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人教版物理必修二
第六章 圆周运动
第四节 生活中的圆周运动3
竖直平面内的圆周运动的两种模型及
水平面内圆周运动的临界与极值问题
学习目标：
1．熟练分析竖直、水平面的圆周运动。
2．能够利用圆周运动的知识解释生
活中的圆周运动。
重点难点：
重点：分析向心力的来源。
难点：1.建立物理模型。
2.数形结合的方法解决物理问题。
复习回顾：
1.汽车在水平的公路上转弯
2.火车转弯
v >v0时：
外轨对轮缘有侧压力
v 内轨对轮缘有侧压力
3.汽车过拱桥
凸形桥：
失重
FN ＜mg
v2
R
mg＝m
v＝????????
?
FN=0时：
完全失重
凹形桥：
v2
R
FN－mg＝m
v2
R
F压＝FN ＝mg + m
FN ＞mg
超重
向心力问题分析的一般思路
1.明确研究对象
2.确定圆周运动所在的平面，明确圆周运动的轨迹、圆心位置O及半径R；——关键环节
3.分析圆周运动规律，明确线速度v或角速度ω；或周期T等，确定运动所需向心力Fn；（恰当选择向心力公式）
4.向心力来源分析：对物体进行受力分析，分析指向圆心方向的合力即向心力，即提供的向心力； ——关键
6.列方程：
5.把握临界状态，挖崛临界条件，建立临界方程；
需
供
供=需
沿切向：
沿半径方向：
7.解方程求出结果。
一、无支撑（轻绳）类模型
mg
O
外轨道
过山车模型
mg
O
轻绳
水流星模 型
共同点：
受力分析
mg
FN
最高点
最低点
FN
mg
1、在竖直平面内做完整的圆周运动（最高点）
动力学方程：
临界特征：
过最高点的条件：
O

小球受向下的压力或拉力，且随v速度的增大而增大,力与v2的变化图象如图
v2
FN
O
2、在竖直平面内做不完整但不脱离圆轨道的运动
特征：
①不越过圆心所在的水平线。
②所达最高点速度是零。
3、在竖直平面内做不完整且会脱离圆轨道的运动
特征：
①越过圆心所 在的水平线但不能到达圆周的最高点。
②将要脱离圆轨道时轨道对小球的弹力恰好为零，此时由重力沿半径方向的分力提供向心力，小球此时速度不为零
③脱离圆轨道后小球做斜上抛运动
二、有支撑（轻杆）类模型
0
管道
0
轻杆
受力分析
FN
FN
mg
mg
1、在竖直平面内做完整的圆周运动（最高点）
动力学方程：
临界情况1：
临界情况2：
只要球速度不为0，就能过最高点(不担心下落)
杆(或轨道内侧)对球有竖直向上的支持力且随v的增大而减小
杆(或轨道外侧)对球有指向圆心的拉力(或压力)且随v的增大而增大
FN
mg
mg
FN
（3）过最高点时杆(或轨道)对球的作用力随v2的变化图像如右图
O
FN
v2
2、在竖直平面内做不完整圆周运动
特征：永不脱轨，所达最高点速度为零
三、竖直平面内圆周运动在一般位置的受力分析
mg
F拉
O
绳模型
G1
G2
G1
杆模型
0
mg
G2
F拉
G1
杆模型
0
mg
G2
FN
绳模型
杆模型
切向方向：
切向方向：
法向方向：
法向方向：
重力的切向分力产生切向加速度
重力的法向分力与拉力的合力产生法向加速度
重力的切向分力产生切向加速度
重力的法向分力与杆的弹力的合力产生法向加速度
四、实际应用
1．(多选)如图所示，用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R，则下列说法正确的是(　　)
A．小球过最高点时，绳子张力可能为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度为
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可
以与球所受的重力方向相反
AC
2.绳系着质量m1＝0.5kg 的水桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m2＝0.5kg，绳长L＝40cm，（g=10m/s2）,求：
（1）最高点水不流出的最小速率;
（2）水在最高点速率v＝3m/s时，水对桶底的压力.
⑶ 若绳的拉力的最大值为50N，则水桶通过最低点时的最大速率是多少？
解：
3.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后（ ）
A
A．会落到水平面AE上
B．一定会再次落到圆轨道上
C．可能会落到水平面AE上
D．可能会再次落到圆轨道上
0
4.（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图象如乙图所示。则（ ）
A.当地的重力加速度大小为R/b
B.小球的质量为aR/b
C.v2 =c时，小球对杆的
弹力方向向下
D.v2=2b时，小球受到的
弹力与重力大小相等
BD
5.如图，在倾角为α=30°的光滑斜面上，有一根长为L=0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m=0.2kg的小球，沿斜面作圆周运动，（重力加速度g=10m/s2）试计算：（1）小球通过最高点A的最小速度．
（2）若细绳的抗拉力为Fmax=10N，小球在最低点B的最
大速度是多少
解：
五、水平面内圆周运动的临界与极值问题
1.运动特点(1)运动轨迹是水平面内的圆.(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力
为零，物体在水平面内做匀速圆周运动.

2.几种常见的临界条件(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物
体与盘间恰好达到最大静摩擦力. (2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零.(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳
上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等.
1.(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)
A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C. 是b开始滑动的临界角速度D.当 时，a所受摩擦力的大小为kmg
AC
解析：小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：Ffa＝mωa2l，当Ffa＝kmg时，kmg＝mωa2l， ;
对木块b：Ffb＝mωb2·2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，
，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；
两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa 2.(多选) 如图所示,水平转盘可绕竖直中心轴转动,盘上叠放着质量均为1 kg的A、B两个物块,B物块用长为0.25 m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连,两个物块和力传感器的大小均可不计.细线能承受的最大拉力为8 N,A、B间的动摩擦因数为0.4,B与转盘间的动摩擦因数为0.1,且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力.转盘静止时,细线刚好伸直,传感器的读数为零.当转盘以不同的角速度匀速转动时,传感器上就会显示相应的读数F.g取10 m/s2.以下说法中正确的是 (　 )
A.当转盘的角速度ω=2 rad/s时,A、B间的静摩擦力达到最大值
B.当转盘的角速度在0<ω<2 rad/s范围内时,细线中的拉力随ω的增大而增大
C.当细线中的拉力F=6 N时,A与B即将相对滑动
D.当转盘的角速度ω=6 rad/s时,细线中的拉力达到最大值
CD
解析:对于A物块,静摩擦力提供向心力,当静摩擦力达到最大静摩擦力时,有μABmg=mω2r,解得ω=4 rad/s,A错误.
当细线中刚有拉力时,有μB·2mg=2mω2r,解得ω=2 rad/s,B错误.
当ω=4 rad/s时,A、B两物块即将相对滑动,有F+μB·2mg=2mω2r,解得F=6 N,C正确.
当ω=6 rad/s时,A物块脱离B物块,只有B物块做匀速圆周运动,有F+μBmg=mω2r,解得F=8 N,D正确.
3. 质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点,如图所示,绳a与水平方向成θ角,绳b在水平方向且长为l,当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,则下列说法正确的是 (　　)
A.a绳的张力可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度ω>????????????????????????时,b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断,则a绳的弹力一定发生变化
?
C
解析：对小球受力分析,可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力,解得FTa=????????????????????????,为定值,A、B错误.
当FTacosθ=mω2????,即ω=????????????????????????时,b绳的弹力为零,若角速度大于该值,则b绳将出现弹力,C正确.
由于绳b可能没有弹力,故b绳突然被剪断时,a绳的弹力可能不变,D错误.
?
4.如图，一光滑圆锥体固定在水平面上，OB┴AB，∠AOC=300，一条不计质量、长为L的绳(L⑴当v=
时，求绳对物体的拉力；
(2)当v=
时，求绳对物体的拉力
讨论交流
提示：先求临界速度
0
A
B
C
300
解析：处于临界状态受力如图
得T2=2mg
T
mg
FN
y
x
300
T
F合
mg
300
T
F合
mg
θ

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