资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2023年数学中考十八个亮点微专题与必考的十二类大题解法再深化
专题13 韦达定理几种考法
1．若x1，x2是一元一次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1 x2的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
2．关于x的方程﹣2x2+4x+1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12+x22是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．5
3．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
4．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
5．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
6．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
7. 关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A. B. C. 或1 D. 或4
8．若是方程的两个根，则_________．
9. 已知是一元二次方程的两个根，则__________．
10. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
11. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
12.已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
13.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
14.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
16．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023年数学中考十八个亮点微专题与必考的十二类大题解法再深化
专题13 韦达定理几种考法
1．若x1，x2是一元一次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1 x2的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
【答案】A
【解析】利用根与系数的关系可得出x1 x2＝﹣5，此题得解．
∵x1，x2是一元一次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，
∴x1 x2＝＝﹣5．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
2．关于x的方程﹣2x2+4x+1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12+x22是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．5
【答案】D
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1 x2＝﹣，再变形x12+x22得
（x1+x2）2﹣2x1 x2，然后利用整体思想进行计算即可．
根据题意得x1+x2＝2，x1 x2＝﹣，
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝22﹣2×（﹣）＝5．
3．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
【答案】C
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，进而求得m＝2或m＝﹣1，从而求得x1+x2＝﹣4或2，把原式变形，代入计算即可．
关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣4或2，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
当x1+x2＝﹣4时，原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
当x1+x2＝2时，原式＝22+2×22﹣4×2+4＝8．
4．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
【答案】A
【解析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
5．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
【答案】B
【解析】由题意得出x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，将代数式变形后再代入求解即可．
∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，
∵x2≠0,
∴x2﹣2021+＝0,
∴﹣＝x2﹣2021,
∴﹣,
∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212
＝2021(x1+x2)﹣1+20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1．
6．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
【答案】A
【解析】当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
7. 关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A. B. C. 或1 D. 或4
【答案】A
【解析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，
所以
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
8．若是方程的两个根，则_________．
【答案】-3
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
∵是方程的两个根，
∴．
9. 已知是一元二次方程的两个根，则__________．
【答案】
【解析】运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
∵是一元二次方程的两个根，
根据根与系数的关系得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题关键．
10. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【答案】2
【解析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，∴，∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为．
11. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
12.已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】(1)根据建立不等式即可求解；
(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【详解】(1)由题意可知，，
整理得：，
解得：，
∴的取值范围是：．
故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，
又由(1)中可知，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
13.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）求出△的值即可证明；
（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：
由，得，解得．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2=．
14.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）0，-2
【解析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；
（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案.
【详解】(1)证明：∵，
∵无论为何实数，，
∴，
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由一元二次方程根与系数的关系得：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，化简得：，
解得，．
【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】（1）先利用判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；
（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范围确定m的值．
解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
即2m﹣1﹣6＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
16．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
【答案】见解析。
【解析】（1）利用根与系数的关系得到2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，然后分别解方程求出p与q的值；
（2）利用根与系数的关系得到m+n＝﹣，mn＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，
所以p＝1，q＝﹣8；
（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑