资源简介

人教A版（2019）必修第二册《8.1 基本立体图形》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
2.（5分）胡夫金字塔的形状为正四棱锥．年，英国作家约翰泰勒在其《大金字塔》一书中提出：埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，即已知四棱锥底面是边长约为英尺的正方形，顶点的投影在底面中心，为中点，根据以上条件，的长度单位：英尺约为
A. B. C. D.
3.（5分）一个圆柱的轴截面是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积是
A. B. C. D.
4.（5分）小明与爸爸放假在家做蛋糕，小明做了一个底面半径为的等边圆锥轴截面为等边三角形状蛋糕，现要把芝麻均匀地全撒在蛋糕表面，已知芝麻约有粒，则贴在蛋糕侧面上的芝麻约有
A. B. C. D.
5.（5分）在棱长均为的平行六面体中，，，则
A. B. C. D.
6.（5分）已知正方体的棱长为，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时，线段的长为
A. B. C. D.
7.（5分）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为
A. B. C. D.
8.（5分）下列命题中，正确的是
A. 底面是正方形的四棱柱是正方体
B. 棱锥的高线可能在几何体之外
C. 有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
D. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列说法正确的是
A. 圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成
B. 用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面
C. 以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球
D. 圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交
10.（5分）如图，有三个球，球内切于正方体，球与正方体的所有棱都相切，球外接于正方体已知三个正方体的棱长都为，三个球、、半径依次为、、，表面积依次为、、，体积依次为、、则
A. B.
C. D.
11.（5分）某圆锥的底面半径为，母线长为，则下列关于此圆锥的说法正确的是
A. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 B. 圆锥的体积为
C. 过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为 D. 圆锥轴截面的面积为
12.（5分）已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为的正三角形，则下列结论正确的是
A. 该多面体的体积为
B. 该多面体的外接球的表面积为
C. 该多面体的内切球的体积为
D. 该多面体的表面积为
（5分）.
13.正方体中，，点在线段上运动，点在线段上运动，则下列说法中正确的有
A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段长度的最小值为
C. 当为中点时，三棱锥的外接球表面积为
D. 平面截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图，长方体中，，，，则沿着长方体表面从到的最短路线长为______．
15.（5分）如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为______ .
16.（5分）如图，有一圆锥形粮堆，其正主视图是边长为的正，粮堆母线的中点处由一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是______
17.（5分）正三棱柱底面边长为，高为，圆是三角形的内切圆，点是圆上任意一点，则三棱锥的外接球的体积为________．
18.（5分）已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着棱柱侧面绕行两周到达点的最短路线的长为__________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图所示的圆锥，顶点为，底面半径是，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为，这个平面与母线交于点，线段的长为
求圆台的体积和圆台的侧面积；
把一根绳从线段的中点开始到点，沿着侧面卷绕，使它成为最短时候，求这根绳的长度；
在的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？提示：本题的数据有长度单位
20.（12分）圆锥的高为，底面半径为，过两条母线作一截面，截得底面圆弧的，求该截面的面积．
21.（12分）据说伟大的阿基米德死后，敌军将领马塞拉斯给他立了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
试计算出图案中球与圆柱的体积比；假设球半径，试计算出图案中圆锥的体积和表面积．
22.（12分）如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求，间细绳的最短长度．
23.（12分）如图，三棱柱中，，，
证明：；
若，，求三棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，因为圆锥的高为，
体积为，解得；
所以圆锥的母线长为，
如图所示：

所以圆锥侧面积为
故选：
求出圆锥的底面圆半径和母线长，即可计算圆锥侧面积．
此题主要考查了圆锥的侧面积与体积的计算问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是基础题．
2.【答案】D;
【解析】解：，由题意，
所以
故选：
由题意可知，，结合，求解即可得到答案．
此题主要考查了数学文化，读懂实际问题，将实际问题转化为数学问题进行计算，考查了运算能力，属于基础题．
3.【答案】A;
【解析】解：设圆柱的底面半径为，则高为，
因为圆柱的轴截面是一个面积为的正方形，
所以，解得，
所以该圆柱的体积是
故选：
利用轴截面为正方形，求出底面半径，然后根据圆柱的体积公式求解即可．
此题主要考查了旋转体的理解与应用，圆柱的轴截面的应用，圆柱的体积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了圆锥的几何特征及其表面积的运算，
求出圆锥侧面积与表面积的比值即可求出答案 .

解：由题意可知圆锥形蛋糕的底面半径为，母线为，
圆锥的侧面积为，圆锥的表面积为，
贴在蛋糕侧面上的芝麻约有，
故选
5.【答案】D;
【解析】解：在棱长均为的平行六面体中，，，
，
∴ A C 1 → 2 = ( AB→ + BC→ + C→ C 1 ) 2
= AB 2 → + BC 2 → + C C 1 → 2 + 2 | AB→ | | C→ C 1 | cos 60 ° + 2 | BC→ | | C→ C 1 | cos 60 °
，
．
故选：．
推导出，由此能求出
此题主要考查线段的求法，考查平行六面体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】A;
【解析】解：如图，

连接，，，由正方体的结构特征，可得平面平面，
过点作该正方体的截面，分别交于，交 于，
截面平面，
截面平面，可得，，，
再由平行线截线段成比例，可得，为正三角形，
设的边长为，则，得，则．
故选：．
连接，，，可得平面平面，过点作该正方体的截面，分别交于，交 于，可得截面平面，得到，为正三角形，由截面面积求得的边长，进一步求得得答案．
此题主要考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，属基础题.
设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用侧面展开图是一个半圆，求得母线长与底面半径之间的关系，代入表面积公式即可求得

解：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
侧面展开图是一个半圆，
，
圆锥的表面积为，
，，
故圆锥的底面半径为
故选：
8.【答案】B;
【解析】解：底面是正方形的四棱柱不一定是正方体，故A错误；
斜棱锥的高线有可能在几何体之外，故B正确；
根据棱柱的定义可得，有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，故C错误；
有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误．
故选：．
对四个命题分别进行判断，即可得出结论．
该题考查棱柱、棱锥的概念，考查学生分析解决问题的能力，正确理解概念是关键．
9.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了圆柱、圆台、圆锥的定义以及性质，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．解题关键在于熟练掌握相关知识。
根据圆台的定义可以判定选项根据圆台的性质可以判定选项根据球的定义
可判定选项根据圆柱、圆锥中母线的定义可以判定选项

解：圆台是由直角梯形绕直角的腰旋转形成，或者由等腰梯形绕对称轴旋转形成，故选项不正确；
用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面，故选项正确；
以半圆的直径为轴旋转一周形成的旋转体叫做球，故选项不正确；
圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交，故选项正确．
故选
10.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查多面体的内切球与外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查球的表面积与体积公式的应用，是中档题．
由正方体的棱长为，分别求出面对角线长与体对角线长，即可求得、、，可判断，
结合球的表面积与体积公式即可判断，，，则答案可求．

解：由正方体的棱长为，则它的内切球的半径为，
正方体的面对角线长为，则正方体的棱切球棱切球的半径为，
正方体的对角线长为，则它的外接球的半径为，
其内切球、棱切球、外接球的半径比：：故错误，
所以，故正确；
，故正确；
，故错误，
故选

11.【答案】AC;
【解析】解：选项，侧面展开图中，扇形的半径为，弧长为，由弧长公式有圆心角为，说法正确．
选项，圆锥的高为，所以圆锥的体积为，说法错误．
选项，在轴截面中，顶角的余弦值为，所以顶角为钝角．
所以当两条母线垂直时，截面的面积最大，为，说法正确．
选项，轴截面为腰为，底为的等腰三角形，所以面积为，说法错误．
故选：
选项，侧面展开图半径为，弧长为的扇形，故圆心角为；选项，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；
选项，在轴截面中，由余弦定理得顶角为钝角，所以当两条母线垂直时，截面的面积最大；
选项，轴截面为腰为，底为的等腰三角形，面积为
此题主要考查圆锥的结构特征，属于基础题．
12.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查正八面体的结构特征及体积、表面积问题，以及正八面体的外接球和内切球的面积、体积问题，考查空间想象能力，属较难题.
将该多面体还原可得一每个面都是边长为的正三角形构成的正八面体，连接，相交于点，由正八面体性质可得，为正方形的中心，平面，且过点由正八面体的结构特征逐一判定各选项即可.

解：如图：
，
将该多面体还原可得一每个面都是边长为的正三角形构成的正八面体，
连接，相交于点，由正八面体性质可得，
为正方形的中心，平面，且过点
对于，由上述分析可得，，，
由平面，且平面，所以，
所以，
又因为正方形边长为，所以，
所以，
由正八面体性质可得，该正八面体的体积为，故正确；
对于，由正八面体的对称性及，
可得为其外接球的球心，其外接球的半径为，
所以其外接球的表面积为，故正确；
对于，由正八面体的对称性可得为其内切球的球心，
设其半径为，因为该正八面体的每个面都是边长为的正三角形，
所以由正八面体的体积，
可得，
又，所以，
所以该正八面体的内切球体积为，故正确；
对于，因为该正八面体的每个面都是边长为的正三角形，
所以该正八面体的表面积为，故错误.
故选：
13.【答案】ABD;
【解析】
考查三棱锥的体积，球体表面积，空间几何体的结构特征，是中档题.
对各项逐一判断即可.

解：，正确；
当与，与分别重合时，线段的长度最小，值为，正确；
当为中点时，三棱锥的外接球半径，表面积为，错误；
由题意平面截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形，正确.
故选

14.【答案】;
【解析】
该题考查棱柱的结构特征，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．

解：长方体的表面可如图三种方法展开后，、两点间的距离分别为：
，
，
．
三者比较得是从点沿表面到的最短距离．
故答案为．

15.【答案】;
【解析】

此题主要考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，是中档题．
将直三棱柱侧面展开成矩形，可以确定点位置，然后利用体积公式求解即可.

解：将直三棱柱侧面展开成矩形，如图，

连结，交于，此时最小，
，，，，点为侧棱上的动点，
当最小时，，
此时三棱锥的体积：
故答案为
16.【答案】3;
【解析】解：为正三角形，
，
，
根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：
，
故，则，

故答案为：．
画出图形，利用弧长求解圆心角，然后求解即可．
该题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，圆锥的侧面展开图，考查转化思想以及计算能力．
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查三棱锥的外接球的体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键，是中档题．
求出三角形的内切圆的半径，再求出三角形的外接圆的半径，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的体积．

解：正三棱柱底面边长为，
等边三角形的内切圆的半径为，
的外接圆的半径为．
设球心到上下底面的距离分别为，，
则，解得．
．
则三棱锥的外接球的体积为．
故答案为：．

18.【答案】;
【解析】
此题主要考查空间几何体表面上的最短距离问题，属于基础题.
把三棱柱沿剪开，将棱柱侧面展开到一个平面上，问题转化为两点间的直线距离.

解：沿剪开，将棱柱侧面展开，再展一次如图，则最短路线为线段的长

故答案为
19.【答案】（1）作出圆台的轴截面和侧面展开图，如下图

由底面半径是 5cm，上底半径为 2.5cm，可得：OB=10，
所以，圆锥的高为：=，故圆台的高为，
因此圆台的体积为：
==，
侧面积为：S=π（+）l=75πc．
（2）由圆锥的底面周长为2π =10π，
可得侧面展开图的弧长为10π，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为θ，
则10π=θ×20，
所以，侧面展开图的圆心角为，
在直角三角形 MOA 中可得 MA=25cm，
所以最短时候，绳长为 25cm．
（3）由侧面展开图可知，距离最短时，
就是 O 到直线 AM的距离减 OB 长．
解得：2cm．;
【解析】
画出截面图和展开图，根据几何关系求出圆台的高即可利用公式求得圆台的体积和圆台的侧面积；画出展开图，把立体几何问题转化为平面问题，再结合平面内二点之间线段最短进行求解；由侧面展开图可知，距离最短时，就是 到直线 的距离减 长．
此题主要考查立体几何中长度最小值问题，考查降维思想的应用，考查转化与化归思想和运用求解能力，求解的关键是将空间问题转化为平面问题．
20.【答案】解：
圆锥的高为，底面半径为，且过两条母线作一截面，
截得底面圆弧的，
，；
过点作于点，连接，
，
在中，，
，
截面的面积为：
;
【解析】此题主要考查圆锥截面面积的求法，属于容易题.
由圆锥的高为，底面半径为，且过两条母线作一截面，截得底面圆弧的，可得即可得，过点作于点，连接，可得，
在中，，然后根据三角形的面积公式可得答案.
21.【答案】解：设球半径为，
图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，
圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
圆柱的高为，底面圆半径为，
图案中球与圆柱的体积比为：

球半径，
由题意得，
，
圆锥的母线长
，


;
【解析】此题主要考查球、圆柱的体积比值的求法，考查圆锥的体积、表面积的求法，考查球、圆柱、圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
设球半径为，则圆柱的高为，底面圆半径为，由此能求出图案中球与圆柱的体积比．
球半径，由此能求出圆锥的体积，圆锥的母线长，从而能求出圆锥的表面积．
22.【答案】解：将圆台补成圆锥，设圆锥的顶点为，则，

沿将补成的圆锥展开，如图，易知所求的最短长度即线段的长度．
，
是直角三角形，
，间细绳的最短长度为;
【解析】此题主要考查旋转体上的最短距离以及圆台的结构特征.
将圆台补成圆锥，设圆锥的顶点为，容易得出，沿将补成的圆锥展开，易知所求的最短长度即线段的长度，然后在直角中即可得解．
23.【答案】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B．
∵CA=CB，∴CO⊥AB，
∵AB=AA1，∠BAA1=60°．∴△A1AB为等边三角形．
∴OA1⊥AB，
又∵OC 平面COA1，OA1 平面COA1，OC∩OA1=O．
∴AB⊥平面COA1．又A1C 平面COA1，
∴AB⊥A1C．
（Ⅱ）解：∵AB=BC=AC=1，∴CO=，
∵AB=AA1=1，∠BAA1=60°，∴A1O=．
∵A1C=，∴CO2+A1O2=A1C2．
∴CO⊥A1O．
∴S==．
∴V=2V=2×=2×=．;
【解析】
取的中点，连接，，，由得，由是等边三角形得，故平面，于是；
根据等边三角形性质求出，，由勾股定理逆定理得出，求出，于是
此题主要考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．

展开更多......

收起↑