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2023年数学中考十八个亮点微专题与必考的十二类大题解法再深化
专题04 勾股定理及其实际应用
1. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【答案】m2-1
【解析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
故答案为：m2-1．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2. 已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为_________．
【答案】48
【解析】如图，先根据勾股定理求出，再由求解即可．
在矩形ABCD中，，，
∴在中，(cm)，
∴．
故答案为：48．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知上述知识．
3．如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT　　．
【答案】PT═．
【解析】根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度．
∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT═1，
∴PT═══，
故：PT═．
4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，AC＝8，BD＝6，OE=　　．
【答案】．
【解析】根据菱形的性质和勾股定理，可以求得AD的长，然后根据等面积法即可求得OE的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴AD＝＝＝5，
又∵OE⊥AD，
∴，
∴，
解得OE＝，
故答案为：．
5. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　)
A. (600－250)米 B. (600－250)米
C. (350＋350)米 D. 500米
【答案】B
【解析】如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．
∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，
∵∠DBF=60°，∴DF=x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．
∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．
∴DF=x=600﹣750．
∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．
∴山高CD为（600﹣250）米．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；待定系数法的应用．
6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【答案】A
【解析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
【点拨】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
7.设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
8.如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接DO、DA、DC，设DO与AC交于点H，证明△DHE≌△BCE，得到DH=CB，同时OH是三角形ABC中位线，设OH=x，则BC=2x=DH，故半径DO=3x，解出x，最后在Rt△ACB中由勾股定理即可求解．
【详解】连接DO、DA、DC、OC，设DO与AC交于点H，如下图所示，
∵D是的中点，∴DA=DC，∴D在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，∴O在线段AC的垂直平分线上，
∴DO⊥AC，∠DHC=90°，
∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°，
∵E是BD的中点，∴DE=BE，且∠DEH=∠BEC，
∴△DHE≌△BCE(AAS)，
∴DH=BC，
又O是AB中点，H是AC中点，
∴HO是△ABC的中位线，
设OH=x，则BC=DH=2x，
∴OD=3x=3，∴x=1，
即BC=2x=2，
在Rt△ABC中，．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等、勾股定理等，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决此题的关键
9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝2．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段PA的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．2
【答案】B
【解析】连接PM，设AP＝x，可得出PB＝7﹣x，BM＝7，根据折叠的性质可得CD＝PC＝7，CM＝C′M＝2，在Rt△PBM中和Rt△PC′M中，根据勾股定理PB2+BM2＝PM2，PM2＝（7﹣x）2+72，C′P2+C′M2＝PM2，PM2＝72+22，因为PM是公共边，所以可得PM＝PM，即（7﹣x）2+72＝72+22，求出x的值即可得出答案．
解：连接PM，如图，
设AP＝x，
∵AB＝7，CM＝2，
∴PB＝7﹣x，BM＝BC﹣CM＝7，
由折叠性质可知，
CD＝PC＝7，CM＝C′M＝2，
在Rt△PBM中，
PB2+BM2＝PM2，
PM2＝（7﹣x）2+72，
在Rt△PC′M中，
C′P2+C′M2＝PM2，
PM2＝72+22，
∴（7﹣x）2+72＝72+22，
解得：x＝5，
∴AP＝5．
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 　 　．
【答案】（2，0）．
【解析】根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB＝1，
在直角三角形BOC中，BC＝，
∴OC＝＝2，
∴点C的坐标（﹣2，0），
∵OA与OC关于原点对称，
∴点A的坐标（2，0）．
11.《九章算术》是中国传统数学重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
【答案】
【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：．
【点睛】考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
12.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的，其中，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了_______km．
【答案】24
【解析】过点作，设，则，，在中，根据勾股定理得到，进一步求得，再根据三角函数可求，可得，，，从而求解．
【详解】解：过点作，
设，
∵，
∴，，
在中，，
，
地在正中位置，
，
又∵，
，
∴，
∴，
小张某天沿路线跑一圈，他跑了．
故答案为：24．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
13.如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为_______．
【答案】
【解析】由矩形的性质求得BD，进而求得PD ，再由AB∥CD得，求得CQ，然后由勾股定理解得BQ即可．
∵四边形ABCD是矩形，，，
∴∠BAD=∠BCD=90 ，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，
∴，又=5，
∴PD=8，
∵AB∥DQ，
∴，即
解得：CQ=3，
在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，会利用平行线成比例定理列相关比例式是解答的关键．
14．平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是　 　．
【答案】5
【解析】作PA⊥x轴于A，则PA＝4，OA＝3，再根据勾股定理求解．
作PA⊥x轴于A，则PA＝4，OA＝3．
则根据勾股定理，得OP＝5．
【点评】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．
15．（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；
（3）拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．
已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α（0°＜α＜90°）变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程（b与c的关系式用含n的式子表示）．
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意得4△ADE的面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD是面积，即4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理即可；
（2）设EF＝a，FD＝b，则a+b＝12①，再由题意得E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，则a﹣b＝5②，由①②求出a＝即可；
（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，证△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，得＝，＝，则e2＝cn，f2＝bn，再由勾股定理得：e2+f2＝n2，则cn+bn＝n2，即可得出结论．
解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证明如下：
∵如图①是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为（b﹣a）的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，
∴4△ADE的面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD是面积，
即4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2；
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，
∴a+b＝12①，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，
∵E'F'﹣KF'＝E'K，
∴a﹣b＝5②，
由①②得：，
解得：a＝，
∴EF＝；
（3）c+b＝n，理由如下：
如图③所示：
设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，
∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，
∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，
∴＝，＝，
即＝，＝，
∴e2＝cn，f2＝bn，
在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，
∴cn+bn＝n2，
∴c+b＝n．
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2023年数学中考十八个亮点微专题与必考的十二类大题解法再深化
专题04 勾股定理及其实际应用
1. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
2. 已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为_________．
3．如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT　　．
4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，AC＝8，BD＝6，OE=　　．
5. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　)
A. (600－250)米 B. (600－250)米
C. (350＋350)米 D. 500米
6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．25m B．24m C．30m D．60m
7.设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A. B. C. D.
9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝2．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段PA的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．2
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 　 　．
11.《九章算术》是中国传统数学重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
12.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的，其中，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了_______km．
13.如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为_______．
14．平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是　 　．
15．（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；
（3）拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．
已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α（0°＜α＜90°）变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程（b与c的关系式用含n的式子表示）．
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