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2023届高考数学复习专题 ★★高考数学解题方法
——巧妙分析题意 建立解题模型
解题模型思想是一种解题方法，在高三二轮复习中有重要的作用，在解题的过程中，适当地对条件进行变形，发现函数模型，设置适当的函数，构造不等式，达到解题目的。
本文主要通过几个例题讲述一种解题模型思想，注意在解题过程中的应用，才能发挥高三二轮复习的功能效益。
【例题1】.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【思考】这是一个二元不等式问题，已知不等式，求出正确的不等式问题，分析已知条件模型，发现函数模型，试图构造函数，因为有超越函数，所以应该移项,左边是指数函数型，右边是对数函数模型.
【解析】
（1）由已知得
，
两边同时乘以字母a，得
，
移项得
当0，
所以
当b>1时，有
，
所以
若例如，取，得
所以选项A与C都不正确。
下面证明：
即证
因为
两边同时除以字母a得
移项化简得
........................................（1）
注意两边有同一个结构，所以设函数
求导得
当x>1时，导数值非负，函数递增，
又因为当，
且
，
所以
，
即由（1）得
由函数单调性得
所以
选项B正确.
【例题2】.已知a>1，b>1，则下列关系不可能成立的是
【思考】从选支中的不等式出发，变形得到同构模型，抽象出函数，应用导数方法，研究函数单调性，实现问题的解答.
【解析】选择CD选项作变更，
这两个不等式由相同的结构，可以构造函数模型，于是构造函数
对求导，得
所以，由x>1,得
对求导，得
当0当x>1时，此时，g(x)是递减函数.
所以
这样有f(b)>g(a)恒成立，得
。
即不可能恒成立.
类似题目：
已知b>a>0，且满足alnb=blna，e为自然对数的底数，则
【例题3】.
已知，.
⑴求的最小值；⑵求取到最小值时的.
【答案】
【思考】本文考查三角代换与函数知识，属于中等难度题，构造对勾函数.
【解析】
设
，，
则
，.
再令
，
则
，，，
等号成立当且仅当，即.
此时，
，，，.
又，故.
拓展练习：
【例题4】.设，，为非负实数，且满足方程，则的最大值和最小值（ ）
A.互为倒数 B.其和为 C.其乘积为 D.均不存在
【答案】C
【思考】构造方程思想。
【解析】
设，则原方程，
即，或。
或。
（1）当时，，，，
当最小时，，，，此时
即。
（2）当时，， ，，
当最大时，，，，此时
即。
综上：。
【例题5】.【证明问题】构造不等式，证一个不等式
设
求证：.
证明：
先证一个引理：
设则
........................................................................................（1）
引理的证明：
................（2）
令
则
所以（2）成立，
引理得证.
由基本不等式得
，
由及引理得
即
【例题6】：在一些选择题中，也可以构造不等式模型解题，导数模型求最值
已知，且，则的最小值为
A B 64 C D 125
方法1：权方和不等式：
方法2：大柯西不等式：，则
方法3：利用导数：，，，
方法4：待定系数法均值不等式：
等号成立的条件：。
。
练习（1）：已知，且，则的最大值为（）
（2）：已知，且，则的最小值为（ ）
【例题7】.应用导数模型
已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解】对于①
当时，在上恒成立，在上单调递增,不符合.
当时，由，，解得，
，解得
在单调递减，在单调递增．在有极小值，
函数有两个零点，
，，
①不正确；
对于②
因为，
，
取，，，，，
②不正确；
对于④
函数的极小值点为
要证，只要证
因为函数在单调递减，故只需要证
构造函数
求导得到
所以函数单调递增，恒成立，
即，故得到
进而得证：，.
故④正确.
对于③
因为
根据，可得到.
③不正确.
综上正确的只有一个，
故选：.
思考题
已知函数，其中a为非零常数．
（1）若函数在（0，）上单调递增，求a的取值范围；
（2）设，且，证明：当时，函数在（0，）上恰有两个极值点．
【例题8】--多选题模型
已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C．
D．
解：对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，
∴时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
∴是的极小值点，故A正确；
对于B选项，，
∴，
∴ 函数在上单调递减，
又∵ ，，
∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C选项，若，可得，
令，则，
令，则，
∴在上，，函数单调递增，
上，，函数单调递减，
∴，
∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得成立，故C错误；
对于D选项，由，结合A选项可知，
要证，即证，且，
由函数在是单调递增函数，
所以有，
由于，所以，
即证明，
令，
则，所以在是单调递减函数，
所以，即成立，
故成立，所以D正确.
故选：ABD.
【例题9】--解答题模型
（1）若，判断函数在区间内的单调性；
（2）证明：对任意，，.
（1）在单调递增；（2）证明见解析.
解：（1）因为，
所以.
因为，所以，则.
又，知，且时，
故，所以在单调递增.
（2）由（1）知，当时，，即，
所以.
令，所以，从而，
所以，
因为，，所以，所以，
所以，
所以，
因为
，
所以，
所以.
思考题
已知函数
（1）求函数的极值；
（2）①当时，恒成立，求正整数的最大值
②证明：
思考题答案：
（1）定义域
当时，，所以函数在上单调递增，无极值
当时，，得得
所以函数在上单调递减，在上单调递增
此时函数的极小值无极大值
综上，当时，函数无极值;当时，
函数的极小值为，无极大值.
（2）当时，恒成立，即只需成立即可
由（1）可知
当时，函数在上单调递减，在上单调递增
（i）若，即时，在上单调递增，所以满足题意
（ii）若，即，函数在上单调递减，在上单调递增
所以
令
所以在上单调递增
又知
所以使得，
则的解集为
综上的取值范围为，
所以正整数的最大值为
②证明：两边取对数得
即只需证
由（i）知
令，则
所以
所以

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