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2023届高考数学复习专题 ★★
高考数学必背结论及特殊答题技巧
1. 如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集.
2. 单调性
函数形式 f (x)单调性 g (x)单调性 总的单调性
f (x) + g (x) 增 增 增
减 减 减
f (x) - g (x) 增 减 增
减 增 减
结论：① f (x)≤f (x0)f (x0)为f (x)最大值
② f (x)≤MM为f (x)最大值（除非M在f (x)上）
3. 对称性：
形式一：
f (M) = f (N)，若M+N=d（d为常数）
则f (x)有对称轴：x=
形式二：
f (x) =g (x)关于原点对称，则P1（a,b）、
P2（-a,-b）分别落在两者上面。
BUT：f (x) 、g (x)本身不一定关于原点对称
同理，关于某条线对称也有类似的性质
形式三：
f (kx+b)为偶函数，则f (x)对称轴：
f (kx+b)为奇函数，则f (x)对称中心：
f (x+a) + f (-x+b)=k，则：f (x)有对称中心：
4. 几个常见的周期形式：
关于函数f (x)周期的结论：
① 关于x=a、x=b或(a，0)、(b，0)对称
② 关于x=a、(b，0)或x=b、(a，0)对称
③ f (x)为偶函数，关于x=a对称
④ f (x)为偶函数，关于x=a对称
函数的图像变换：
5. ◆类似于logaB和logbB比较a、b大小：
利用好换底公式即可
x≤amloga x≤m ,a∈(1,+∞), loga x≥m ,a∈(0,1)
◆常用的量估计值（可在比大小的问题里用）
e2.7 lg20.301 lg30.477
ln20.7 ln31.1 ln51.6
◆指对数函数的抽象特征
对数函数： f (x) + f (y) = f (xy)
指数函数： f (x)·f (y) = f (x+y)
6. 平均不等式：
,（当且仅当时取号）.
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
7. 函数问题秒杀技
Ⅰ. 洛必达法则（受限性强！）
简介：对于一个分子分母都有参数的分式，如果它趋近于a的极限值我们用常规的难求，那么在一定条件下可以分子分母同时求导，这个新的分式的极限值就是原来分式的极限值。
也就是在一定条件下，有这个式子成立：
但这个结论是有条件的，我们目前要掌握的需要两个：
① 当（a也可以取无穷大），且g (x)≠0时，原来分式分子分母要么都趋近于0，要么都趋近于无穷（正无穷负无穷都可以），才可以使用洛必达法则，否则随便用随便错！
② 在分式满足了第①个条件以后使用洛必达法则，会出现以下三种情况：
第一种：
有极限值m，那就是它！
第二种：
不存在极限值，比如求出来一个 ，当时，sin x不存在极限值，那就没得戏唱了。但这个分式没有极限值不代表原分式没有极限值，而是这个极限值用洛必达法则求不了，那就只好老老实实求导。
第三种：
在用完洛必达法则以后，如果求下来极限值还是零比零型或者无穷比无穷型，那就再用洛必达法则，直到求一个极限值出来。（但是一定要注意：在不断用洛必达法则中，一定要关注前一个分式趋近状况，如果不满足条件①，那也不好用。当然如果求下来一直是零比零型或者无穷比无穷型循环，那也没辙）
这个结论在八省联考最后一题可以用，估计在高考的时候再次出现的概率比较小。而且这个方法受限性很强，不是万全之策，运气好的话可以骗到分。运气不好，也没办法。
例题：已知函数为f (x) = x2lnx-(x-1)，当x＞1时，
f (x)≥m(x-1)2恒成立，m的范围是 ▲ .
分析： x2lnx-(x-1)≥m(x-1)2在恒成立
也就有了在恒成立
让，当x→1，为零比零型
洛必达法则用起来：
发现还是零比零型
再用一次：=（取不到）
简要代两个值进去看看，如果比它大那么极限值就是最小值，否则就是最大值。
答案就是
Ⅱ. 端点效应
提醒：这些结论作为高等数学的结论，在高考是超纲的，所以用只能用在小题目，大题目用了顶多一个答案分。而且，从最近的全国卷来看，命题人似乎早就料到了这个套路。因此他们在命题的过程中大都会避开这一点，甚至针对这个结论设置陷阱，比如“洛必达陷阱”，看似可以用洛必达，但洛到最后洛不出来。还耽搁了时间。
下面几个方法比较常用（入门级）：
Ⅰ. 泰勒公式（泰勒放缩）
放缩：说得通俗一点就是通过将题中条件放大或缩小，从而在一个范围里找一个中介值，求出位置条件和它的关系，再间接过渡到所求。
泰勒公式是什么？
本质上就是找一条曲线无限逼近于已知曲线，但不会完全重合。让已知函数为f (x)，那么这个函数也可以表示为：
上面这个式子就是简化版的泰勒公式。
一般的话，我们做小题目遇到lnx，ex就可以在条件允许的情况下进行泰勒放缩，一般的一次二次三次函数用不着。
泰勒展开式的几何意义（仅举两例）
那么从上面两个，我们总结出几个常见的泰勒展开：
Ⅱ. 隐零点
对一个函数f (x)，要求它的极值。按常规思路求个导找出极值点x0，可是找不到咋办呢。那就可以对方程适当变形，代进f (x0)放缩。
8.
正四面体的性质：
结论速记：若正四面体棱长为a，则：
该正四面体外接球半径：
该正四面体内切球半径：
对一个三棱锥，它内切球半径（等体积法）
9. 概率与统计中
平均数的变化：E(aX+b) = aE(X)+ b
方差的变化：V(aX+b) = a2V(X)
10. 三角形的四个“心”：
①内心：内切圆圆心，为三条角平分线交点，它到三边距离相等，且三角形的面积为周长和内切圆半径之积。（主要可以涉及到等面积法）
对等面积法应用可以用关系式：
②外心：外接圆圆心，为三边中垂线交点，其到三角形三个顶点距离相等（涉及到正弦定理）
③重心：三角形中线的交点
④垂心：三条高线的交点
积化和差小妙招之一（P为BC中点）：
在△ABC中，BA=、BC=，则
S△ABC =
11. 几个范围：向量角:
线线角（异面直线所成角）：
线面角：
二面角：
12. 求法向量
法一：待定系数法
根据法向量定义建立方程组.
解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
★法二：交叉相乘再相减（积差法）
先把两个向量的坐标一上一下对齐写好，然后交叉相乘再相减。注意交叉的顺序要一样！最后中间加上负号。
（上下对齐，交叉积差，顺序相同，中间变号）
如;上面a、b的法向量就为：
（a2b3-a3b2 , a3b1-a1b3 , a1b2-a2b1）
注意：如果求下来的坐标比较复杂，就把坐标的三个数值同时除以公因数，取最简。
做解答题的时候建议先把方程列下来，然后用差积法直接在后面写出法向量
⑤得平面的法向量.
13. 空间几何体的外接球问题
方法一：从外接球的定义和性质入手
①外接球球心到几何体各个顶点距离相等
②外接球在各面上的投影就是这个面的外接圆
由上面这些原理来构造直角三角形，寻找等量关系，用勾股定理求解即可。（注意几何体的外接球心不一定在几何体内）
方法二：构造长方体模型
对于三棱锥可以把它放到长方体里去，长方体的体对角线就是外接球直径。以下是几个常用的构造。
①对棱相等型（连接各面对角线，如果是正方体那就有了正四面体）
②墙角型，有三条两两垂直的棱
③四个面都是直角三角形的四面体，再补一条线（图中短虚线）在底面为正方形时就是三垂线定理的图
④三个直角三角形面，两直角三角形有公共直角边
⑤三个直角三角形面，两直角三角形有公共斜边
（“鳖臑”）
拓展：⑥ 类“刍甍”型几何体（底面为平行四边形，
顶部只有一条棱且这条棱和底面平行的五面体），a
为平行四边形某一边的长，l为a所在边上的高，h为
体高，b为顶部棱长。
体积公式：
★用空间向量求体高
14. ★注意：
拓展延伸：三角形解的个数问题
三角函数法
让A为三角形内任意角，对边a已知。通过正弦定理：，找到和函数y=sinx的交点个数（A范围即函数定义域）
提醒：
①在直角三角形里面解决问题除了弦以外千万不要忘记正切！
②平面图形里有了充足的条件下，其它办法不可行，建系永远是最后的退路。
15.
①把Sn、qSn和（1-q）Sn列好，化简求得。
②或者在草稿纸上算出S1、S2，完了以后直接套公式，列方程，用待定系数法求出来。最后直接把Sn写在下面（上面也要带一点化简的过程，以达到过程完整性）
公式：（A、B是待定系数）

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