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2023年数学中考十八个亮点微专题与必考的十二类大题解法再深化
专题16 定义、命题、定理与证明问题
1.下列说法正确的是（ ）
A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题
2.下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
3.如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4．下列命题中，假命题是（　　）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
C．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点
D．三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．下列命题正确的是（　　）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分
7. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
8．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
9.能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）
A. B. C. D.
10．下列命题中，正确命题的个数为 　 　．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
11．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝+1 C．x＝3 D．x＝﹣
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2023年数学中考十八个亮点微专题与必考的十二类大题解法再深化
专题16 定义、命题、定理与证明问题
1.下列说法正确的是（ ）
A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【解析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
2.下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【解析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
3.如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】D
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
4．下列命题中，假命题是（　　）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
C．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点
D．三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心
【答案】C
【解析】根据直角三角形斜边上的中线性质对A进行判断；根据等腰三角形的性质对B进行判断；根据线段的中点定义对C进行判断；根据三角形外心的定义对D进行判断。
A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
B、等腰三角形顶角的平分线、底边上的高相互重合；
C、若A、B，且AB＝BC，所以C选项符合题意；
D、三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心。
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【解析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可．
A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意．
6．下列命题正确的是（　　）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分
【答案】B
【解析】利用正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理进行判断即可选出正确答案．
A、每条边，故错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
C、过线段中点，故错误；
D、三角形的中位线将三角形的面积分成1：3两部分，是假命题．
（∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝，
∴△ADE∽△ABC，相似比为1:7，
∴S△ADE：S△ABC＝1:4，
∴S△ADE：S四边形DECB＝4：3．）
7. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解．
选项A：三角形的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；
选项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；
选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，符合题意；
选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题意．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各个基本定理和性质是解决本类题的关键．
8．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
【答案】A
【解析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．
当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9.能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．
A.如图1，∠1是锐角，且∠1=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；
B.如图2，∠2是锐角，且∠2=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；
C.如图3，∠3是钝角，且∠3=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；
D.如图4，∠4是锐角，且∠4=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
10．下列命题中，正确命题的个数为 　 　．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【答案】1
【解析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
①所有的正方形都相似，正确，符合题意；
②所有的菱形都相似，错误，不符合题意；
③边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；
④对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，
正确的有1个。
11．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝+1 C．x＝3 D．x＝﹣
【答案】C
【解析】根据题意，只要x2是有理数，即求出各个选项中x2的值，再判断即可．
（﹣1）2＝3﹣2，是无理数，不符合题意；
（+1）2＝3+2，是无理数，不符合题意；
（3）2＝18，是有理数，符合题意；
（﹣）2＝5﹣2，是无理数，不符合题意．
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