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2023年春九年级中考数学解直角三角形的应用解答题专题训练（附答案）
1．如图①，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D、E、F、G，∠CGD＝42°，将直尺向下平移，使直尺的边缘通过点B，交AC于点H，如图②所示．
（1）∠CBH的大小为　 　度．
（2）点H、B的读数分别为4、13.4，求BC的长．（结果精确到0.01）
【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】
2．在全校的科技制作大赛中，王浩同学用木板制作了一个带有卡槽的三角形手机架．如图所示，卡槽的宽度DF与内三角形ABC的AB边长相等．已知AC＝20cm，BC＝18cm，∠ACB＝50°，一块手机的最长边为17cm，王浩同学能否将此手机立放入卡槽内？请说明你的理由（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
3．随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠ODB＝45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠OEC＝30°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为20cm，若当遮阳伞撑开至OE位置时伞下阴凉面积最大，求此时伞下半径EC的长．（结果保留根号）
4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子与地面的夹角为45°，梯子底端与墙的距离CB＝2米，若梯子底端C的位置不动，再将梯子斜靠在左墙，测得梯子与地面的夹角为60°，则此时梯子的顶端与地面的距离A'D的长是多少米？（结果保留根号）
5．如图所示，直线AC∥DE，DA⊥AC，隧道BC在直线AC上．某施工队要测量隧道BC的长，在点D处观测点B，测得∠BDA＝45°，在点E处观测点C，测得∠CEM＝53°，且测得AD＝600米，DE＝500米，试求隧道BC的长．【参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈】
6．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行修建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°，
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到1千米）（参考数据：≈1.4，≈1.7）
7．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？
8．某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30cm，CE＝40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°，图1中B、E、C三点共线，图2中的座板DE与地面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
9．中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定：
（一）在城市道路范围内，在不影响行人、车辆通行的情况下，政府有关部门可以规划停车泊位．停车泊位的排列方式有三种，如图所示：
（二）双向通行道路，路幅宽12米以上的，可在两侧设停车泊位，路幅宽8米到12米的，可在单侧设停车泊位，路幅宽8米以下的，不能设停车泊位；
（三）规定小型停车泊位，车位长6米，车位宽2.5米；
（四）设置城市道路路内机动车停车泊位后，用于单向通行的道路宽度应不小于4米．
根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为14米的双向通行车道设置同一种排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题：
（1）可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为　 　；
（2）如果这段道路长100米，那么在道路两侧最多可以设置停车泊位　 　个．（参考数据：，）
10．如图，学校旗杆的下方有一块圆形草坪，草坪的外面围着“圆环”水池，草坪和水池的外边缘是两个同心圆，旗杆在圆心O的位置且与地面垂直．
（1）若草坪的面积与圆环水池的面积之比为1：4，求两个同心圆的半径之比．
（2）如图，若水池外面通往草坪有一座10米长的小桥BC，小桥所在的直线经过圆心O，上午8：00时太阳光线与地面成30°角，旗杆顶端的影子恰好落在水池的外缘；上午9：00时太阳光线与地面成45°角，旗杆顶端的影子恰好落在草坪的外缘，求旗杆的高OA长．
11．如图1是小区常见的漫步机，从侧面看如图2，踏板静止时，踏板连杆与立柱DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.44米，求：
（1）踏板连杆AB的长；
（2）此时点C到立柱DE的距离、（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
12．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？
13．如图，我县某中学数学兴趣小组决定测量一下本校教学楼EF的高度，他们在楼梯底部A处测得∠EAF＝60°，∠BAC＝30°；沿楼梯向上走到B处测得∠EBD＝45°，B到地面CF的距离BC为3米．求教学楼EF的高度．（结果精确列1米，参考数据：≈1.4，≈1.7）
14．如图，某次台风来袭时，垂直于地面的大树AB被刮倾斜30°后，折断倒在地上，树的顶部恰好落在地面上点D处，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝45°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，＝1.7，≈2.4）
15．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A，B，C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒轮⊙A，⊙A与水平地面相切于点D，在拉杆伸长到最大的情况下，当点B距离水平地面34cm时，点C到水平地面的距离CE为55cm．设AF∥MN．
（1）求⊙A的半径．
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为76cm，∠CAF＝64°，求此时拉杆BC的伸长距离（结果精确到1cm，参考数据：sin64°≈0.9，cos64°≈0.44，tan64°≈2.1）．
16．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知BC＝AB＝12cm，BD＝5cm．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①，点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）
17．图（1）为钓鱼竿安置于湖边的示意图，钓鱼竿有两部分组成，一部分为支架，另一部分为钓竿，图（2）是钓鱼竿装置的平面图，NF∥MB，NF⊥MN，支架中的MN＝AM＝20厘米，AC＝50厘米，∠CAB＝37°，AB可以伸缩，长度调节范围为65cm≤AB≤180cm，钓竿EF放在支架的支点B、C上，并使钓竿的一个端点F恰好碰到水面．
（1）当AB的长度越 　 　（填“长”或“短”）时，钓竿的端点F与点N之间的距离越远；
（2）冬季的鱼喜欢远离岸边活动，为了提高钓鱼的成功率，可适当调节AB的长度，使钓竿的端点F与点N之间的距离最远，请直接写出你选择的AB的长度，并求出此时钓竿的端点F与点N之间的距离（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
18．如图，一条宽为0.5km的河的两岸PQ，MN互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥CD，EF．测得公路AC的长为6km，公路AC，AE与河岸PQ的夹角分别为45°，71.6°，公路BD，BF与河岸MN的夹角分别为60°，30°．
（1）求两座桥CD，EF之间的距离（精确到0.1km）；
（2）比较路径①：A﹣C﹣D﹣B和路径②：A﹣E﹣F﹣B的长短，则较短路径为 　 　（填序号），两路径相差 　 　km（精确到0.1km）．（参考数据：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）
19．良好的坐姿习惯有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身体上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图①．将图①中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且BD与桌沿的交点记为点C．已知AD＝30cm，BC＝12cm，点A到BD的距离
为23cm，∠B＝70°．（sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan70°≈2.75）
（1）求∠ADB的度数；
（2）老师发现小亮同学写字姿势不正确眼睛倾斜到图2的点E，点E恰好在CD的垂直平分线上，且∠BDE＝60°，于是要求其纠正为正确的姿势，求眼睛所在的位置应上升的距离（结果精确到1cm）．
小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图1），其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧，和矩形ABCD组成的，的圆心是倒锁按钮点M．已知的弓形高GH＝2cm，AD＝8cm，EP＝11cm．当锁柄PN绕着点N顺时针旋转至NQ位置时，门锁打开，此时直线PQ与所在的圆相切，且PQ∥DN，tan∠NQP＝2．
（1）求所在圆的半径；
（2）求线段AB的长度．（≈2.236，结果精确到0.1cm）
参考答案详解
1．解：（1）∠CBH＝42°；
故答案为42°；
（2）由图得，BH＝13.4﹣4＝9.4，
在Rt△BCH中，∠C＝90°，∠CBH＝42°，
∵cos∠CBH＝，
∴BC＝9.4×cos42°＝9.4×0.74≈6.96．
即BC的长约为6.96．
2．解：王浩同学能将手机放入卡槽DF内，
理由如下：作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝50°，AC＝20，
∴AD＝AC sin50°≈20×0.8＝16，
CD＝AC cos50°≈20×0.6＝12，
∴DB＝BC﹣CD＝18﹣12＝6，
∴AB＝＝＝，
∴DF＝AB＝，
∵17＝＜，
∴王浩同学能将手机放入卡槽DF内．
3．解：由题意可得：OE＝OD，
在Rt△OEC中，∠BOE＝60°，∠OCE＝90°，
∴OC＝OE，
在Rt△OBD中，∠DOB＝45°，∠OBD＝90°，
∴OB＝OD＝OE，
∵BC＝OB﹣OC，
即，OE﹣OE＝20
解得：OE＝40（+1）cm，
∴EC＝×20（+1）＝20（+）cm．
4．解：在Rt△ABC中，
∵∠BCA＝45°，
∴AB＝BC＝2米，
∴米，
∴A'C＝AC＝米，
∴在Rt△A'DC中，A'D＝A'C sin60°＝×＝米，
∴此时梯子的顶端与地面的距离A'D的长是米．
5．解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，
作EM⊥AC于M，
则AM＝DE＝500，
∴BM＝100，
在Rt△CEM中，tan53°＝，
∴CM＝800，
∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）
答：隧道BC长为700米
6．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△CDB中，∵∠B＝30°，BC＝80，
∴CD＝BC＝40（千米）
在Rt△CDA中，∵∠A＝45°
∴AC＝CD＝40≈56（千米）
∴AC+BC≈56+80
＝136（千米）
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136千米．
（2）在Rt△CDB中，∵∠B＝30°，BC＝80，
∴BD＝cos30°×BC
＝40≈68（千米）
在Rt△CDB中，∵∠A＝45°
∴CD＝AD＝40（千米），
∴AB＝AD+DB
≈68+40
＝108（千米）
∴136﹣108
＝28（千米）
答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约少走28千米．
7．解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．
∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABOE是矩形，
∴∠OBA＝90°，
∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，
∴OD＝BD sin60°＝20（cm），
∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm，
答：连杆端点D离桌面l的高度DE为（20+5）cm；
（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE．
由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，
∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，
∴CG＝10cm，
∴KH＝10cm，
∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，
在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，
∴DK＝10cm，
∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，
答：比原来降低了（10﹣10）厘米．
8．解：如图1，过点D作DF⊥BE于点F，
由题意知BD＝DE＝30cm，
∴BF＝BDcos∠ABC＝30×＝18（cm），
∴BE＝2BF＝36cm，
则BC＝BE+CE＝76cm，
如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，
由题意知四边形DENM是矩形，
∴MN＝DE＝30cm，
在Rt△DBM中，BM＝BDcos∠ABC＝30×＝18（cm），EN＝DM＝BDsin∠ABC＝30×＝24（cm），
在Rt△CEN中，∵CE＝40cm，
∴由勾股定理可得CN＝32cm，
则BC＝18+30+32＝80（cm），
答：BC的长度发生了改变，增加了4cm．
9．解：（1）可以考虑：平行式或倾斜式．
故答案为平行式或倾斜式
（2）如图，由题意AB＝14，BD＝100，
∵EF≥8，
∴AE＝BF的最大值为（14﹣8）÷2＝3，
∵CF＝6，
∴sin∠FCB＝30°，
作CM⊥MN，
∵CM＝2.5，∠CNM＝∠BCF＝30°，
∴CN＝2CM＝5，
∵BC＝BE≈5.1，
∴CD＝100﹣5.1＝94.9，
∵94.9÷5≈18.9，
取整数18，18×2＝36，
∴在道路两侧最多可以设置停车泊位36个．
故答案为36．
10．解：（1）由题意得＝，
∴＝，
即两个同心圆的半径之比为；
（2）设OA＝x，由∠ABO＝45°，∠ACO＝30°知，
，，
∵OC﹣OB＝BC＝10，
∴，
解得．
∴旗杆的高OA长为米．
11．解：（1）过点C作CG⊥AB于G，
则四边形CFEG是矩形，
∴EG＝CF＝0.44，
∴BG＝EG﹣BE＝0.24，
在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，
cos∠CAG＝＝＝0.8，
解得：AC＝1.2，
∴AB＝1.2米；
（2）∵AC＝1.2，AG＝AB+BE﹣CF＝AC+0.2﹣0.44＝AC﹣0.24＝1.2﹣0.24＝0.96，
∴CG＝＝0.72m，
答：点C到立柱DE的距离为0.72m．
12．解：在Rt△BCE中，∵BC＝3，∠BEC＝90°，∠BCE＝45°，
∴BE＝CE＝BC cos45°＝3×＝3，
在Rt△BDE中，DE＝BE tan30°＝，
∴CD＝CE﹣DE＝3﹣，
答：胡同左侧的通道拓宽了（3﹣）米．
13．解：延长BD交EF于点G，设EG＝x
在Rt△BGE中，∠EBD＝45°，可得EG＝BG＝CF＝x
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，BC＝3，可得
在Rt△AFE中，∠EAF＝60°，EF＝x+3，，
所以，
则（米）．
14．解：过点C作CH⊥AD于点H，则∠ACH＝30，∠DCH＝45°，
设AH＝x，则AC＝2x，CH＝HD＝x，AD＝AH+HD＝x+x＝4，
解得x＝2﹣2，
AC＝2x＝4﹣4，CH＝6﹣2，
∴CD＝CH＝6﹣2
∴AB＝AC+CB′＝AC+CD＝4+6﹣2﹣4≈6米，
答：这棵大树AB原来的高度是6米．
15．解：（1）作BH⊥AF于点K，交MN于点H．
则BK∥CG，△ABK∽△ACG．
设圆形滚轮的半径AD的长是xcm．
则 ，即 ＝，
解得：x＝4．
则圆形滚轮的半径AD的长是4cm；
（2）在Rt△ACG中，CG＝76﹣4＝72（cm）．
则sin∠CAF＝，
∴AC＝80，（cm）
∴BC＝AC﹣AB＝80﹣50＝30（cm）．
16．解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，
在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，
∴＝sin37°，＝cos37°，
∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．
∵AB＝BC＝12cm，AE＝2cm，
∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝12﹣2﹣4＝6（cm），
∴DE＝＝＝3（cm）．
答：连接杆DE的长度为3cm；
（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，
∵∠ABC＝127°，
∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，
在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，
∴BH＝3cm，
∴DH＝4cm，
在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，
∴（EB+3）2+16＝45，
∴EB＝（﹣3）（cm），
∴点E滑动的距离为：12﹣（﹣3）﹣2＝（13﹣）（cm）．
答：这个过程中点E滑动的距离为（13﹣）cm．
17．解：（1）观察图象可知，当AB的长度越长时，钓竿的端点F与点N之间的距离越远，
故答案为：长；
（2）如图（2）中，过点C作CK⊥AB于点K，过点A作AH⊥FN于点H，过点B作BJ⊥FN于点J，则四边形MNHA，四边形AHJB都是矩形．
∴MN＝AH＝BJ＝20厘米，AM＝NH＝20厘米，AB＝HJ＝180厘米，
在Rt△ACK中，CK＝AC sin37°≈30（厘米），AK＝AC cos37°≈40（厘米），
∴BK＝AB﹣AK＝180﹣40＝140（厘米），
∵BM∥FN，
∴∠CBK＝∠F，
∴tan∠CBK＝tanF，
∴＝，
∴＝，
∴FJ≈93（厘米），
∴FN＝NH+NJ+FJ＝20+180+93＝293（厘米），
答：AB的长度是180厘米，此时钓竿的端点F与点N之间的距离约为293厘米．
18．解：（1）过点A作AG⊥PQ，垂足为G，
在Rt△ACG中，AC＝6km，∠ACG＝45°，
∴AG＝AC sin45°＝6×＝3（km），
CG＝AC cos45°＝6×＝3（km），
在Rt△AEG中，∠AEG＝71.6°，
∴EG＝≈＝（cm），
∴CE＝CG﹣EG＝3﹣＝2≈2.8（km），
∴两座桥CD，EF之间的距离约为2.8km；
（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为Q，
由题意得：
CE＝DF＝2km，
∵∠BDH是△BDF的一个外角，
∴∠FBD＝∠BDH﹣∠BFD＝30°，
∴∠BFD＝∠DBF＝30°，
∴DB＝DF＝2km，
在Rt△BHD中，∠BDH＝60°，
∴BH＝BD sin60°＝2×＝，
∴BF＝2BH＝2（km），
在Rt△AEG中，AE＝＝＝2，
∴路径①的长＝AC+CD+BD＝6+0.5+2≈9.32（km），
路径②的长＝AE+EF+BF＝2+0.5+2≈9.86（km），
9.86﹣9.32≈0.5（km），
∴较短路径为：①，两路径相差0.5km，
故答案为：①，0.5．
19．解：（1）如图，
过点A作AH⊥BD于点H，
则∠AHD＝∠AHB＝90°，
∵AD＝30cm，AH＝23cm，
∴在Rt△ADH中，
sin∠ADB＝≈0.767，
∴∠ADB≈50°．
答：∠ADB的度数约为50°；
（2）如图，过点E作EG⊥CD于点G，
过点A作AF⊥EG交GE的延长线于点F，
则四边形AFGH是矩形，
∴FG＝AH＝23cm，
由（1）得DH＝AD cos50°≈30×0.64≈19.2（cm），
∵∠B＝70°，
∴BH＝＝≈8.4（cm），
∴BD＝BH+DH＝8.4+19.3≈27.7（cm），
∵BC＝12cm，
∴CD＝BD﹣BC＝27.7﹣12≈15.7（cm），
∵点E恰好在CD的垂直平分线上，
∴DG＝CD≈7.8（cm），
∵∠GDE＝60°，
∴EG＝DG tan60°≈13.6（cm），
∴EF＝FG﹣EG≈23﹣13.6≈9（cm）．
答：眼睛所在的位置应上升的距离约为9cm．
20．解：（1）如图，连接BM，设HM交BC于点K．
设BM＝r．
在Rt△BMK中，r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴BM＝5，
即所在圆的半径为5cm．
（2）如图，延长PQ交NM的延长线于点T，若直线PQ与所在的圆相切于点J，连接MJ．
∵DN∥PQ，
∴∠DNE＝∠P．
∵NP＝NQ，
∴∠P＝∠NQP，
∴∠DNE＝∠NQP，
∴．
∵NE＝DG＝4，
∴DE＝NG＝8，
∴NP＝NE+EP＝4+11＝15．
∵直线PQ与所在的圆相切于点J，
∴MJ⊥PQ，MJ＝5，
∴∠TMJ＝∠P，
∴tan∠TMJ＝tanP＝2，
∴，
∴NT＝15×2＝30，TJ＝5×2＝10，
∴，
∴，
∴（cm）．

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