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薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立
1、一维自由粒子薛定谔方程
（薛定谔方程是量子力学基本假设之一，
不能理论推导证明）
以一维自由粒子为例：
（1）式对 t 求导：
（1）式对 x 求二阶偏导数：
(适用条件 v << c，非相对论条件下讨论，低速微观粒子)
薛定谔方程的建立
自由粒子非相对论条件下的能量：
（4）、（5）式比较：
一维自由粒子的含时薛定谔方程
1、一维自由粒子薛定谔方程
薛定谔方程的建立
2、一维势场中运动粒子薛定谔方程
若粒子处在势场中，势能函数为Ep(x，t)，其能量：
一维运动粒子含时薛定谔方程
薛定谔方程的建立
3、一维定态薛定谔方程
若粒子的势能 EP (x) 与 t 无关，仅是坐标的函数
分离变量:
薛定谔方程的建立
3、一维定态薛定谔方程
等式右边是 t 的函数，左边是坐标 x 的函数，但两边又相等，故只有等式两边都等于常数才成立，令常数为E
指数应是无量纲的数， 的单位是“焦尔秒”，
故 E 的单位只能是能量，实际上是粒子总能量 E
薛定谔方程的建立
3、一维定态薛定谔方程
指数应是无量纲的数， 的单位是“焦尔秒”，
故 E 的单位只能是能量，实际上是粒子总能量 E
一维定态薛定谔方程：
称为定态波函数：
薛定谔方程的建立
3、一维定态薛定谔方程
若粒子的势能 EP (x) 与 t 无关，仅是坐标的函数
分离变量:
粒子在空间各处出现的概率不随时间变化的。
定态：若粒子的势能 EP (x) 与 t 无关，仅是坐标的函数，
微观粒子在各处出现的概率与时间无关
薛定谔方程的建立
4、一般的薛定谔方程
一维薛定谔方程：
推广到三维情况，
拉普拉斯算符：
一般的薛定谔方程：
一般定态薛定谔方程：
薛定谔方程的建立
5、薛定谔方程的意义
　 薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在经典物理中的地位相当。
　 薛定谔方程本身并不是实验规律的总结，也没有什么更基本的原理可以证明它的正确性。
　 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
例: 设一粒子在一维空间运动，
其定态波函数为：
求：1) 归一化的波函数； 2) 粒子的概率密度函数；
3) 在何处发现粒子的概率最大？
解：
1）
归一化的波函数:
2) 粒子的概率密度函数：
由归一化条件:
例: 设一粒子在一维空间运动，
其定态波函数为：
求：1) 归一化的波函数； 2) 粒子的概率密度函数；
3) 在何处发现粒子的概率最大？
解：
3）
粒子出现的
概率最大的位置:
概率最小
能量和时间也存在不确定度关系
能量与时间的不确定性关系
设一个粒子在一段时间 t 内的动量为 p，能量为E
根据相对论，有：
在时间 t 内，粒子可能发生的位移：
能量和时间也存在不确定度关系，即:
能量与时间的不确定性关系
1）若一体系处于某状态的时间不确定量为 t 那么，
这个状态的能量也有不确定范围 E。（可解释光谱线宽度）
2）原子在某激发状态的时间越长，
该态的能级宽度就越小
3） E小的能级比较稳定，基态最稳定。
即：基态的能量是可以准确被测定的。

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