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一维无限深势阱和隧 道 效 应
量子力学处理微观体系问题的一般方法和步骤
1、分析、找到粒子在势场中的势能函数Ep，
写出薛定谔方程。
2、根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数,
求解 和 E 。
3、由 2 得出粒子在不同时刻、不同区域出现的
概率或具有不同动量、不同能量的概率。
4、进一步求出各个对应状态的各种力学量的数值，
从中了解体系的性质。
5、联系实际问题，对求得的结果加以讨论和应用。
一、一维无限深势阱
如果直接用此曲线表示的势能带入薛定谔方程中，就形成一个相当困难的数学问题。
简化：用平均势能代替晶格势能
（这一步实质是不考虑电子间、
电子与晶格离子间的相互作用，
这样的电子就相当于理想气体
——自由电子气）
再一步简化：
将平均势能作为零势能
将表面势能视为无限大
一、一维无限深势阱
EP 与 t 无关，写出定态薛定谔方程
0
a
x
1 2 3
E 为有限值，所以：
1）势阱外
1、势阱中粒子的波函数
一、一维无限深势阱
0
a
x
（1）解方程
令:
2）势阱内
1、势阱中粒子的波函数
（2）确定常数 A、B
由波函数连续性， (0) = 0 , (a) = 0
ka =n ，
n = 1， 2， 3，…
n = 0
量子数：n = 1 ， 2 ，3 ，…
一、一维无限深势阱
0
a
x
1、势阱中粒子的波函数
2）势阱内
－－称之为能量的本征值
（2）确定常数 A、B
一、一维无限深势阱
1、势阱中粒子的波函数
归一化条件为：
由归一化条件确定系数A，
2）势阱内
一、一维无限深势阱
1、势阱中粒子的波函数
一维无限深势阱中粒子的波函数：
考虑时间因子：
一、一维无限深势阱
1、势阱中粒子的波函数
一维无限深势阱中粒子的波函数：
概率密度函数：
一、一维无限深势阱
2、势阱中粒子的能量
能量是量子化的
粒子的最低能量状态称为基态，
一维无限深方势阱的基态能量为：
———零点能
与零点能相对应的，应存在零点运动，这与经典粒子的运动是相矛盾的，是经典物理不能解释的。
零点能是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。
讨论：
一、一维无限深势阱
2、势阱中粒子的能量
归纳:
粒子处于量子数为n的状态：
能量是量子化的
一、一维无限深势阱
n = 1
n = 2
n = 3
0
x
0
x
一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度
一、一维无限深势阱
3、势阱中粒子的波函数的驻波特点
处，
波函数的值皆为零。
波函数以驻波形式存在势阱中：
一、一维无限深势阱
3、势阱中粒子的波函数的驻波特点
势阱中粒子能量的量子化从其驻波特点中也可自然地得出。

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