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2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷4.2提取公因式
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·萍乡期末）与的公因式是（　　）
A． B．4mm C．2mm D．
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：与的公因式是2mn，
故答案为：C．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
2．（2022八下·泾阳期末）在多项式8a3b2﹣4a3bc中，各项的公因式是（　　）
A．4ab2 B．4a2b2 C．4a3bc D．4a3b
【答案】D
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x，
∵两项的字母部分a2b3与a3bc都含有字母a和b，其中a的最低次数是3，b的最低次数是1 ，
∴多项式8a2b3﹣4a3bc中各项的公因式为4a3b，
故答案为：D.
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式.
3．（2022八下·郓城期末）用提取公因式法将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
4．（）下列各式中，没有公因式的是（　　）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】A、∵ax-bx=x(a-b)，by-ay=-y(a-b)，∴有公因式(a-b)，不符合题意；
B、∵6xy-8x2y=2xy(-4x-3)，∴有公因式(-4x-3)，不符合题意；
C、 与 ，没有公因式，符合题意；
D、 与 ，有公因式，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把每项各式分别分解因式，再观察是否有公因式，即可作答.
5．（2021八上·东平月考）代数式 ， ， 中的公因式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：因为5a2b（b a）＝ 5a2b（a b）， 120a3b3（a2 b2）＝ 120a3b3（a＋b）（a b），
所以代数式15a3b3（a b），5a2b（b a）， 120a3b3（a2 b2）中的公因式是5a2b（b a）．
故答案为：A．
【分析】 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。根据公因式的定义求解即可。
6．（2022七上·博兴期中）下列添括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据添括号法则逐项判断即可.
7．（2021八上·拜泉期中）下列从左到右的变形，错误的是（　　）
A．﹣m+n＝﹣（m+n） B．﹣a﹣b＝﹣（a+b）
C．（m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3 D．（y﹣x）2＝（x﹣y）2
【答案】A
【知识点】有理数的乘方；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A. ﹣m+n＝﹣（m-n），符合题意；
B. ﹣a﹣b＝﹣（a+b），不符合题意；
C. （m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3，不符合题意；
D. （y﹣x）2＝（x﹣y）2，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用添括号法则，有理数的乘方计算求解即可。
8．（2021七上·即墨期中）下列各式中，与代数式a+b﹣c的值相等的足（　　）
A．a﹣（b+c） B．a+（b﹣c） C．（a﹣b）+c D．a+（c﹣b）
【答案】B
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、a-（b+c）=a-b-c，不相等，不符合题意；
B、a+（b-c）=a+b-c，相等，符合题意；
C、（a-b）+c=a-b+c，不相等，不符合题意；
D、a+（c-b）=a-b+c，不相等，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据去括号和添括号的计算方法逐项判断即可。
9．（2022八上·蓬莱期中）下列因式分解正确的是（　　）
A．mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=﹣m（n﹣m）（n+1）
B．6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+q﹣1）
C．3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x+2）
D．3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x+y）
【答案】A
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：A．mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=m（m﹣n）（n+1）=﹣m（n﹣m）（n+1），故原选项符合题意；
B.6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+3q﹣1），故原选项不符合题意；
C.3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x﹣2），故原选项不符合题意；
D.3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x﹣y），故原选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用提公因式的因式分解的计算方法逐项判断即可。
10．已知 可因式分解成 ，其中a，b，c均为整数，则 （　　）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
【答案】A
【知识点】代数式求值；提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：原式=（13x-17）（19x-31-11x+23）=（13x-17）（8x-8），
∴原式可因式分解为（ax+b）（8x+c），
∴8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，
∴c=-8，a=13，b=-17，
∴a+b+c=13-17-8=-12.
故答案为：A.
【分析】先将原式利用提公因式法正确因式分解，再由原式可因式分解成（ax+b）（8x+c），进而得8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，再对应关系求得a、b、c的值，即可求解问题.
二、填空题（每题3分，共27分）
11．（2022八上·淄川期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是　 　．
【答案】
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：的公因式为．
故答案为：．
【分析】利用公因式的定义求解即可。
12．（2022八下·佛山月考）的公因式是　 　．
【答案】3ma
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：
∴公因式是3ma，
故答案为：3ma．
【分析】利用公因式的定义求解即可。
13．（2022七上·房山期中）把算式放入前面带有“”的括号内：　 　．
【答案】
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：
故答案为： ．
【分析】利用添括号的计算方法求解即可。
14．（2021七下·乐清期末）添括号：3（a-b）2-a+b=3（a-b）2-（　 　）
【答案】a-b
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：原式=3（a-b）2-（a-b）.
故答案为：a-b.
【分析】利用添括号法则，可得答案.
15．在横线里填上适当的项．
①a﹣2b﹣c=a﹣（　 　）；
②a﹣2b+c=a﹣（　 　）；
③a+b﹣c=a+（　 　）；
④a﹣b+c﹣d=（a﹣d）﹣（　 　）
【答案】2b+c；2b﹣c；b﹣c；b﹣c
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：①a﹣2b﹣c=a﹣（2b+c）；
②a﹣2b+c=a﹣（2b﹣c）；
③a+b﹣c=a+（b﹣c）；
④a﹣b+c﹣d=（a﹣d）﹣（b﹣c）．
故答案是：2b+c；2b﹣c；b﹣c；b﹣c.
【分析】根据添括号法则：括号前面是加号时，被括到括号内的各式不变。括号前面是减号时，被括到括号内加号变减号，减号变加号进行填空即可.
16．（2022九上·金华月考）已知a－b=2，ab=1，则a2b－ab2的值为　 　．
【答案】2
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：∵a－b=2，ab=1，
∴a2b－ab2=ab（a-b）=1×2=2.
故答案为：2.
【分析】先把原式提公因式变形为ab（a-b），再代入进行计算，即可得出答案.
三、计算题（共3题，共25分）
17．分解因式.
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【分析】（1）利用提公因式法，提取公因式3mn，将各自剩余项写在括号里即可；
（2）利用提公因式法，提取公因式x-y，将各自剩余项写在括号里，化简整理即可；
（3）利用提公因式法，提取公因式2xm-1yn-1，将各自剩余项写在括号里即可.
18．用简便方法计算： .
【答案】解：原式
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【分析】先提取公因式2017，进行因式分解，再整理计算即可求值.
19．（2021八上·任城期中）利用因式分解计算：
（1）22014﹣22013；
（2）（﹣2）101+（﹣2）100．
【答案】（1）解：22014﹣22013＝2×22013﹣22013＝（2-1）×22013=22013
（2）解：（﹣2）101+（﹣2）100＝（﹣2）×（﹣2）100+（﹣2）100＝（-2+1）×（﹣2）100=﹣2100．
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用提公因式法分解因式即可。
四、解答题（共4题，共38分）
20．指出下列各组式子的公因式:
（1）5a3,4a2b,12abc;
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;
（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);
（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).
【答案】（1）a
（2）3x2y
（3）a(a+b)
（4）xn-1
【知识点】公因式
【解析】【分析】此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。
（1）易知公因式为a；
（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。
（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。
（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。
21．（2021八下·陕州期中）已知a＝3+ ，b＝3﹣ ，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2b+ab2.
【答案】（1）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（3+ +3﹣ ）（3+ ﹣3+ ）
＝6×2
＝12
（2）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2b+ab2＝ab（a+b）
＝（3+ ）（3﹣ ）（3+ +3﹣ ）
＝（9﹣2）×6
＝7×6
＝42.
【知识点】平方差公式及应用；提公因式法因式分解
【解析】【分析】（1）利用平方差公式可将待求式变形为(a+b)(a-b)，然后代入计算即可；
（2）待求式可变形为ab(a+b)，然后代入计算即可.
22．已知：x2+bx+c（b、c为整数）是3（x4+6x2+25）及3x4+4x2+28x+5的公因式，求b、c的值．
【答案】解：∵二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，
∴也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式，而3（x4+6x2+25）﹣（3x4+4x2+28x+5）=14（x2﹣2x+5），
∴x2﹣2x+5=x2+bx+c，
∴b=﹣2，c=5．
【知识点】公因式
【解析】【分析】根据二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，我们可得到x2+bx+c也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式．通过做差，就实现了降次，最高次幂成为2，与二次三项式x2+bx+c关于x的各次项系数对应相等，解得b、c的值．
23．（2020八下·皇姑期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是　 　（填提公因式法或公式法中的一个）；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3＝　 　；
1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝　 　（直接填空）；
（3）运用上述结论求值：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3，其中x＝ ﹣1.
【答案】（1）提公因式法
（2）（1+x）4；（1+x）n+1
（3）解： （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）4，
当x＝ ﹣1时，原式＝（1+ ﹣1）4＝（ ）4＝36.
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：（1）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）4；
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n-1]
＝（1+x）n[（1+x）（1+x）n-n]
＝（1+x）n（1+x）
＝（1+x）n+1；
【分析】（1）观察阅读材料中的过程，确定出分解因式方法即可；（2）由题意根据题中的方法确定出所求即可；（3）由题意可知原式利用题中的方法化简，把x的值代入计算即可求出值.
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2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷4.2提取公因式
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·萍乡期末）与的公因式是（　　）
A． B．4mm C．2mm D．
2．（2022八下·泾阳期末）在多项式8a3b2﹣4a3bc中，各项的公因式是（　　）
A．4ab2 B．4a2b2 C．4a3bc D．4a3b
3．（2022八下·郓城期末）用提取公因式法将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
4．（）下列各式中，没有公因式的是（　　）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
5．（2021八上·东平月考）代数式 ， ， 中的公因式是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022七上·博兴期中）下列添括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021八上·拜泉期中）下列从左到右的变形，错误的是（　　）
A．﹣m+n＝﹣（m+n） B．﹣a﹣b＝﹣（a+b）
C．（m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3 D．（y﹣x）2＝（x﹣y）2
8．（2021七上·即墨期中）下列各式中，与代数式a+b﹣c的值相等的足（　　）
A．a﹣（b+c） B．a+（b﹣c） C．（a﹣b）+c D．a+（c﹣b）
9．（2022八上·蓬莱期中）下列因式分解正确的是（　　）
A．mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=﹣m（n﹣m）（n+1）
B．6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+q﹣1）
C．3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x+2）
D．3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x+y）
10．已知 可因式分解成 ，其中a，b，c均为整数，则 （　　）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
二、填空题（每题3分，共27分）
11．（2022八上·淄川期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是　 　．
12．（2022八下·佛山月考）的公因式是　 　．
13．（2022七上·房山期中）把算式放入前面带有“”的括号内：　 　．
14．（2021七下·乐清期末）添括号：3（a-b）2-a+b=3（a-b）2-（　 　）
15．在横线里填上适当的项．
①a﹣2b﹣c=a﹣（　 　）；
②a﹣2b+c=a﹣（　 　）；
③a+b﹣c=a+（　 　）；
④a﹣b+c﹣d=（a﹣d）﹣（　 　）
16．（2022九上·金华月考）已知a－b=2，ab=1，则a2b－ab2的值为　 　．
三、计算题（共3题，共25分）
17．分解因式.
（1） ；
（2） ；
（3） .
18．用简便方法计算： .
19．（2021八上·任城期中）利用因式分解计算：
（1）22014﹣22013；
（2）（﹣2）101+（﹣2）100．
四、解答题（共4题，共38分）
20．指出下列各组式子的公因式:
（1）5a3,4a2b,12abc;
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;
（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);
（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).
21．（2021八下·陕州期中）已知a＝3+ ，b＝3﹣ ，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2b+ab2.
22．已知：x2+bx+c（b、c为整数）是3（x4+6x2+25）及3x4+4x2+28x+5的公因式，求b、c的值．
23．（2020八下·皇姑期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是　 　（填提公因式法或公式法中的一个）；
（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3＝　 　；
1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝　 　（直接填空）；
（3）运用上述结论求值：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3，其中x＝ ﹣1.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：与的公因式是2mn，
故答案为：C．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
2．【答案】D
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x，
∵两项的字母部分a2b3与a3bc都含有字母a和b，其中a的最低次数是3，b的最低次数是1 ，
∴多项式8a2b3﹣4a3bc中各项的公因式为4a3b，
故答案为：D.
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式.
3．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
4．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】A、∵ax-bx=x(a-b)，by-ay=-y(a-b)，∴有公因式(a-b)，不符合题意；
B、∵6xy-8x2y=2xy(-4x-3)，∴有公因式(-4x-3)，不符合题意；
C、 与 ，没有公因式，符合题意；
D、 与 ，有公因式，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把每项各式分别分解因式，再观察是否有公因式，即可作答.
5．【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：因为5a2b（b a）＝ 5a2b（a b）， 120a3b3（a2 b2）＝ 120a3b3（a＋b）（a b），
所以代数式15a3b3（a b），5a2b（b a）， 120a3b3（a2 b2）中的公因式是5a2b（b a）．
故答案为：A．
【分析】 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。根据公因式的定义求解即可。
6．【答案】D
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据添括号法则逐项判断即可.
7．【答案】A
【知识点】有理数的乘方；添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A. ﹣m+n＝﹣（m-n），符合题意；
B. ﹣a﹣b＝﹣（a+b），不符合题意；
C. （m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3，不符合题意；
D. （y﹣x）2＝（x﹣y）2，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用添括号法则，有理数的乘方计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、a-（b+c）=a-b-c，不相等，不符合题意；
B、a+（b-c）=a+b-c，相等，符合题意；
C、（a-b）+c=a-b+c，不相等，不符合题意；
D、a+（c-b）=a-b+c，不相等，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据去括号和添括号的计算方法逐项判断即可。
9．【答案】A
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：A．mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=m（m﹣n）（n+1）=﹣m（n﹣m）（n+1），故原选项符合题意；
B.6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+3q﹣1），故原选项不符合题意；
C.3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x﹣2），故原选项不符合题意；
D.3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x﹣y），故原选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用提公因式的因式分解的计算方法逐项判断即可。
10．【答案】A
【知识点】代数式求值；提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：原式=（13x-17）（19x-31-11x+23）=（13x-17）（8x-8），
∴原式可因式分解为（ax+b）（8x+c），
∴8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，
∴c=-8，a=13，b=-17，
∴a+b+c=13-17-8=-12.
故答案为：A.
【分析】先将原式利用提公因式法正确因式分解，再由原式可因式分解成（ax+b）（8x+c），进而得8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，再对应关系求得a、b、c的值，即可求解问题.
11．【答案】
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：的公因式为．
故答案为：．
【分析】利用公因式的定义求解即可。
12．【答案】3ma
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：
∴公因式是3ma，
故答案为：3ma．
【分析】利用公因式的定义求解即可。
13．【答案】
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：
故答案为： ．
【分析】利用添括号的计算方法求解即可。
14．【答案】a-b
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：原式=3（a-b）2-（a-b）.
故答案为：a-b.
【分析】利用添括号法则，可得答案.
15．【答案】2b+c；2b﹣c；b﹣c；b﹣c
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：①a﹣2b﹣c=a﹣（2b+c）；
②a﹣2b+c=a﹣（2b﹣c）；
③a+b﹣c=a+（b﹣c）；
④a﹣b+c﹣d=（a﹣d）﹣（b﹣c）．
故答案是：2b+c；2b﹣c；b﹣c；b﹣c.
【分析】根据添括号法则：括号前面是加号时，被括到括号内的各式不变。括号前面是减号时，被括到括号内加号变减号，减号变加号进行填空即可.
16．【答案】2
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：∵a－b=2，ab=1，
∴a2b－ab2=ab（a-b）=1×2=2.
故答案为：2.
【分析】先把原式提公因式变形为ab（a-b），再代入进行计算，即可得出答案.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【分析】（1）利用提公因式法，提取公因式3mn，将各自剩余项写在括号里即可；
（2）利用提公因式法，提取公因式x-y，将各自剩余项写在括号里，化简整理即可；
（3）利用提公因式法，提取公因式2xm-1yn-1，将各自剩余项写在括号里即可.
18．【答案】解：原式
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【分析】先提取公因式2017，进行因式分解，再整理计算即可求值.
19．【答案】（1）解：22014﹣22013＝2×22013﹣22013＝（2-1）×22013=22013
（2）解：（﹣2）101+（﹣2）100＝（﹣2）×（﹣2）100+（﹣2）100＝（-2+1）×（﹣2）100=﹣2100．
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用提公因式法分解因式即可。
20．【答案】（1）a
（2）3x2y
（3）a(a+b)
（4）xn-1
【知识点】公因式
【解析】【分析】此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。
（1）易知公因式为a；
（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。
（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。
（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。
21．【答案】（1）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（3+ +3﹣ ）（3+ ﹣3+ ）
＝6×2
＝12
（2）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2b+ab2＝ab（a+b）
＝（3+ ）（3﹣ ）（3+ +3﹣ ）
＝（9﹣2）×6
＝7×6
＝42.
【知识点】平方差公式及应用；提公因式法因式分解
【解析】【分析】（1）利用平方差公式可将待求式变形为(a+b)(a-b)，然后代入计算即可；
（2）待求式可变形为ab(a+b)，然后代入计算即可.
22．【答案】解：∵二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，
∴也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式，而3（x4+6x2+25）﹣（3x4+4x2+28x+5）=14（x2﹣2x+5），
∴x2﹣2x+5=x2+bx+c，
∴b=﹣2，c=5．
【知识点】公因式
【解析】【分析】根据二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，我们可得到x2+bx+c也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式．通过做差，就实现了降次，最高次幂成为2，与二次三项式x2+bx+c关于x的各次项系数对应相等，解得b、c的值．
23．【答案】（1）提公因式法
（2）（1+x）4；（1+x）n+1
（3）解： （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）4，
当x＝ ﹣1时，原式＝（1+ ﹣1）4＝（ ）4＝36.
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：（1）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）（1+x）[（1+x）（1+x）]
＝（1+x）4；
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n-1]
＝（1+x）n[（1+x）（1+x）n-n]
＝（1+x）n（1+x）
＝（1+x）n+1；
【分析】（1）观察阅读材料中的过程，确定出分解因式方法即可；（2）由题意根据题中的方法确定出所求即可；（3）由题意可知原式利用题中的方法化简，把x的值代入计算即可求出值.
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