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一维无限深势阱
一维无限深势阱
讨论
3）按照经典物理的观点，粒子在阱内不停地运动,因而在阱内各处
找到粒子的概率应该相等；
而量子理论指出,当粒子处于束缚态时,其在各个位置出现的概率不同。
1）在经典力学中首要的是受力分析,力函数不同,牛顿方程的形式
就不同。而这里首要的是寻找势能函数,势能函数不同,薛定谔
方程的形式就不同,它们的运动状态当然就不同.
2）待定系数是由标准条件（边值条件）和归一化条件所决定，与
机械波中是完全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是
概率波的特点。
4）从定态薛定谔方程出发,利用波函数应遵守的标准条件,可自然地
得出能量的量子化条件,而无须象玻尔那样人为地假定。
这是薛定谔方程的成功处之一。
5）基态能不为零，是经典物理不能解释的。
一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect
一维方势垒
粒子的能量
Ⅲ区 Ep ( x ) = 0 ， 　x ≥ a
Ⅰ区 Ep( x ) = 0 ， x ≤ 0
Ⅱ区 Ep ( x ) = Ep0 ， 0≤ x ≤ a
0 a
Ep0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
经典物理：当粒子能量 E < Ep0 时，从经典理论来看,
粒子不可能穿过势垒进入 x > a 的区域;
量子物理：应求解定态薛定谔方程, 才能下结论。
一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect
一维方势垒
Ⅲ区 Ep ( x ) = 0 ， 　x ≥ a
Ⅰ区 Ep( x ) = 0 ， x ≤ 0
Ⅱ区 Ep ( x ) = Ep0 ， 0≤ x ≤ a
0 a
Ep0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
三区域的波函数表示为 1、 2、 3
定态薛定谔方程：
一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect
一维方势垒
Ⅲ区 Ep ( x ) = 0 ， 　x ≥ a
Ⅰ区 Ep( x ) = 0 ， x ≤ 0
Ⅱ区 Ep ( x ) = Ep0 ， 0≤ x ≤ a
0 a
Ep0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
令：
三区域的波函数表示为 1、 2、 3
一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect
一维方势垒
0 a
Ep0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
令：
Ⅲ区
Ⅰ区
Ⅱ区
三区域的波函数表示为 1、 2、 3
Ⅲ区 Ep ( x ) = 0 ， 　x ≥ a
Ⅰ区 Ep( x ) = 0 ， x ≤ 0
Ⅱ区 Ep ( x ) = Ep0 ， 0≤ x ≤ a
一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect
0 a
Ep0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
三区域的波函数分别为：
Ⅲ区
Ⅰ区
Ⅱ区
三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第二项为沿x负方向传播的平面波
1 右边的第一项表示射向势垒的入射波，
第二项表示被“界面（x=0）”反射的反射波。
2 右边的第一项表示穿入势垒的透射波，
第二项表示被“界面（x=a）”反射的反射波。
3 右边的第一项表示穿出势垒的透射波，
3 的第二项为零，因为在x>a区域不可能存在反射波(B3=0)。
B3 = 0
一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect
0 a
Ep0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
三区域的波函数分别为：
Ⅲ区
Ⅰ区
Ⅱ区
三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第二项为沿x负方向传播的平面波
定义反射系数：粒子被势垒反射的概率
定义透射系数：粒子穿过势垒的概率
B3 = 0
一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect
0 a
Ep0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
三区域的波函数分别为：
Ⅲ区
Ⅰ区
Ⅱ区
B3 = 0
得到4个方程，再波函数的归一化条件，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从而得到反射系数和透射系数.
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续
一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect
0 a
Ep0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
B3 = 0
(1) E > Ep0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，
入射粒子并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2) E < Ep0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，
入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 —— 隧道效应。
讨论:
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect
0 a
Ep0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
x
B3 = 0
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
粒子能穿过比其能量更高的势垒，这种现象称为隧道效应(势垒贯穿)
这是微观粒子波动性的表现。
隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。
扫描隧道显微镜(STM)
Scanning Tunneling Microscopy
1982年，IBM公司苏黎世实验室的Binning和Rohrer及其同事们共同研制成功。
金属样品
电子云
Ub
d
隧道电流 I
电子云重 叠
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于金属表面之内，电子云密度并不是在表面边界处突变为零。在金属表面以外，电子云密度呈指数衰减，衰减长度约为1nm。用一个极细的、只有原子线度的金属针尖作为探针，将它与被研究物质的表面作为两个电极，当样品表面与针尖非常靠近(距离＜ 1nm)时，两者的电子云略有重叠，在两极间加上电压Ub，在电场作用下电子就会穿过两个电极之间的势垒，通过电子云的狭窄通道流动，从一极流向另一极，形成隧道电流I。隧道电流 I 对针尖与样品表面之间的距离极为敏感，当针尖在样品表面上方扫描时，即使其表面只有原子尺度的起伏，也将通过其隧道电流显示出来。借助于电子仪器和计算机，在屏幕上即显示出样品的表面形貌。
扫描隧道显微镜(STM)
Scanning Tunneling Microscopy
与其它表面分析技术相比，STM所具有的独特优点是：
1、具有原子级高分辨率
STM在平行和垂直于样品表面方向的分辨率可达0.1nm和0.01nm，
即可分辨出单个原子。
2、可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是整个表面的平均性质。
3、利用STM针尖，可以对原子和分子进行操纵。
重新排列原子（1990年用35个Xe原子在Ni表面拼缀出 IBM ）
——纳米技术正式诞生
扫描隧道显微镜(STM)
Scanning Tunneling Microscopy
1993年5月
48个铁原子排列成一个“量子围栏”，照片中反映的是电子密度的高低，围栏内是电子密度波的驻波 。
与其它表面分析技术相比，STM所具有的独特优点是：
1、具有原子级高分辨率
STM在平行和垂直于样品表面方向的分辨率可达0.1nm和0.01nm，
即可分辨出单个原子。
2、可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是整个表面的平均性质。
3、利用STM针尖，可以对原子和分子进行操纵。
解：
1）
n=2时，波函数为:
概率密度函数：
例 一粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：
求：1) 当n=2时，求粒子出现概率最大的位置和
粒子出现概率最小的位置；
2) 当n=1时，在区间(0～a/4)发现粒子的概率是多少？
粒子出现概率最大的位置：
解：
1）
n=2时，波函数为:
概率密度函数：
例 一粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：
求：1) 当n=2时，求粒子出现概率最大的位置和
粒子出现概率最小的位置；
2) 当n=1时，在区间(0～a/4)发现粒子的概率是多少？
粒子出现概率最小的位置：
解：
2）
n=1时，波函数为:
概率密度函数：
例 一粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：
求：1) 当n=2时，求粒子出现概率最大的位置和
粒子出现概率最小的位置；
2) 当n=1时，在区间(0～a/4)发现粒子的概率是多少？

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