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2.5.1 向量的数量积
两个非零向量 和 ，作 ， ，则
（ ）叫作向量 与 的夹角．
O
A
B
向量的夹角
计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起.
温故知新
O
A
B
若 ， 与 同向
O
A
B
若 ， 与 反向
O
A
B
若 ， 与 垂直，
记作
由于零向量的方向是任意的，为方便起见，
规定:零向量可与任一向量垂直.
θ
s
F
一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算？
其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.
一、向量数量积的定义
实例分析
当0°≤θ＜90°时，W＞0, 即力F做正功；
当θ＝90°时，W＝0，即力F不做功；
当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功.
从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
抽象概括
注意：
数量积
a · b =| a || b |cos



注意公式变形，知三求一.

“ · ”不能省略不写，也不能写成“×”

一种新的运算
向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，
什么时候为负？
a · b =| a || b |cos
（1）若a=0，则对任意向量b，有a b=0 （　　）
（2）若a 0，则对任意非零向量b，有a b 0
( )
（3）若a 0，且a b=0，则b=0 （　　）
（4）若a b=0 ，则a=0或b=0 （　　）
（5）对任意向量a有 （　　）
（6）若a 0，且a b= a c ，则b=c （　　）
巩固提升:判断正误
a =|a|
×
×
×
×
√
√
向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的
变式.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）
（2） （3）
A
C
B
例1.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）
（2） （3）
A
C
B
，过点B 作BB1垂直于直线OA，垂足为
B1，则
| | cosθ叫作向量 在 方向
上的射影(也叫投影)．
当θ为锐角时，
| | cosθ_____0
＞
二、投影？
O
A
B
B1
O
B
A
当θ=0°时，
| |cosθ=_____
| |
当θ为钝角时，
| | cosθ___0.
当θ为直角时，
| |cosθ____0
＜
=
B
O
A
θ
O
A
B
θ
O
B
A
当θ=180°时，
| | cosθ=_____
B1
物理实例中，与位移 方向一致的分力 的长度为
︱ ︱cosθ，即是力 在 方向上的射影.
θ
-| |
例2：已知|a|=3, |b|=5，且a b=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。
解：因为
所以a在b方向上的正射影的数量是
b在a方向上的正射影的数量是
变式、 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 。
三.数量积的运算性质：1.运算律
判断下列说法的正误:
（1）平面向量的数量积可以比较大小. ( )
（2） ( )
（3）已知 为非零向量,因为0× = ， · = 0,
所以 = ( )
(4) ( )
√
×
×
×
巩固提升
2.数量积的性质
1.若 是单位向量，则：
2.
3.
4.
5.
当且仅当 ∥ 时等号成立.
例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.
A
B
C
D
O
证明 菱形ABCD中,AB=AD
即菱形的两条对角线互相垂直.
解：
由于
故存在实数k，
例4：
例5：
解：
例6：
解：
例 7：求证：
两个向量的数量积是否
为零,是判断相应的两条
直线是否垂直的重要方
法之一.
例8、
24
135°
钝角
直角
0
－20
课堂练习：
1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p q
2、设|a|＝12，|b|＝9，a b＝－ ，求a和b的夹角
3、已知 中，AB＝a，AC＝b
当a b<0时， 是＿＿＿三角形；
当a b=0时， 是＿＿＿三角形
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为　　 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
5、已知 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC CA
作业5
6、
的夹角为
解:
公式变形
对功W=|F||s|cos 结构分析
抽象
平面向量数量积的定义a · b=| a | | b | cos
特殊化
五条重要性质
数形
结合
几何意义
小结
夹角的范围
运算律
性 质
数量积
(3) (a＋b) ·c =
a·c＋b·c
a·a=|a|2
（简写 a2 = |a|2）
重点知识回顾:
(2)
(1) a ·b= b · a
(交换律)
(分配律)

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