式类似斜率公式，可看作是过两点的直线斜率。由于点P在单位圆上，如图10所示，显然， 。设过点的圆的切线方程为，则有，解得，即， ，所以函数值域为。
类题演变3 、 求函数的值域。
分析：等号右边两个根号内均为的一次式，可假设转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难。
解：设，则，且 ，所给函数转化为直线与椭圆在第一象限的部分（包括端点）有公共点时u的最值问题
（如图11），易得。相切于第一象限时，u取最大值。由，消去y得.由，得，取，，故函数值域为。
小结 利用数形结合思想解决问题，要注意数与形的完整结合，由数想形时，一定要准确、全面，特别是图形一定要准确。数形结合常用的辅助工具：数轴(直角坐标系)、两点间距离公式、向量的模，函数的图象，曲线的方程，直线的斜率、截距，二元一次不等式表示平面区域等．?
专题练习
　数形结合思想
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．3
C. D.
解析：
设P到l1的距离为d1，P到l2的距离为d2，由抛物线的定义知d2＝|PF|，F(1,0)为抛物线焦点，所以d1＋d2＝d1＋|PF|.过F作FH⊥l1于H，设F到l1的距离为d3，则d1＋|PF|≥d3.当且仅当H，P，F三点共线时，d1＋d2最小，由点到直线距离公式易得d3＝＝2.
答案：A
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：如图所示，根据直线与渐近线斜率的大小关系：＝＝≥，从而e≥2.
答案：C
3．已知＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cosα，sinα)，则向量与的夹角的取值范围为(　　)
A．[0，] B．[，π]
C．[π，] D．[，π]
解析：
如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，B(2,0)，C(2,2)，A点轨迹是以为半径的圆C，OD，OE为⊙C的切线，易得∠COB＝，∠COD＝∠COE＝，当A点位于D点时，与的夹角最小为，当A点位于E点时，与的夹角最大为π，即夹角的取值范围为[，π]．
答案：D
4．函数y＝3cos与y＝3cos的图象和两直线y＝±3所围成的封闭区域的面积为(　　)
A．8π B．6π
C．4π D．以上都不对
5．设定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0有3个不同的实数解x1，x2，x3，且x1A．x＋x＋x＝14 B．1＋a＋b＝0
C．x1＋x3＝4 D．x1＋x3>2x2
解析：作出f(x)的图象，图象关于x＝2对称，且x＝2时，f(x)＝1，故f(x)＝1有3个不同实数根x，除此之外，只有两个根或无根．又f2(x)＋af(x)＋b＝0有3个不同的实数解x1答案：D
6．若函数f(x)＝logax－x＋a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．01
C．a>0且a≠1 D．1解析：设函数y＝logax(a>0且a≠1)和函数y＝x－a，则函数f(x)＝logax－x＋a有两个零点，就是函数y＝logax(a>0且a≠1)与函数y＝x－a有两个交点，由图象可知当01时，函数y＝logax图象过点(1,0)，而直线y＝x－a与x轴交点(a,0)在点(1,0)右侧，所以一定有两个交点，故a>1.
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．设有一组圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题：
A．存在一条定直线与所有的圆均相切[来源:学科网ZXXK]
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交[来源:Zxxk.Com]
D．所有的圆不经过原点
其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)
解析：假设圆经过原点，则有(0－k＋1)2＋(0－3k)2＝2k4，即2k4－10k2＝－2k＋1，而上式左边为偶数，右边为奇数，故矛盾，所以D正确．而所有圆的圆心轨迹为即y＝3x＋3.此直线与所有圆都相交，故B正确．由于圆的半径在变化，故A，C不正确．
答案：BD
8．当0≤x≤1时，不等式sinx≥kx，则实数k的取值范围是________．
解析：
在同一坐标系下，作出y1＝sinx与y2＝kx的图象，要使不等式sinx≥kπ成立，由图可知需k≤1.
答案：k≤1
9．函数f(x)＝x3＋ax2－bx在[－1,2]上是单调减函数，则a＋b的最小值为________．
解析：∵y＝f(x)在区间[－1,2]上是单调减函数，
∴f′(x)＝x2＋2ax－b≤0在区间[－1,2]上恒成立．
结合二次函数的图象可知f′(－1)≤0且f′(2)≤0，
即也即[来源:学科网ZXXK]
作出不等式组表示的平面区域如图：
当直线z＝a＋b经过交点P(－，2)时，z＝a＋b取得最小值，且zmin＝－＋2＝.∴z＝a＋b取得最小值.
答案：
点评：由f′(x)≤0在[－1,2]上恒成立，结合二次函数图象转化为关于a，b的二元一次不等式组，再借助线性规划问题，采用图解法求a＋b的最小值．
10．用计算机产生随机二元数组成区域对每个二元数组(x，y)，用计算机计算x2＋y2的值，记“(x，y)”满足x2＋y2<1为事件A，则事件A发生的概率为________．
解析：本题为几何概型问题，应转化为图形的面积比求解．如图，画出不等式组及(x，y)满足x2＋y2<1的平面区域．
∴P(A)＝.
答案：
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[来源:学.科.网]
11．(12分)若关于x的方程x2＋2kx＋3k＝0的两根都在－1和3之间，求k的取值范围．
解：[来源:Zxxk.Com]
令f(x)＝x2＋2kx＋3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)＝0的解，由y＝f(x)的图象(如图)可知，要使两根都在－1,3之间，只需f(－1)>0，f(3)>0，f＝f(－k)<0，－1<－k<3同时成立，解得－112．(13分)(四川)设椭圆＋＝1，(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，右准线为l，M、N是l上的两个动点，·＝0.
(1)若||＝||＝2，求a、b的值；
(2)求证：当|MN|取最小值时，＋与共线．
解：由a2－b2＝c2与e＝＝，得a2＝2b2.
F1(－a,0)，F2，l的方程为x＝a.
设M(a，y1)，N(a，y2)
则＝，＝
由·＝0得
y1y2＝－a2<0 ①
(1)由||＝||＝2，得＝2 ②
＝2 ③
由①②③三式，消去y1，y2，并求得a2＝4故a＝2，
b＝＝.
(2)证明：|MN|2＝(y1－y2)2＝y＋y－2y1y2
≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝6a2.
当且仅当y1＝－y2＝a或y2＝－y1＝a时，
|MN|取最小值a.
此时，＋＝＋
＝(2a，y1＋y2)＝(2a,0)＝2.
故＋与共线．
参考题 A组
1、在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1
时，使f（）＞恒成立的函数的个数是 （ B ）?
A．0 B．1 C．2 D．3?
解： 用图像法，只有上凸函数才满足题意，即只有y=log2x才满足上式，故选B．?
2、函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0,2］的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点，则k的取值范围 。
解：f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0,2］=，
如（1图）所示,得1
3、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度
m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路
程以速度n行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
解：设从出发地点到指定地点的路程为S，甲乙两人走完这段路程所用时间分别为，要回答题目中的问题，只要比较的大小即可。下面利用图象求解，不妨假设m>n， 甲、乙均先以速度m行走，后以速度n行走，则甲行走时，所走路程大于，如（2图）所示，可见 ，
从而知甲比乙先到达指定地点。
4、已知 , 求4a-2b的范围。
解：在坐标平面aob上，画出直线a+b=2,a+b=4,a-b=1,a-b=2，如（3图），
。 设函数z=4a-2b，则,易看出直线4a-2b=z, 过图形区域最左边的点时，；过最右边的点C(3,1)时，。
5、已知抛物线 ，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 。
分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值。
解： 如（4图），, 焦点F(1,0) 。 由点A引准线x= -1的垂线 ，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. 。
由, 得 为所求点.。
若另取一点 ， 显然 。
[点悟] 利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求 的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。
6、函数y=的定义域是(－∞,1)∪,则其值域是 ( )
A.(－∞,0)∪ B.? . ?
C D.(0,+∞)
【解析】.有数去配形.如图， 将反比例函数y=的图像
右移1个单位，其中心为（1，0），如图所示.当x∈(－∞,1)∪时，y∈(－∞,0)∪,选A.
【点评】 依条件准确描出图像，答案即自动得出。
7、若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到侧棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是 （ ）
【分析】本例是04·重庆卷中的一道好题，显然，这里只有形的躯壳，而不见数的灵魂，所以解题
的方向便是进行数的分析。
【解】如图，PH⊥面BCD于H，PQ⊥AB于Q，且有PH=PQ.作HM⊥BC于M连PM.由三垂线定理知
PM⊥BC，∴∠PMH是二面角A—BC—D的平面角，
设为θ,显然θ为定值，且PM≥PH(当且仅当面ABC⊥
面BCD时，PM=PH)，∴PM≥PQ,即≥1为常数，
故所求轨迹为偏向于棱AB的线段，选D.
【评注】 若面ABC⊥面BCD，则点M的轨迹即为∠ABC的平分线，
据此已可排除A、B.
参考题 B组
1.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1,且与点B（3，1）距离为2的直线共有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.满足条件|z－i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹 ( )
A.一条直线 B两条直线 C.圆 D.椭圆
3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈［3,4］时，f(x)=x－2,则 ( )
A. B.
C.f(sin1)4.若不等式x2－logax<0在(0,0.5)内恒成立，则a的取值范围是 （ ）
A.≤a<1 B.01
5. P是抛物线y=x2上任意一点，则当P和直线x+y+2=0上的点距离最小时，P与该抛物线的准线距离是 （ ） A. B. C.1 D.2
6.方程的实根共有 （ ）
A.1个 B.2个? C.3个 D.4个
7.若方程=2有实数解，则a的取值范围是 （ ）
A.(－2,0)∪(0,) B. C.(－2,)? D.[-2，]
8.函数F(x)的定义域为R，且x≠1.已知f(x+1)为奇函数，当x<1时，f(x)=2x2－x+1，那么当x>1时，f(x)的减区间是 （ ）
A. B. C. D.
答案
1.B 为数配形. 如图，与A（1，2）距离为1的点在圆A上；
与B（3，1）距离为2的点在圆B上.显然，同时满足
这两个条件的直线只有该二圆的两条外公切线,(由于
|AB|=<1+2，故不存在满足该二条件的与AB垂直的直线).
4.A 为数配形. 在同一坐标平面内作y1=x2,y2=logax的图像，如图，由题意可知必有0y1在（0,0.5）内恒成立，必须且只需P点在A的右边，而P点与A点重合时，a=,根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得≤a<1.
5.B为数配形. 作出y=x2及x+y+2=0的图像如图所示，设与x+y+2=0平行的抛物线切线为L，由图可知，切点P0到x+y+2=0的距离最小，设P0（x0,y0）,则L方程为y=－x+b与抛物线y＝x2联立得：x0=－,则y0=.所以P0到抛物线准线y=－的距离为.
6.A 为数配形.设y1=变形得(x－2)2+=8,∴y1的图像是以（2,0）为圆心，为半径的上半圆，设y2=,?变形得： (x－1)·(y2+1)=1,y2的图像是以直线x=1,y=－1为渐近线的双曲线，如图所示，两曲线仅一个交点，即原方程只有1个实根.

7.A为数配形. 原方程可变形为lg=lg(x－a),设y=,它表示以原点为圆心，为半径的半圆，如图，设y=x－a(y>0),它表示斜率为1的射线（不含端点），其中a的几何意义是射线在x轴上的端点，如图所示，当－2≤a<时，两曲线有交点，又因为x－a≠1,令x=1+a代入方程2－x2－(x－a)2=0,解得a=0或a=－2,所以a≠0且a≠－2,故a∈(－2,0)∪(0,).
8.C为数配形. 由f(x+1)是奇函数，可知f(x)关于点(1,0)中心对称，于是可画出函数f(x)的图像如图所示，则由图可知，当x>1时，f(x)的减区间是。

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