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2023届高考数学复习专题 ★★
高考数学常用结论归纳
集合、常用逻辑用语、函数与导数
1.若card(A)=n，则A的子集个数为，非空真子集的个数为.
2.满足的集合M的个数为，若改为，则个数为
3.若card(A)=m，若card(B)=n，则映射的个数为
4.若card(A)= card(B)=n，则一一映射的个数为n!.
5. 几种常见关键词的否定形式:
“”的否定是“”; “”的否定是“”; “”的否定是“”; “是”的否定是“不是”; “至多有一个”的否定是“至少有两个”; “至少有一个”的否定是“一个也没有”;.“对恒成立”的否定是“使”;“或”的否定是“且”; “且”的否定是“或”.
6.若为奇函数，且在处有定义，则.
7.若为偶函数，则
8.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，而偶函数则相反.
9.若奇，则； （前提为有反函数）
10.在各自对应的定义区间内单调性一致
11. 与有一个为偶，则为偶，只有全为奇，才为奇.
12.复合函数单调性遵循同增异减.
13.设为非0常数，若满足下列条件之一，则比为周期函数，且
14.若恒成立，或恒成立，则图象的对称轴为，反过来也成立.
若函数关于点对称,则,特别地, 图象关于点对称.
15.函数与函数关于轴对称，也关于直线对称.若函数与关于点成中心对称,则,特别地, 与关于点对称,则.
16.函数的值域
17.几个关于周期性的结论：
（1）若对时恒成立，则的周期为2；
（2）若是偶函数，其图像又关于直线对称，则的周期为2；
（3）若是奇函数，其图像又关于直线对称，则的周期为4；
（4）若关于点对称，则的周期为2；
（5）若的图像关于直线，对称（），则的周期为2.
18.由，，可分别导出图像的对称轴是.
由，，可分别导出的周期是.
19.对勾函数的值域为，增区间为
，减区间为
20.函数的值域为.
21.偶函数的导函数是奇函数，奇函数的导函数是偶函数.
22.含lnx的导数问题中，勿忘x>0.
23. 的导数易求错
24.由或>0可导出在其定义区间内是增函数；由或<0可导出在其定义区间内是减函数。
25.由>0可得到函数在定义区间上是增函数；由—<0可得到函数在定义区间上是增函数.
26.几个在导数大题的第二问中常出现的问题的处理方法：
（1）“对任意的，总存在，使”，该问题可转化为“使”.
（2）“对任意的，，都有”，该问题可转化为“使”.
（3）“对任意的，都有”，常把该问题转化为“使”.
27.图像选择题可先考虑函数定义域，再考虑函数的奇偶性、单调性、对称性，最后可考虑代点验证。
二、数列
对等差数列，
（1）若
（2）若
（3）若
（4）若
（5）
（6）若项数为，则，
若项数为，则 （7）
2.对等比数列
（1）
（2）
（3）若
3．由所确定的数列为等差数列的充要条件为c=0；当时从第二项成等差，且；
若，当时，所确定的数列为等比数列，且公比为（）；当时，从第二项成等比，且为公比.
4.求通项
（1）若
（2）若
（3）若即是一个以p为公比的等比数列.特别的，当p=2时，等式两边各加q即可.
（4）若，先两边同除以，再用累加法
（5），常化成倒数成等差，即证。如形如 的可直接取倒数化成等差数列，形如的可先取倒数，然后再用类型（3）处理。
（6）由求用公式法：
若当时，，则不用分段，即=（）；
若当时，则必须分成两段，即写成
（7）可变形为
，于是
5.
6.
7. 数列为正项等比数列,则数列为首项是,公差为的等差数列
三．不等式
1.在不等式的解法中有以下等价关系：
（1）
（2）
（3） 可移项，因式分解,然后用序轴穿根法.
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
2.线性规划中几种求最值或范围的问题：
（1）2x+3y可设z=2x+3y，再化为，然后用斜率截距的知识来处理；
（2）可化为动点（x,y）到定点(1,－2)连线的斜率；
（3）可先化为然后再用斜率来处理；
（4），可看作是动点（x,y）到定点（0,1）距离的平方；
（5），可先化为，然后再令用斜率来解。
四、解析几何
1、椭圆与双曲线的通径长均为.
2、双曲线的渐近线方程.
3、若为椭圆或双曲线上的一点，且设，则(椭圆)或(双曲线)，且当为椭圆的短轴端点时取到最大值
4、在椭圆中的最大值为，即为短轴端点时最大，,(可用焦半径公式证明)
5、椭圆上任一点到焦点距离的最大值为，最小值为
6、对椭圆的内接矩形的最大面积为.
7、对于抛物线，若为过焦点的弦，在上的射影分别为，中点在准线上的射影为，则，，即以为直径的圆与直线相切(切点为)，以为直径的圆与相切于点，还可以证明以为直径的圆均与轴相切，还可证明
对于抛物线，还有
(1)其通径长为，
(2)过焦点的弦的两端点处的切线的交点的轨迹为准线
(3)恒过定点(即焦点弦)
8、椭圆与双曲线的焦半径公式可统一为，(左加右减，对椭圆可不加绝对值)
9、过圆锥曲线上任一点的切线方程可这样得到，把原方程中的项做如下变化即可：，常数项不变
，其中为方程的判别式
11、椭圆最短的焦点弦长为通径长，即，而双曲线的焦点弦的最小值为与中的最小者.(即时为；时为；时，二者相等同时最小)，抛物线的通径长为其最短焦点弦.
12.在对称问题中，若对称轴的斜率为，则可直接代，如：求点关于直线的对称点为，求曲线关于的对称曲线为.特别提醒：若对称轴的斜率不为，直接代可导致错误.
13、光线反射问题一般可转化为对称问题来处理.
14.曲线关于点的对称曲线为，关于直线的对称曲线为；关于直线的对称曲线为.
15.求两个圆的公共弦所在的直线方程做差即可
16.过圆上一点的切线方程为；过圆上一点的切线方程为：
若点在圆外时，则过点P向圆可作两条切线，设切点为A，B,则直线AB的形式方程也如上所述（方程一样）
17.点P在以线段AB为直径的圆内、圆外、圆上的问题可分别转化为、、或为钝角、锐角、直角。
18.线性规划问题中要看清线性约束条件中是否带有等号，因为这影响到最后所求的的取值区间是开还是闭的问题。
19.对椭圆、双曲线、抛物线应看清是卧式或是立式（即焦点在哪个轴上），是否为标准方程。如怎样求抛物线的焦点坐标与准线方程？
20.过圆内一点最长的弦是直径，最短的弦是经过该点且与经过该点与圆心的连线垂直的弦。
21、点到直线距离公式很重要，要熟练掌握
五、立体几何
1在三棱锥中，
①若VA=VB=VC（即三条侧棱两两相等或三条侧棱与底面所成的角相等），则顶点V在底面ABC内的射影为△ABC的外心；
②若三个侧面与底面所成的角相等，则V在底面ABC内的射影为△ABC的内心；
③若三条侧棱两两垂直或三个侧面两两垂直，则V在底面ABC内的射影是△ABC的垂心.
2.
2. △ABC三条角平分线的交点叫内心，即内切圆的圆心；三条高的交点叫垂心；三条中线的交点叫重心；三条垂直平分线的交点叫外心，即外接圆圆心.
3若四面体有两对对棱互相垂直，则第三对对棱必互相垂直，且各顶点在对面三角形内的射影为该三角形的垂心.
4.处理绕表面距离最短问题，往往把表面展平，求展开平面上两点间的线段长.
5.正方体和长方体截去一个角所得到的截面三角形必为锐角三角形.
6.正棱锥相邻两个侧面所成的二面角必为钝角.
7.三个平面两两相交，得到三条交线，则这三条交线要么交于一点，要么互相平行.
8.设分别为平面与平面的法向量，则，二面角与相等或互补，根据实际图形判断
9.设是平面的斜线，为斜足,向量为平面的法向量,
设与平面成的角为，则,
点到平面的距离为
六、三角函数：
1.若，则（可用单位圆证明）
2.在锐角三角形内，任一角的正弦值均大于另外两个角中任一
个角的余弦值，因此有
3.为锐角三角形
4.为第一象限角；为第二象限角
为第三象限角；为第四象限角
在中,; .
5.若在第一、二象限，则在第一、三象限
若在第三、四象限，则在第二、四象限
6.关注两种题型：
①求值（用正弦的二倍角公式）
②求的值域（用压缩变换）
7.写三角函数的单调区间时勿忘.
8.函数的值域为：恒成立，则值域为
，有解，则值域为
.余弦可同样处理.
来求值域
七．向量
1.若，且则A，B，C三点共线，其中为平面上任一点
或，且则A，B，C三点共线，其中为平面上任一点
2.
其中R为的外接圆半径，r为的内切圆半径，
3. 的重心坐标为
4.
5.A为锐角；A为
6.；；；
7．用向量表示的三角形四个心的充要条件
（1）为的重心
（2）为的外心
（3）为的垂心
（4）为的内心
9.单位向量的模是1.
10.是与方向相同的单位向量。
11. 向量中几个易错的判断题：
⑴ ()
⑵∥∥∥ ()
⑶ ()
⑷ ()
12.考试时书写向量时勿忘箭头.
八、排列、组合、二项式定理、概率、统计
1、几个常见排列问题结论:
（1）个元素排列,其中有个元素相邻,则排法为.(捆绑法)
（2）个元素排列,其中有个元素两两不相邻,则排法总数为.(插空法)
（3）个元素排列,其中有个元素次序一定,则排法总数为.(次序一定问题用除法或叫倍缩法)
（4）多排问题单排处理: 个元素分为若干排,每排若干人,则排法总数为.
（5）相间问题: 个甲种元素与个乙种元素相间排列,排法种数为,个甲种元素与个乙种元素相间排列,排法种数为.
（6）部分均匀分堆问题:举例,把20本不同的书分为7堆,1堆1本,3堆2本,2堆3本,1堆7本,则分法总数为:.
2、二项分布:若,则, ,.
3、若是随机变量,则也是随机变量,且,.
4、超几何分布:若个产品中有个次品,从中抽取个产品,其中次品个数为,则称随机变量服从超几何分布,且有,, .
5、回归直线比过样本中心点.
6.抽样方法常考的是分层抽样，系统抽样容易被忽略，系统抽样有时也考。系统抽样的步骤是 ：（1）编号（2）分组（3）定起点（4）抽样本
特点是：抽出的号码间隔相等，即成等差数列
7.由频率分布直方图求样本的众数、中位数、平均数
8.用随机数表抽样本的注意事项
比如编号是001-800，则在范围内的抽出，不在范围内的和重复的舍去
9.文科的统计大题中经常出现4选2、5选2、6选2、7选2、8选2等的题型，要熟悉这些选法的结果的总个数，列举的时候常采用倒三角形的方法
,,,
,
10.在几何概型中,若题中涉及一个变量,则转化为长度之比；若涉及到两个变量，则可转化为求面积之比。
11.概率大题步骤不可过于简单，不可只写结果，以防丢失步骤分。
九．选修4-1几何证明选讲
1、证明四点共圆的方法
（1）对于凸四边形，对角互补四点共圆.
（2）对于凸四边形，一个外角等于它的内角的对角四点共圆.
（3）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
（4）先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上.
（5）四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．
（5）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形其对角线交于
四点共圆.
（6）割线定理逆定理：对于凸四边形其边的延长线交于，
四点共圆.
十．选修4-4坐标系与参数方程
1.极坐标方程化成直角坐标方程是.
2.直线的参数方程中参数t的几何意义的几种考法：
若P为直线上的定点，A、B为直线与曲线相交的两个公共点，则常见的几种题型有
（1）求，可转化为求；
（2）求，可转化为求，转化成求，然后用韦达定理求；
（3）求，若，则A、B两点在P点的同一侧，==；若，则A、B两点在P点的两侧，==.
十一．其它考试中注意事项
1.若，为一元二次方程的两根，则，（韦达定理）
2.设直线的点斜式方程之前，应先讨论一下直线的斜率不存在时的情况是否也满足题意，防止漏解。
3.证线面垂直时不要忘记说直线垂直的是平面中的两条相交直线。
4.指数函数图象在第一象限“底大图高”，对数函数图象在第一象限“底大图右”，幂函数在x=1的右边，“指大图高”
5.两个偶函数通过加，减，乘，除（分母非零）仍为偶函数，两个奇函数的和与差仍为奇函数，积与商为偶函数.
6.两个不等式求公共部分符合“大大取大，小小取小”
7.图象平移按照“左加右减，上加下减”
8.易遗漏：△=0，空集，二次项系数等于零的情况；
9.注意赋值法，特殊值验证，数形结合的运用；
10.在处理与圆有关的问题时，一般几何法优于代数法，应注重圆的几何性质的运用。如求圆的弦长时最好用半径、半弦弦心距间的关系，然后用勾股定理求。求圆的切线问题最好用圆心到直线距离等于圆的半径，而不是用△=0的方法。
11.应用题别忘答，选做题别忘涂。
12.证明直线与平面平行时不要忘记说一条直线在平面内，一条直线在平面外。
13.复数的虚部是是实数，而不是虚数。如2+3i的虚部是3，而不是3i. 复平面中的实轴与虚轴分别是什么？
14.注意恒成立问题与存在性问题的区别。
15.圆锥曲线中的最值问题。
16.棱柱、棱锥外接球的几种情况。
17.在解三角形的题型中，有些题用正弦定理和用余弦定理均可解决，一般根据题中所给条件可按照角多用正弦定理、边多用余弦定理的原则来处理。
18. 用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．
用二分法只能确定变号零点，不能确定不变号零点。
19.遇到连等式，可令其=k，然后再用k表示其中的字母或数字，往往可以很快使问题解决。
20.证明题必做，因为结果已知，尽量多拿一些步骤分。

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